2020版数学人教A版必修3学案：第二章 专题突破三 Word版含解析.pdf

专题突破三 例析频率分布直方图中的统计问题专题突破三 例析频率分布直方图中的统计问题 一、求样本中限制条件下的个体所占频率 例 1 观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在2 700,3 000)的频率 为( ) A0.001 B0.1 C0.2 D0.3 思维切入 求对应区间上的小矩形的面积 答案 D 解析 由直方图的意义可知，在区间2 700,3 000)内取值的频率为(3 0002 700)×0.0010.3. 点评 频率为直方图中相应小长方形的面积，即频率纵坐标×横坐标差的绝对值 跟踪训练 1 某中学举办电脑知识竞赛，满分为 100 分，80 分以上为优秀(含 80 分)，现将高 一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组，绘制成频率分布直方图如下图所示 已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30,0.15,0.10,0.05，而第二小组的 频数是 40，则参赛的人数是_，成绩优秀的频率是_ 答案 100 0.15 解析 设参赛的人数为 n，第二小组的频率为 1(0.300.150.100.05)0.4， 依题意0.4， 40 n n100，优秀的频率是 0.100.050.15. 二、求样本中限制条件下的个体的频数 例 2 某市高三数学抽样考试中，对 90 分以上的成绩进行统计，其频率分布如图所示若 130140 分数段的人数为 90，则 90100 分数段的人数为_ 思维切入 对应区间上的频数即为对应区间的频率×样本总体 答案 810 解析 由于 90 分以上的考试人数是样本总体， 则图中 5 个分数段的频率之和等于 1， 设 130 140 分数段的频率为 p，则 0.450.250.150.10p1，即 0.95p1，则 p0.05，设该 样本总体共有 n 个学生的分数，且设 90100 分数段的人数为 x，则由频率概念得Error!Error!解 得Error!Error!故 90100 分数段的人数为 810. 点评 本题是频率分布条形图 由于各分数段的人数与频率成正比， 则可由， 求出 x ； x 90 0.45 0.05 题设条形图的纵坐标是“频率”这是有别于常规的，在审题时不能混淆 跟踪训练 2 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张 压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到 右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直 方图已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人 数为_ 答案 12 解析 志愿者的总人数为50， 20 0.240.16 × 1 所以第三组人数为 50×0.36×118， 所以有疗效的人数为 18612. 三、求频率分布直方图中的参数问题 例 3 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校 100 名高三学生的视力，得到频 率分布直方图，如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前 4 组的频数成等比数列，后 6 组 的频数成等差数列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b，则 a，b 的值分别 为( ) A0.27,78 B0.27,83 C2.7,78 D2.7,83 思维切入 根据频率分布直方图的性质列方程求解 答案 A 解析 注意到纵轴表示，由图象可知， 频率 组距 前 4 组的公比为 3，最大频率 a0.1×33×0.10.27， 设后 6 组公差为 d， 则 0.010.030.090.27×6·d1， 5 × 6 2 解得 d0.05，即后 6 组频率的公差为0.05， 所以，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 (0.270.220.170.12)×10078， 故选 A. 点评 解答本题关键是要利用频率分布直方图中残缺不全的数据，分析它们之间存在的内在 关系 跟踪训练 3 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位 ： 分钟)，并将所得数据绘制 成频率分布直方图(如图所示)，其中上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为0,20)， 20,40)，40,60)，60,80)，80,100 (1)求频率分布直方图中 x 的值； (2)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校 600 名新生中有多 少名学生可以申请住宿 解 (1)由频率分布直方图可得 20×x0.025×200.006 5×200.003×2×201，所以 x 0.012 5. (2)由频率分布直方图可知，新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为 0.003×2×200.12.因 为 600×0.1272，所以估计 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿 四、频率分布直方图中的数字特征 例 4 从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图 (如图) (1)由图中数据求 a 的值； (2)若要从身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人 参加一项活动，则从身高在140,150的学生中选取的人数应为多少？ (3)估计这所小学的小学生身高的众数、中位数(保留两位小数)及平均数 思维切入 众数即为出现次数最多的数，所以它的频率最大，在最高的小矩形中中位数即 为从小到大中间的数(或中间两数的平均数) 解 (1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1， 所以 10×(0.0050.035a0.0200.010)1， 解得 a0.030. (2)由直方图知，身高在120,130)，130,140)，140,150三组的学生总数为 100×10×(0.030 0.0200.010)60， 其中身高在140,150的学生人数为 10， 所以从身高在140,150内选取的学生人数为×103. 