2020版数学人教B版必修3学案：第二章 2.3 变量的相关性 Word版含解析.pdf

2.3 变量的相关性 变量的相关性 学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具 有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程 知识点一 变量间的相关关系 思考 1 粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？ 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关 思考 2 怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？ 答案 画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系， 否则不具有线性相关关系 梳理 1相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的， 那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系 2散点图 将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图 3正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正 相关 (2)负相关 ： 如果一个变量的值由小变大时， 另一个变量的值由大变小， 这种相关称为负相关 知识点二 两个变量的线性相关 思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归直线方程吗？ 答案 用最小二乘法求回归直线方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利 用散点图来判断)，否则求出的回归直线方程是无意义的 梳理 回归直线方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 (2)回归直线方程：回归直线对应的方程叫做回归直线方程 (3)最小二乘法： 求回归直线方程 x 时， 使得样本数据的点到回归直线的离差平方和最小的方法叫做最y b a 小二乘法 Error!Error! 其中， 是回归直线方程的斜率， 是回归直线方程在 y 轴上的截距b a 1人的身高与年龄之间的关系是相关关系( × ) 2农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系( ) 3回归直线过样本点中心( ， )( )xy 题型一 变量间相关关系的判断 例 1 下列两个变量之间是相关关系的是( ) A圆的面积与半径之间的关系 B球的体积与半径之间的关系 C角度与它的正弦值之间的关系 D降雪量与交通事故的发生率之间的关系 答案 D 解析 由题意知 A 表示圆的面积与半径之间的关系 Sr2，B 表示球的体积与半径之间的 关系 V， C 表示角度与它的正弦值之间的关系 ysin ， 都是确定的函数关系， 只有 D 4r3 3 是相关关系，故选 D. 反思与感悟 函数关系是一种确定的关系， 而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 函 数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系 跟踪训练 1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A正方体的棱长与体积 B角的度数与它的正切值 C单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D日照时间与水稻的单位产量 答案 D 解析 函数关系与相关关系都是指两个变量之间的关系， 但是这两种关系是不同的， 函数关 系是指当自变量一定时， 函数值是确定的， 是一种确定性的关系 因为 A 项 Va3， B 项 ytan ，C 项 yax(a0，且 a 为常数)，所以这三项均是函数关系D 项是相关关系 题型二 散点图的应用 例 2 5 名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 学生 成绩 ABCDE 数学成绩8075706560 物理成绩7066686462 判断它们是否具有线性相关关系 解 以 x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系 反思与感悟 (1)判断两个变量 x 和 y 间具有哪种相关关系，最简便的方法是绘制散点 图变量之间可能是线性的，也可能是非线性的(如二次函数)，还可能不相关 (2)画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形偏大或偏小，或者是点的坐标在坐标系 中画不准，使图形失真，导致得出错误结论 跟踪训练 2 下列图形中两个变量具有线性相关关系的是( ) 答案 C 解析 A 是一种函数关系；B 也是一种函数关系；C 中从散点图中可看出所有点看上去都在 某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关 ； D 中所有的点在散点图中没有显 示任何关系，因此变量间是不相关的 题型三 回归直线的求解与应用 例 3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的 零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果： 转速 x(转/秒)1614128 每小时生产有缺点的零件数 y(件)11985 (1)画出散点图； (2)如果 y 对 x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； (3)在实际生产中，若它们的近似方程为 yx ，允许每小时生产的产品中有缺点的零件 51 70 6 7 最多为 10 件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解 (1)散点图如图所示： (2)近似直线如图所示： (3)由 y10 得x 10，解得 x14.9，所以机器的运转速度应控制在 14 转/秒内 51 70 6 7 引申探究 1本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？ 