2020版数学人教B版必修5学案：第二章 专题突破三 Word版含解析.pdf

专题突破三 数列通项公式的求法专题突破三 数列通项公式的求法 求数列的通项公式， 是数列问题中的一类重要题型， 在数列学习和考试中占有很重要的位置， 本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例 1 由数列的前 n 项，写出通项公式： (1)3,5,3,5,3,5，； (2) ，； 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 (3)2， ， ， ，； 5 2 13 4 33 8 81 16 (4) ， ， ， ，. 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 解 (1)这个数列前 6 项构成一个摆动数列，奇数项为 3，偶数项为 5.所以它的一个通项公式 为 an4(1)n，nN. (2)数列中的项以分数形式出现， 分子为项数， 分母比分子大 1， 所以它的一个通项公式为 an ，nN. n n1 (3)数列可化为 11,2 ，3 ，4 ，5， 1 2 1 4 1 8 1 16 所以它的一个通项公式为 ann，nN. 1 2n - 1 (4)数列可化为， 1 1 × 2 1 2 × 3 1 3 × 4 1 4 × 5 1 5 × 6 所以它的一个通项公式为 an，nN. 1 nn1 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到，故解 决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联 想基本数列，再考察它与基本数列的关系需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归 纳出的通项公式属于“猜想” ，而且表达式不一定唯一 跟踪训练 1 由数列的前几项，写出通项公式： (1)1，7,13，19,25，； (2) ， ， ，； 1 4 3 7 1 2 7 13 9 16 (3)1， ， ，. 8 5 15 7 24 9 解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列，且奇数项为正，偶 数项为负，所以它的一个通项公式为 an(1)n+1(6n5)，nN. (2)数列化为 ， ， ， ， 分子， 分母分别构成等差数列， 所以它的一个通项公式为 an 1 4 3 7 5 10 7 13 9 16 ，nN. 2n1 3n1 (3)数列化为， 221 3 321 5 421 7 521 9 所以数列的一个通项公式为 an(1)n+1，nN. n121 2n1 二、利用递推公式求通项公式 命题角度 1 累加、累乘 例 2 (1)数列an满足 a11，对任意的 nN都有 an1a1ann，求通项公式； (2)已知数列an满足 a1 ，an1an，求 an. 2 3 n n1 解 (1)an1ann1，an1ann1， 即 a2a12， a3a23， anan1n(n2) 等式两边同时相加得 ana1234 n(n2) 即 ana1234n1234n. nn1 2 又 a11 也适合上式，an，nN. nn1 2 (2)由条件知，分别令 n1,2,3，n1， an1 an n n1 代入上式得(n1)个等式，累乘，即···· × × ××(n2) a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 1 2 2 3 3 4 n1 n ，又a1 ，an. an a1 1 n 2 3 2 3n 又 a1 也适合上式，an，nN. 2 3 2 3n 反思感悟 形如 an1anf(n)的递推公式求通项可以使用叠加法，步骤如下： 第一步 将递推公式写成 an1anf(n)； 第二步 当 n2 时，依次写出 anan1，a2a1，并将它们叠加起来； 第三步 得到 ana1的值，解出 an； 第四步 检验 a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式叠 乘法类似 跟踪训练 2 在数列an中，a11，anan1n1(n2,3,4，)，求an的通项公式 解 当 n1 时，a11， 当 n2 时，Error!这 n1 个等式累加得， ana112(n1)， nn1 2 故 ana1且 a11 也满足该式， nn1 2 n2n2 2 an(nN) n2n2 2 命题角度 2 构造等差(比)数列 例 3 已知数列an满足 an13an2，且 a11，则 an_. 答案 2×3n-11 解析 设 an1A3(anA)，化简得 an13an2A. 又 an13an2，2A2，即 A1. an113(an1)，即3. an11 an1 数列an1是等比数列，首项为 a112，公比为 3. 则 an12×3n-1，即 an2×3n-11. 