柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系_毕业论文.doc

分类号（宋体小三加黑） 论文选题类型 U D C 编号 本科毕业论文（设计）（黑体小初）（宋体小一加黑）题 目 （宋体小二加黑） 学 院 （宋体小三加黑） 专 业 年 级 学生姓名 学 号 指导教师 二 年 月（宋体三号加黑）华中师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学位论文作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密 ，在_年解密后适用本授权书。2、不保密 。（请在以上相应方框内打“”）学位论文作者签名： 日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日目 录内容摘要1关键词1Abstract1Keywords11.Cauchy-Schwarz不等式的简介22.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式22.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式22.1.1定理22.1.2 应用32.1.2.1 用于证明不等式32.1.2.2 用于求最值32.1.2.3 用于解方程组42.1.2.4用于解三角形相关问题42.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式52.2.1定理52.2.2应用62.2.2.1 用于证明不等式62.2.2.2用于求最值62.2.2.3 用于证明三维空间中点到面的距离公式72.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式72.3.1定理72.3.1.1定理（积分学中的柯西施瓦茨不等式）72.3.1.2 定理（数项级数的柯西施瓦茨不等式）92.3.2 应用102.3.2.1 用于证明不等式102.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式102.4.1 定理102.4.2 应用112.4.2.1 用于研究两个随机变量的相关系数112.4.2.2用于求方程的系数122.4.2.3 用于判断极值是否存在133Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系133.1证明方法的相似性133.2内在之间的互推性14 3.3 四种形式的本质. .15参考文献16 内容摘要：本文介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，主要包括证明不等式、求最值，解三角形的相关问题，解方程组，研究概率论中的相关系数、判断极值的存在性。此外，本文还给出了柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系。关键词：柯西施瓦茨不等式 应用 内在联系Abstract: In this paper, the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its applications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also gives the internal relations of the four different forms of Cauchy-Schwarz-inequality. Keywords: Cauchy-Schwarz-inequality application internal-relations 1.Cauchy-Schwarz不等式的简介柯西施瓦茨不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。数学上，柯西施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西布尼亚科夫斯基施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西施瓦茨不等式是一条很多场合都用得上的不等式，例如证明不等式、求函数最值、线性代数的矢量，研究三角形的相关问题，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差，求方程系数，判断极值的存在性。 2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式 2.1实数域中的Cauchy-Schwarz不等式 2.1.1定理 设则当且仅当时，不等式等号成立.证明：通过构造关于的二次函数来证明设若即时，显然不等式成立.若时，则有且由于成立，所以且当且仅当时，不等式等号成立.故 2.1.2 应用在中学数学和竞赛数学中常常巧妙地应用柯西施瓦茨不等式（即Cauchy-Schwarz不等式）将许多繁琐复杂的问题简单化，比如常常用于求证不等式、最值、解方程组和解三角形的相关问题，而运用柯西施瓦茨不等式的关键在于根据问题的要求并按照其形式，巧妙地构造两组数。2.1.2.1 用于证明不等式例1已知都是正数，求证：证明：根据柯西施瓦茨不等式的形式构造两个数组： 利用柯西施瓦茨不等式有即所以2.1.2.2 用于求最值例2.已知求的最小值.解：根据柯西施瓦茨不等式的形式构造两个数组：和则有即所以的最小值.2.1.2.3 用于解方程组例3. 在实数范围内解方程组解：由柯西施瓦茨不等式知 所以当且仅当时等号成立，并将其与联立解方程组可得：2.1.2.4用于解三角形相关问题例4. 设分别为三角形三边，其对应的高分别为为三角形外切圆半径，且满足，试确定三角形的形状.解：设三角形的面积为，则 故等号当且仅当时成立，因此，此三角形为等边三角形。 2.2.n维欧氏空间中的Cauchy-Schwarz不等式 2.2.1定理1在维欧氏空间中，对任意向量有其中等号当且仅当线性相关时成立。证明：证法1 通过构造关于的二次函数来证明设由实向量的内积的双线性，对称性和正定性可知当时，不等式成立。