解 因为 yx ，所以当 x 增加一个单位时，y 大约增加. 51 70 6 7 51 70 2本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是 7，估计机器的转速 解 因为 yx ，所以当 y7 时，7x ， 51 70 6 7 51 70 6 7 解得 x11. 反思与感悟 求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据，设为(xi，yi)(i1,2，n)(数据一般由题目给出) (2)作出散点图，确定 x，y 具有线性相关关系 (3)把数据制成表格 xi，yi，x ，xiyi. 2 i (4)计算 ， iyi. x y n i1 x2 i n i1 x (5)代入公式计算 ，公式为Error!Error!b a (6)写出回归直线方程 x .y b a 跟踪训练 3 某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：百万元)之间有如下 对应数据： x24568 y3040605070 (1)画出散点图； (2)求回归直线方程 解 (1)散点图如图所示 (2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算. i12345 xi24568 yi3040605070 xiyi60160300300560 x2 i416253664 5， 50，145， iyi1 380 xy 5 i1 x2 i 5 i1 x 于是可得， 6.5，b 5 i1 xiyi5x y 5 i1 x2 i5x2 1 3805 × 5 × 50 1455 × 52 506.5×517.5.a yb x 于是所求的回归直线方程是 6.5x17.5.y 1设有一个回归直线方程为 21.5x，则变量 x 增加 1 个单位时，y 平均( )y A增加 1.5 个单位 B增加 2 个单位 C减少 1.5 个单位 D减少 2 个单位 答案 C 2工人工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的相关关系的回归直线方程为 5080x，下列判y 断正确的是( ) A劳动生产率为 1 000 元时，工人工资为 130 元 B劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 C劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 130 元 D当月工资为 250 元时，劳动生产率为 2 000 元 答案 B 解析 因为回归直线的斜率为 80，所以 x 每增加 1，y 平均增加 80，即劳动生产率提高 1 000 元时，工人工资平均提高 80 元 3设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本 数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为 0.85x85.71，则下列y 结论中不正确的是( ) Ay 与 x 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点中心( ， )xy C若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 答案 D 解析 当 x170 时， 0.85×17085.7158.79，体重的估计值为 58.79 kg.y 4已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，且过定点(4,5)，则回归直线方程是_ 答案 1.23x0.08y 解析 回归直线的斜率的估计值为 1.23， 即 1.23，b 又回归直线过定点(4,5)， 51.23×40.08，a 1.23x0.08.y 5 某地区近 10 年居民的年收入 x 与年支出 y 之间的关系大致符合 0.8x0.1(单位 ： 亿元)，y 预计今年该地区居民收入为 15 亿元，则今年支出估计是_亿元 答案 12.1 解析 将 x15 代入 0.8x0.1，得 12.1.y y 1判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图根据散点图，可以 很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关 2求回归直线方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，如果 两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归直 线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的 (2)用公式计算 ， 的值时，要先计算 ，然后才能算出 .a b b a 3 利用回归直线方程， 我们可以进行估计和预测 例如， 若回归直线方程为 x ， 则 xx0y b a 处的估计值为 0 x0 . y b a 一、选择题 1某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( ) A. 10x200 B. 10x200y y C. 10x200 D. 10x200y y 答案 A 解析 x 的系数为负数，表示负相关，排除 B，D，由实际意义可知 x0，y0，C 中，散 点图在第四象限无意义，故选 A. 2 对变量 x， y有观测数据(xi， yi)(i1,2,3， 10)， 得散点图 1； 对变量 u， v 有观测数据(ui， vi)(i 1,2,3，10)，得散点图 2，由这两个散点图可以断定( ) Ax 与 y 正相关，u 与 v 正相关 Bx 与 y 正相关，u 与 v 负相关 Cx 与 y 负相关，u 与 v 正相关 Dx 与 y 负相关，u 与 v 负相关 答案 C 解析 