2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.1.2 数列的递推公式（选学） Word版含解析.pdf

2.1.2 数列的递推公式 数列的递推公式(选学选学) 学习目标 1.理解数列的几种表示方法，能选择适当的方法表示数列.2.理解递推公式的含 义，能根据递推公式求出数列的前几项.3.了解用叠加法、叠乘法由递推公式求通项公式. 知识点一 递推公式 如果已知数列的第 1项(或前几项)， 且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与它的前一项 an 1(或前几项)(n2)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 特别提醒：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是表示数列的一种重要方法，它和通项公式一样，都是关于项数 n 的恒等式. (3)递推公式可以通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项. 知识点二 递推公式与通项公式的比较 通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已 知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 思考 (1)已知Error!求 a4； (2)已知 an2n，求 a4. 答案 (1)a2a124，a3a226，a4a328； (2)a42×48. 1.数列an中，若 an12an，nN，则 a22a1.( ) 2.利用 an12an，nN可以确定数列an.( × ) 3.ann 与 yx 的图象是相同的.( × ) 4.有些数列难以用通项公式和递推公式表示，但可以用列表法轻松表示.( ) 题型一 由数列前若干项归纳递推公式 例 1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个 数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式. 解 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的 3 倍，第(3)个是第(2) 个的 3 倍， 故有递推公式Error!个数依次为 1,3,9,27.则所求数列的前 4 项都是 3 的指数幂， 指 数为序号减 1.所以，这个数列的一个通项公式是 an3n-1，nN. 反思感悟 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的 关系，图象法则一如既往地直观. 跟踪训练 1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石 子的个数称为三角形数，则第 n 个三角形数比第 n1(n2，nN)个三角形数多_ 个石子. 答案 n 解析 a2a12，a3a23，anan1n. 题型二 数列的递推公式 命题角度 1 由递推公式求前若干项 例 2 设数列an满足Error!写出这个数列的前 5 项. 解 由题意可知 a11，a212，a31 ，a41 ，a511 . 1 a1 1 a2 3 2 1 a3 5 3 1 a4 3 5 8 5 引申探究 若数列an满足 a12，an1，nN，求 a2 019. 1an 1an 解 a23， 1a1 1a1 12 12 a3 ， 1a2 1a2 13 13 1 2 a4 ， 1a3 1a3 11 2 11 2 1 3 a52a1， 1a4 1a4 11 3 11 3 an是周期为 4 的数列， a2 019a4×5043a3 . 1 2 反思感悟 递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关系.对于通项公式，已知 n 的值即可 得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大， 则应考虑数列是否具有规律. 跟踪训练2 已知数列an中， a11， a22， an2an1an， nN， 试写出a3， a4， a5， a6， a7， a8， 你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第 2 019 项？ 解 a11，a22，a31，a41，a52，a61，a71，a82，. 发现：an6an，数列an具有周期性，周期 T6. 证明如下：an2an1an， an3an2an1(an1an)an1an. an6an3(an)an. 数列an是周期数列，且 T6. a2 019a336×63a31. 命题角度 2 由递推公式求通项 例 3 (1)对于任意数列an， 等式 ： a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2， nN) 都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，nN，求通 项 an； (2)若数列an中各项均不为零， 则有 a1····an(n2， nN)成立.