18 60 (3)根据频率分布直方图知，身高在110,120)的小矩形最高， 所以这所小学的小学生身高的众数为 115(cm) 110120 2 又 0.005×100.035×100.40.5， 040.030×100.70.5， 所以中位数在120,130)内，可设为 x， 则(x120)×0.0300.40.5， 解得 x123.33， 所以中位数为 123.33 cm. 根据频率分布直方图，计算平均数为 105×0.05115×0.35125×0.3135×0.2145×0.1124.5(cm) 点评 用频率分布直方图求得的众数、中位数不一定是样本中的具体数 跟踪训练 4 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布 直方图，据此估计这批产品的中位数为( ) A20 B25 C22.5 D22.75 答案 C 解析 产品的中位数出现在频率是 0.5 的地方自左至右各小矩形的面积依次为 0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是 x，则由 0.10.20.08×(x20)0.5， 得 x22.5，故选 C. 1统计某校 1 000 名学生的数学水平测试成绩，得到样本的频率分布直方图如图所示若满 分为 100 分，规定不低于 60 分为及格，则及格率是( ) A20% B25% C60% D80% 答案 D 2在中秋的促销活动中，某商场对 9 月 14 日 9 时到 14 时的销售额进行统计，其频率分布直 方图如图所示，已知 12 时到 14 时的销售额为 7 万元，则 10 时到 11 时的销售额为( ) A1 万元 B2 万元 C3 万元 D4 万元 答案 C 3如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图， 其中平均气温的范围是20.5,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5)，21.5,22.5)，22.5,23.5)， 23.5,24.5)，24.5,25.5)，25.5,26.5已知样本中平均气温低于 22.5 的城市个数为 11，则 样本中平均气温不低于 25.5 的城市个数为_ 答案 9 4一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如图)为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2 500,3 000)(元)月收入段应抽出 _人 答案 25 解析 由频率分布直方图可得2 500,3 000)(元)月收入段共有 10 000×0.000 5×5002 500(人)，按分层抽样应抽出 2 500×25(人) 100 10 000 5我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调 查通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)， 0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图估计居民月均用水量的中 位数 解 由(0.080.16a0.420.50a0.120.080.04)×0.51， 解得 a0.30.设中位数为 x 吨 因为前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.210.250.730.5. 而前 4 组的频率之和为 0.040.080.150.210.480.5. 所以 2x2.5. 由 0.50×(x2)0.50.48，解得 x2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为 2.04 吨 6某市居民用水拟实行阶梯水价每人月用水量中不超过 w 立方米的部分按 4 元/立方米收 费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费从该市随机调查了 10 000 位居民，获得了他 们某月的用水量数据，整理得到如图所示的频率分布直方图： (1)如果 w 为整数， 那么根据此次调查， 为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/方立米， w 至少定为多少？ (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替当 w3 时，估计该市居民该月的人 均水费 解 (1)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间0.5,1)，1,1.5)，1.5,2)， 2,2.5)，2.5,3)内的频率依次为 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%. 依题意，w 至少定为 3. (2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号12345678 分组2,4)4,6)6,8)8,10)10,12)12,17)17,22)22,27 频率0.10.150.20.250.150.050.050.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 4×0.16×0.158×0.210×0.2512×0.1517×0.0522×0.0527×0.0510.5(元). 一、选择题 1从向阳小区抽取 100 户居民进行月用电量调查，为制定阶梯电价提供数据，发现其月用电 量都在 50 到 350 度之间，制作频率分布直方图(如图所示)的工作人员粗心大意，位置 t 处未 标明数据，则 t 等于( ) A0.004 1 B0.004 2 C0.004 3 D0.004 4 答案 D 解析 由题意得 50×(0.006t0.003 60.002 4×20.001 2)1，故 t0.004 4.故选 D. 2有一容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在区间10,12内的频数为( ) A18 B36 C54 D72 答案 B 解析 易得样本数据落在区间10,12内的频率为 0.18，则样本数据落在区间10,12内的频数 为 36. 3测量某地新生婴儿的体重，得到其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重(单位 ： g) 在2 700,3 000)的频率为( ) A0.001 B0.1 C0.2 D0.3 答案 D 解析 由频率分布直方图可知，所求频率为 0.001×3000.3. 