2020版数学人教A版必修5学案：第三章 专题突破五 Word版含解析.pdf

专题突破五 一元二次方程根的分布问题专题突破五 一元二次方程根的分布问题 在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次 方程根的分布问题 设关于 x 的一元二次方程 ax2bxc0(a0)对应的二次函数为 f(x)ax2bxc(a0)，结 合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类 方程根的分布问题(此时 b24ac) 一、方程 f(x)0 在区间(k，)内有两个实根的条件是Error!Error! 例 1 方程 8x2(m1)xm70 的两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围 解 方法一 设函数 f(x)8x2(m1)xm7，作其草图，如图 若两实根均大于 1，需 Error!Error!即Error!Error!解得 m25. 方法二 设方程两根分别为 x1，x2，则 x1x2， m1 8 x1x2，因为两根均大于 1， m7 8 所以 x110，x210， 故有Error!Error! 即Error!Error! 解得Error!Error!所以 m25. 反思与感悟 在方法一中，如果少了条件 0，就会有导致范围扩大同 学可以自行考虑如果少了条件 2，条件 3 会怎样在方法二中，Error!Error!Error!Error!但 Error!Error!Error!Error!例如 x14，x2 . 1 2 所以Error!Error!不是等价条件 跟踪训练 1 若函数 f(x)x2(m2)x(5m)有两个小于 2 的不同零点，则实数 m 的取值 范围是 答案 (4，) 解析 依题意有Error!Error! 解得 m4. 二、方程 f(x)0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)0 例 2 方程 8x2(m1)xm70 两实根一个大于 2， 另一个小于 2， 求实数 m 的取值范围 解 设 f(x)8x2(m1)xm7，符合题意的 f(x)如图 方程一根大于 2，另一根小于 2，等价于 f(2)0， 即 8·22(m1)·2m727m0. 解得 m 的取值范围是 m27. 反思与感悟 用于限制一元二次方程根的分布的工具有三个：判别式 ；对称轴；区 间端点函数值的符号，但不一定每次每个工具都用到，同学可以结合图形按需取用 跟踪训练 2 已知方程 x2a2xa10 的两根 x1，x2满足 0x11，x21.则实数 a 的取值 范围是 答案 (，2) 解析 设 f(x)x2a2xa1. 依题意有Error!Error! 解得 a2. 三、方程 f(x)0 在区间(k1，k2)内有两个实根的条件是Error!Error! 例 3 方程 8x2(m1)xm70 两实根都在区间(1,3)内，求实数 m 的取值范围 解 设 f(x)8x2(m1)xm7， 符合题意的 f(x)图象如图 则Error!Error!即Error!Error!所以 25m34. 反思与感悟 本例中四个限制条件缺一不可，同学可以思考如果去掉其中一个条件会怎 样如去掉对称轴的限制，则会包含两根均小于 1 或均大于 3 的情形其本质是用零点存在 定理限制区间，上各有一个零点 (1， m1 16 ) ( m1 16 ，3) 跟踪训练 3 函数 g(x)2x2ax3 在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 解 依题意有Error!Error! 解得5a2 . 6 四、方程 f(x)0 的一根小于 k1，另一根大于 k2且 k1k2的条件是Error!Error! 例 4 方程 x2(m1)xm70 两根 x1，x2满足 x12，求实数 m 的取值范围 解 设 f(x)x2(m1)xm7. 符合题意的 f(x)图象如图 两根 x1，x2满足 x12， 则Error!Error!即Error!Error! 解得 m. (1， 7 2) 反 思 与 感 悟 如 果 求 出 两 根 ： x1， x2 m1m124m7 2 ，再解不等式组Error!Error! m1m124m7 2 显然比本例解法要麻烦得多 跟踪训练 4 关于 x 的方程 x22(m1)x2m60 两个实根 x1，x2满足 x12，x24，则 实数 m 的取值范围是 答案 (，7 5) 解析 设 f(x)x22(m1)x2m6. 依题意有Error!Error! 即Error!Error! 解得 m . 7 5 1 若关于 x 的方程 x2(m1)xm220 的一个实根小于1， 另一个实根大于 1， 则实数 m 的取值范围是_ 答案 (0,1) 解析 令 f(x)x2(m1)xm22，则由题意， 可得Error!Error!解得 0m1. 2方程(2m1)x22mx(m1)0 有一正根和一负根，则实数 m 的取值范围是_ 答案 (1 2，1) 解析 方法一 因为方程(2m1)x22mx(m1)0 有一正根和一负根，所以判别式大于 零，同时两根之积小于零， 所以Error!Error! 解得 m1. 1 2 方法二 令 f(x)(2m1)x22mx(m1)， 若要使方程 f(x)0 有一正根和一负根，则有(2m1)f(0)0 或 f(2)0 时， 不等式 x2mx40 一定有解，即 m50 或 2m80，解得 m5. 5设函数 f(x)(m3)x24mx2m1，xR.若方程 f(x)0 的两根异号，且负根的绝对值 比正根大，求实数 m 的取值范围 解 设方程的两根分别为 x1，x2，根据题意可得， Error!Error!即Error!Error! 解得3m0，所以 m 的取值范围为(3,0)