试根据这一结论， a2 a1 a3 a2 an an1 完成问题：已知数列an满足：a11，(n2，nN)，求通项 an. an an1 n1 n 解 (1)当 n2 时， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 12(n1)12n1. 12 222 n 个 a11 也符合上式， 所以数列an的通项公式是 an2n1，nN. (2)当 n2 时，ana1···· a2 a1 a3 a2 an an1 1· · ·· . 1 2 2 3 n1 n 1 n a11 也符合上式， 所以数列an的通项公式是 an ，nN. 1 n 反思感悟 形如 an1anf(n)的递推公式， 可以利用 a1(a2a1)(a3a2)(anan1) an(n2，nN)求通项公式；形如f(n)的递推公式，可以利用 a1···· an1 an a2 a1 a3 a2 an an1 an(n2，nN)求通项公式.以上方法分别叫叠加法和叠乘法. 跟踪训练 3 已知数列an满足 a11，an1an ，nN，求数列的通项公式 an. 1 n 1 n1 解 an1an ， 1 n 1 n1 a2a1 ， 1 1 1 2 a3a2 ， 1 2 1 3 a4a3 ， 1 3 1 4 ， anan1 (n2)， 1 n1 1 n (a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1) ， (1 1 2) ( 1 2 1 3) ( 1 n1 1 n) 即 ana11 (n2，nN). 1 n ana11 11 (n2，nN)， 1 n 1 n 1 n 又当 n1 时，a11 也符合上式.an ，nN. 1 n 1.数列 1,3,6,10,15，的递推公式是( ) A.an1ann，nN B.anan1n，nN，n2 C.an1an(n1)，nN D.anan1(n1)，nN，n2 答案 C 解析 由已知得 a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，an1ann1，nN， 故选 C. 2.已知数列an满足 anan1an1(1)n(n2，nN)且 a11，则等于( ) a5 a3 A. B. C. D. 16 15 4 3 8 15 8 3 答案 B 解析 由 a11 得 a2a1a1(1)2，则 a22； 由 a3a2a2(1)3，得 a3 ；同理得 a43，a5 ，故 ，故选 B. 1 2 2 3 a5 a3 2 3 1 2 4 3 3.已知数列an满足 a12，an1an10(nN)，则此数列的通项 an等于( ) A.n21 B.n1 C.1n D.3n 答案 D 解析 an1an1. 当 n2 时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1) 2( 1) ( 1)( 1) n 共( -1)个 2(1)×(n1)3n. 当 n1 时，a12 也符合上式. 故数列的通项 an3n(nN). 4.数列xn中，若 x11，xn11(nN)，则 x2 019_. 1 xn1 答案 1 解析 x11，x2 ，x31， 1 2 数列xn的周期为 2，x2 019x11. 5.用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数 an与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 _. 答案 an2n1，nN 解析 a13，a2325，a33227， a432229，an2n1，nN. 1.an与 an是不同的两种表示，an表示数列 a1，a2，an，是数列的一种简记形式. 而 an只表示数列an的第 n 项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系. 2.数列的表示方法 (1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法. 3.通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映 an和 n 之间的关系，即 an是 n 的函数，知 道任意一个具体的 n 值，就可以求出该项的值 an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它 是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由 n 直接得出 an. 一、选择题 1.数列 ， ，的第 n 项 an与第 n1 项 an1的关系是( ) 1 2 1 4 1 8 1 16 A.an12an B.an12an C.an1 an D.an1 an 1 2 1 2 答案 D 2.已知数列an的首项 a11，且满足 an1 an(nN)，则此数列的第 4 项是( ) 1 2 1 2n A.1 B. C. D. 1 2 3 4 5 8 答案 B 解析 a2 a1 1；a3 a2 ；a4 a3 . 