当时，由于成立，则等号当且仅当时成立，即不等式得证。证法2 通过利用实向量空间的内积的基本性质来证明如果故结论成立。若由内积的正定性知令仍由内积的正定性知，且等号只在时成立。把的表达式代入，利用内积的双线性计算得 由于且由内积的对称性知故，其等号只在时成立，即时成立，不等式获证。注：如果把此不等式中的内积用坐标表达出来，就是下述不等式：它也被称为柯西布尼亚可夫斯基不等式。 2.2.2应用2.2.2.1 用于证明不等式例5. 证明：证明：取由柯西施瓦茨不等式得整理得：2.2.2.2用于求最值例6. 已知的最小值。解：构造向量可得：由柯西施瓦茨不等式得： 则 即的最小值为.2.2.2.3 用于证明三维空间中点到面的距离公式例7. 已知为三维空间中的一点，平面求点解：设为平面上的任意一点，则 又因为由柯西施瓦茨不等式有 所以等号当且仅当即时成立。又由距离的定义可知点为。 2.3数学分析中的Cauchy-Schwarz不等式 2.3.1定理2.3.1.1定理2（积分学中的柯西施瓦茨不等式） 设在上可积，则.证法1 通过建立辅助函数来证明作函数，由定积分的性质得 = =故在上单调递减，即而故，即不等式成立。注：此证法的关键在于将变成而构建辅助函数，进而将问题转化成利用函数单调性来证明不等式。此外也可以类似定理1.1和定理2.1构建一元二次函数来求证。证法 2 通过构造积分不等式来证明 因为在上可积，所以都可积，且对任何实数也可积，又故，即由此推得关于的二次三项式的判别式非正，即故.注：此法的关键在于构造积分不等式，展开求关于的判别式，这就将问题转化成了关于的二次三项式有无根的问题。证法 3 通过利用定积分的定义来证明因为在上可积，所以都可积，对区间进行等分，分为由定积分的定义得 因为，故即.注：此证法的关键在于应用“分割，近似求和，取极限”的思想方法.证法4 通过利用二重积分的知识来证明3令 = = = 当且仅当时，故当时，故综上则有.注：本证法将问题转化成二重积分问题，并利用了轮换对称性，重积分对称性在积分中的应用时高等数学学习中的一个重点、难点，值得注意。2.3.1.2 定理（数项级数的柯西施瓦茨不等式） 若级数收敛，则级数收敛，且.证明：由于收敛，则有收敛，而，故绝对收敛.由定理1.1中的可知当令取极限时，即为所要证明的不等式. 2.3.2 应用2.3.2.1 用于证明不等式 例8. 若都在在上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式： 证明：由柯西施瓦茨不等式得 故 2.4概率空间中的Cauchy-Schwarz不等式 2.4.1 定理4 设为任意随机变量，若存在，则也存在，且，等号成立当且仅当存在常数，使得证明：构造二次函数 定义任意实数的二次函数为因为对一切，必然有，从而有于是方程要么无实根，要么有一个实根，即重根，则判别式非正，从而，即.当等号成立，方程有一个重根，使，从而即且，于是反之，若存在常数，使得成立，即从而于是即故即在式中等号成立。 2.4.2 应用2.4.2.1 用于研究两个随机变量的相关系数 例9. 对于相关系数成立，并且当且仅当；而当且仅当证明：对随机变量应用柯西施瓦茨不等式有 即，故等号成立当且仅当存在使得 （其中是方程时的解）显然，时，即 时，即 注：以上表明，当时，存在完全线性关系，这时如果给定一个随机变量的值，另一个随机变量的值便完全决定.2.4.2.2用于求方程的系数 例10.当函数是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程的模型时，要求实际观察值与趋势值离差的平方和必须为最小。解：设这里令整理得消去由柯西施瓦茨不等式得，故等号成立当且仅当.又由于为时间变量，故，所以故2.4.2.3 用于判断极值是否存在 例11. 证明存在极小值。 证明：因为求二阶偏导得因为由柯西施瓦茨不等式得所以又故存在极小值。从以上两个例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性5。 3Cauchy-Schwarz不等式四种形式的内在联系 3.1证明方法的相似性 以上我们介绍了柯西施瓦茨不等式在实数域、维欧式空间、数学分析、概率空间四个不同分支的表现形式，并简单说明了其在各个领域内的应用，尽管这四种表现形式涉及到不同的数学对象，证明方法各自也呈现出多样化，但是我们发现，这四种种形式在证明方法上都可以通过构造二次函数或者二次不等式（本质都是通过判别式对根的情况进行判断）来进行统一的证明。如： 在实数域中令在维欧式空间中令在微积分中令在概率空间中令从以上各式可看出都是通过构造二次函数或二次不等式，利用判别式进行求证。 3.2内在之间的互推性6 从“分析”的角度：定理2.1.1定理2.3.1.1从“代数”的角度：本质上是一致的，如：1）若在向量空间中取，定义内积，则定理2.2.1定理2.1.12）若在空间取，定义内积，则定理2.2.1定理2.3.1.1从“测度论”的角度：1） 若选取离散型随机变量 则，故定理2.4.1定理2.1.12） 若选取连续性随机变量则故定理2.4.1定理2.3.1.13.3 四种形式的本质是内积在不同的（赋范）空间的表现形式即为柯西施瓦茨不等式在实数域和维欧式空间的表现形式。即为柯西施瓦茨不等式在数学分析数项级数上的表现形式。 当定义内积其中是关于在上的连续函数，则取即为柯西施瓦茨不等式在数学分析积分学中的表现形式。 当定义内积，若为随机变量，取，则由得，即为柯西施瓦茨不等式在概率空间的表现形式。 因此，柯西施瓦茨不等式的四种形式是内积在不同的（赋范）空间的表现形式。参考文献：1樊恽，刘宏伟,线性代数与解析几何教程（下册）M. 北京：科学出版社，2009.2华东师范大学数学系编，数学分析（上册，第三版）M，北京：高等出版社，2001（2009重印）3付英贵，关于柯西施瓦茨不等式证明J.西南科技大学高教研究，2009,93（4）：8-94李贤平，概率论基础（第三版）M.北京：高等出版社，2010.5 常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数J北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.6张千祥.柯西不等式的教学价值J.大学数学，2004(2):116-118.16