由图 1 可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故 x 与 y 负 相关； 由图 2 可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故 u 与 v 正相关 3已知 x 与 y 之间的一组数据： x0123 ym35.57 已求得关于 y 与 x 的回归直线方程为 2.2x0.7，则 m 的值为( )y A1 B0.85 C0.7 D0.5 答案 D 解析 1.5， ， 将其代入 2.2x0.7， 可得 m0.5， 故选 D.x 0123 4 y m35.57 4 y 4根据如下样本数据 x345678 y4.02.50.50.52.03.0 得到的回归直线方程为 x ，则( )y b a A. 0， 0 B. 0， 0a b a b C. 0， 0 D. 0， 0a b a b 答案 B 解析 画出散点图，知 0， 0.a b 5已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观测数据算xy 得的回归直线方程可能是( ) A. 0.4x2.3 B. 2x2.4y y C. 2x9.5 D. 0.3x4.4y y 答案 A 解析 由变量 x 与 y 正相关知 C，D 均错，又回归直线经过样本点的中心(3,3.5)，代入验证 得 A 正确，B 错误 故选 A. 6已知 x 与 y 之间的一组数据： x0123 y1357 若 y 与 x 线性相关，则 y 与 x 的回归直线 x 必过( )y b a A点(2,2) B点(1.5,0) C点(1,2) D点(1.5,4) 答案 D 解析 1.5， 4，x 0123 4 y 1357 4 回归直线必过点(1.5,4)故选 D. 7已知 x，y 的取值如表所示： x234 y645 如果 y 与 x 线性相关，且回归直线方程为 x，则 等于( )y b 13 2 b A B. C D. 1 2 1 2 1 10 1 10 答案 A 解析 3， 5，x 234 3 y 645 3 回归直线过点(3,5)， 53 ，b 13 2 ，故选 A.b 1 2 8某产品的广告费用 x(单位：万元)与销售额 y(单位：万元)的统计数据如下表： 广告费用 x4235 销售额 y49263954 根据上表可得回归方程 x 中的 为 9.4， 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为( )y b a b A63.6 万元 B65.5 万元 C67.7 万元 D72.0 万元 答案 B 解析 3.5， 42.因为回归直线过点( ， )，所以 42x 4235 4 y 49263954 4 xy 9.4×3.5 ，解得 9.1.故回归方程为 9.4x9.1.所以当 x6 时， 6×9.49.165.5.a a y y 二、填空题 9为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的数据，计算得 回归直线方程为 0.85x0.25.由以上信息，可得表中 c 的值为_.y 天数 x34567 繁殖数量 y(千个)2.5344.5c 答案 6 解析 5，x 34567 5 ，y 2.5344.5c 5 14c 5 代入回归直线方程中得0.85×50.25， 14c 5 解得 c6. 10如图所示的五组数据(x，y)中，去掉_后，剩下的四组数据相关性增强 答案 (4,10) 解析 去掉点(4,10)后，其余四点大致在一条直线附近，相关性增强 11在一次试验中测得(x，y)的四组数据如下： x16171819 y50344131 根据上表可得回归直线方程 5x ，据此模型预报当 x20 时，y 的值为_y a 答案 26.5 解析 17.5， 39，x 16171819 4 y 50344131 4 回归直线过点(17.5,39)， 395×17.5 ， 126.5，a a 当 x20 时，y5×20126.526.5. 12某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据： 产量 x(千件)2356 成本 y(万元)78912 由表中数据得到的回归直线方程 x 中 1.1，预测当产量为 9 千件时，成本约为y b a b _万元 答案 14.5 解析 由表中数据得 4， 9，xy 代入回归直线方程得 4.6，a 当 x9 时， 1.1×94.614.5.y 三、解答题 13某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 第 x 年12345 需求量 y(万吨)36578 (1)利用所给数据求两变量之间的回归直线方程 x ；y b a (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地第 6 年的粮食需求量 解 (1)由所给数据得 3， 5.8，xy 1.1， 2.5，b 5 i1 x ixyi y 5 i1 x i x 2 a yb x 1.1x2.5.故所求的回归直线方程为 1.1x2.5.y y (2)第 6 年的粮食需求量约为 1.1×62.59.1(万吨)y 14从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位 ： 千元)与月储蓄 yi(单 位：千元)的数据资料，算得 i80，i20，iyi184， 720. 10 i1 x 10 i1 y 10 i1 x 10 i1 x2 i (1)求家庭月储蓄 y(千元)关于月收入 x(千元)的回归直线方程； (2)若该居民区某家庭的月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 解 (1)由题意知 n10， i ×808，x 1 n 10 i1 x 1 10 i ×202，y 1 n 10 i1 y 1 10 又n 272010×8280， 10 i1 x2 ix iyin 18410×8×224， 10 i1 xx y 由此得 0.3， 20.3×80.4，b 24 80 a yb x 故所求回归直线方程为 0.3x0.4.y (2)将 x7 代入回归直线方程，可以得到该家庭的月储蓄约为 0.3×70.41.7(千元)y