1 2 1 2 1 2 1 4 3 4 1 2 1 8 1 2 3.已知数列an中，an1man1(n1，nN)，且 a23，a35，则实数 m 等于( ) A. B. C.2 D.3 2 5 2 3 答案 A 解析 由题意得 a2ma31，即 35m1，m . 2 5 4.已知 a11，anan13(n2，nN)，则数列的通项公式为( ) A.an3n1 B.an3n C.an3n2 D.an3(n1) 答案 C 解析 anan13(n2，nN)，anan13. a2a13，a3a23，a4a33，anan13， 以上各式两边分别相加，得 ana13(n1)， ana13(n1)13(n1)3n2，a11 也符合上式，故选 C. 5.若 a11，an1(nN)，则给出的数列an的第 4 项是( ) an 3an1 A. B. C. D. 1 16 1 17 1 10 1 25 答案 C 解析 a2 ，a3 ，a4. a1 3a11 1 31 1 4 a2 3a21 1 4 3 41 1 7 a3 3a31 1 7 3 71 1 10 6.已知数列an中，an2n225n30(nN)，则数列中最大项的值是( ) A.107 B.108 C.108 D.109 1 8 答案 B 解析 由已知得 an2n225n302 2108 ， (n 25 4) 1 8 由于 nN，故当 n 取距离最近的正整数 6 时，an取得最大值 108. 25 4 数列an中的最大项的值为 a6108. 二、填空题 7.已知数列an中，a12，an(n2，nN)，则 a2 019_. 1 an1 答案 2 解析 a2 ，a32，a4 a2， 1 a1 1 2 1 a2 1 2 an的周期为 2，a2 019a12. 8.若数列an满足(n1)an(n1)an1(n2，nN)，且 a11，则 a100_. 答案 5 050 解析 由(n1)an(n1)an1，即(n2，nN)， an an1 n1 n1 则 a100a1····1× × ××5 050. a2 a1 a3 a2 a100 a99 3 1 4 2 101 99 9.已知数列an中，a1a2ann2(nN)，则 a9_. 答案 81 64 解析 a1a2a882， a1a2a992， ÷得 a9. 92 82 81 64 10.如图是一棵小树的生长示意图，第二年新生枝桠 2 个，第三年新生枝桠 4 个， 设第 n 年新生枝桠数为 an，则数列an的递推公式为_. 答案 anError! 三、解答题 11.根据下列条件，写出数列的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式. (1)a10，an1an2n1(nN)； (2)a11，an1an(nN). an n1 解 (1)a10，a21，a34，a49. 猜想 an(n1)2(nN). (2)a11，a2 ，a3 2，a4 . 3 2 4 2 5 2 猜想 an(nN). n1 2 12.已知各项均不为 0 的数列an满足 a1 ，anan1an1an(n2，nN)，求数列an的 1 2 通项公式. 解 anan1an1an，且各项均不为 0， 1. 1 an 1 an1 当 n2 时， 1 an 1 a1 ( 1 a2 1 a1) ( 1 a3 1 a2) ( 1 an 1 an1) 2n1. 11 1 11 n 个 n1，当 n2 时，an. 1 an 1 n1 a1 也符合上式，an(nN). 1 2 1 n1 13.已知数列an满足：a1m(m 为正整数)，an1Error!若 a44，求 m 所有可能的取值. 解 若 a3为奇数，则 3a314，a31，若 a2为奇数，则 3a211，a20(舍去)，若 a2为 偶数，则1，a22. a2 2 若 a1为奇数，则 3a112，a1 (舍去)， 1 3 若 a1为偶数，2，a14； a1 2 若 a3为偶数，则4，a38， a3 2 若 a2为奇数，则 3a218，a2 (舍去). 7 3 若 a2为偶数，则8，a216. a2 2 若 a1为奇数，则 3a1116，a15. 若 a1为偶数，则16，a132. a1 2 故 m 所有可能的取值为 4,5,32. 14.由 1,3,5，2n1，构成数列an，数列bn满足 b12，当 n2 时，bn，则 b6 1n b a 的值是( ) A.9 B.17 C.33 D.65 答案 C 解析 bn， b2a23， b3a35， b4a59， b5a917， b6 1n b a 1 b a 2 b a 3 b a 4 b a a1733. 5 b a 15.在一个数列中，如果对任意 nN，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么这个数列叫做等 积数列， k 叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列， 且 a11， a22， 公积为 8， 则 a1a2 a3a12_. 答案 28 解析 依题意得数列an是周期为 3 的数列， 且 a11， a22， a34， 因此 a1a2a3a12 4(a1a2a3)4×(124)28.