4某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方 图， 其中自习时间的范围是17.5,30， 样本数据分组为17.5,20)， 20,22.5)， 22.5,25)， 25,27.5)， 27.5,30根据频率分布直方图可知，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人 数是( ) A56 B60 C120 D140 答案 D 解析 设所求人数为 N，则 N2.5×(0.160.080.04)×200140，故选 D. 5如图是某班 50 名学生身高的频率分布直方图，那么身高(单位：cm)在区间150,170)内的 学生人数为( ) A16 B20 C22 D26 答案 B 解析 根据频率分布直方图可知身高在区间150,170)内的频率为(0.010.03)×100.4， 所以 身高在区间150,170)内的学生人数为 50×0.420，故选 B. 6 某学校对高二年级一次考试进行抽样分析， 如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率 分布直方图，其中抽样成绩的范围是96,106，样本数据分组为96,98)，98,100)，100,102)， 102,104)，104,106已知样本中成绩小于 100 分的人数是 36.则样本中成绩大于或等于 98 分且小于 104 分的人数是( ) A90 B75 C60 D45 答案 A 解析 因为样本中成绩小于100分的人数是36， 其对应频率之和为0.050×20.100×20.3， 所以样本总数为 36÷0.3120，所以样本中成绩大于或等于 98 分且小于 104 分的人数为 120×2×(0.1000.1500.125)90，故选 A. 7 如图是某校高一一次数学考试成绩的样本频率分布直方图(样本容量 n200)， 若成绩不低 于 60 分为及格，则样本中的及格人数是( ) A6 B36 C60 D120 答案 D 解析 由题中频率分布直方图得，成绩不低于 60 分的人数为(0.0120.018)×20×200120. 8为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了 n 个同学进行调查，结果显示这些学生的 支出金额(单位 ： 元)都在10,50内，其中支出金额在30,50内的学生有 117 人，频率分布直方 图如图所示，则 n 等于( ) A180 B160 C150 D200 答案 A 解析 30,50对应的概率为 1×100.65，所以 n180.(0.010.025) 117 0.65 二、填空题 9 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况， 现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽车的时 速，所得数据均在区间40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车中， 时速在区间40,60)内的汽车有_辆 答案 80 解析 由频率分布直方图得： 时速在区间40,60)内的汽车的频率为(0.010.03)×100.4. 时速在区间40,60)内的汽车有 0.4×20080(辆) 10某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外 阅读所用的时间的条形图(如图所示)根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读 时间为_ 答案 0.9 解析 这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(0×50.5×201.0×101.5×10 2.0×5)÷500.9(小时)故选 B. 三、解答题 11 为了了解小学生的体能情况， 抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试， 将数据整理后，画出频率分布直方图如图所示已知图中从左到右前三个小组的频率分别为 0.1,0.3,0.4，且第一小组的频数为 5. (1)求第四小组的频率； (2)求参加这次测试的学生的人数； (3)若一分钟跳绳次数在 75 次以上(含 75 次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率 解 (1)第四小组的频率为 10.10.30.40.2. (2)设参加这次测试的学生有 x 人，则 0.1x5，解得 x50，故参加这次测试的学生有 50 人 (3)由题意及频率分布直方图知，样本数据的达标率约为 0.30.40.20.9， 可估计该年级学生跳绳测试的达标率为 90%. 12为组织好“市九运会” ，组委会征集了 800 名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到 如图所示的频率分布直方图，但是年龄在25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得： (1)年龄分组25,30)对应小长方形的高度为_ (2)这 800 名志愿者中年龄在25,35)内的人数为_ 答案 (1)0.04 (2)440 解析 (1)因为各个小长方形的面积之和为 1，所以年龄分组25,30)对应小长方形的高度为 0.04.(2)年 龄 在 25,35)内 的 频 率 为 15 × 0.015 × 0.075 × 0.065 × 0.02 5 0.04×50.07×50.55，人数为 0.55×800440. 13某校 100 名学生的期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100 (1)求图中 a 的值； (2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如 下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数. 分数段50,60)60,70)70,80)80,90) xy11213445 解 (1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)×101，解得 a0.005. (2)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)分数段的人数依次为 0.005×10×1005,0.04×10×10040,0.03×10×10030,0.02×10×10020. 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述分数段的人数依次为 5,40× 20,30× 40,20× 25. 1 2 4 3 5 4 故数学成绩在50,90)之外的人数为 100(5204025)10.