反思感悟 形如 an1panq(其中 p， q 为常数， 且 pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公 式，步骤如下： 第一步 假设递推公式可改写为 an1tp(ant)； 第二步 由待定系数法，解得 t； q p1 第三步 写出数列的通项公式； a n q p1 第四步 写出数列an通项公式 跟踪训练 3 已知数列an满足 an12an3×5n，a16，求数列an的通项公式 解 设 an1×5n+12(an×5n)， 将 an12an3×5n代入式， 得 2an3×5n×5n+12an2×5n， 等式两边消去 2an，得 3×5n×5n+12×5n， 两边除以 5n，得 352，则 1， 代入式得 an15n+12(an5n) 由 a1516510 及式得 an5n0， 则2， an15n + 1 an5n 则数列an5n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 则 an5n2n-1，故 an2n-15n(nN) 命题角度 3 预设阶梯转化为等差(比)数列 例 4 在数列an中，a12，an14an3n1，nN. (1)证明：数列ann是等比数列； (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 an14an3n1， 得 an1(n1)4(ann)，nN. 因为 a1110，所以 ann0，所以4， an1n1 ann 所以数列ann是首项为 1，公比为 4 的等比数列 (2)解 由(1)，可知 ann4n-1，nN， 于是数列an的通项公式为 an4n-1n，nN. 反思感悟 课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好 等差(比)数列让学者证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深 跟踪训练 4 在数列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN) (1)证明：数列是等差数列； 1 an (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 3anan1anan10(n2)， 整理得3(n2)， 1 an 1 an1 所以数列是以 1 为首项，3 为公差的等差数列 1 an (2)解 由(1)可得13(n1)3n2， 1 an 所以 an，nN. 1 3n2 三、利用前 n 项和 Sn与 an 的关系求通项公式 例 5 已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4，nN，则 an等于( ) A2n+1 B2n C2n-1 D2n-2 答案 A 解析 因为 Sn2an4，所以 n2 时，Sn-12an-14，两式相减可得 SnSn12an2an1， 即 an2an2an-1，整理得 an2an1，因为 S1a12a14，即 a14，所以2.所以数 an an1 列an是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 an4×2n-12n+1，故选 A. 反思感悟 已知 Snf(an)或 Snf(n)的解题步骤： 第一步 利用 Sn满足条件 p，写出当 n2 时，Sn1的表达式； 第二步 利用 anSnSn1(n2)，求出 an或者转化为 an的递推公式的形式； 第三步 若求出 n2 时的an的通项公式，则根据 a1S1求出 a1，并代入 n2 时的an的 通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式如果求出的是an的递 推公式，则问题化归为例 3 形式的问题 跟踪训练 5 在数列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN)，求数列an n1 2 的通项公式 an. 解 由 a12a23a3nanan1，得 n1 2 当 n2 时，a12a23a3(n1)an1 an， n 2 两式作差得 nanan1 an， n1 2 n 2 得(n1)an13nan(n2)， 即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列， 且a11， a21， 于是2a22， 故当n2时， nan 2·3n-2. 于是 anError! 1已知数列的前 4 项为 2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) Aan(1)n-11 BanError! Can2sin n 2 Dancos(n1)1 答案 C 解析 对 n1,2,3,4 进行验证，知 an2sin 不合题意，故选 C. n 2 2数列 0，的一个通项公式为( ) 2 3 4 5 6 7 Aan(nN) n1 n2 Ban(nN) n1 2n1 Can(nN) 2n1 2n1 Dan(nN) 2n 2n1 答案 C 解析 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可 3已知数列an满足 a11，anan1(n2)，则 an_. n1 n 答案 1 n 解析 因为 anan1(n2)， n1 n 所以 an1an2，a2 a1. n2 n1 1 2 以上(n1)个式子相乘得 ana1· · ·· . 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n 当 n1 时，a11 也满足 an . 1 n 综上 an . 1 n 4数列an的前 n 项和为 Snn23n1，nN，则它的通项公式为_ 答案 anError! 解析 当 n1 时，a1S15； 当 n2 时，anSnSn12n2. 故数列an的通项公式为 anError! 5 在等比数列an中， 若公比 q4， 且前三项之和等于 21， 则该数列的通项公式是_ 答案 an4n-1 解析 依题意 a14a142a121， 所以 a11， 所以 ana1qn-14n-1. 6已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n.求an的通项公式 解 因为 Sn2n23n， 所以当 n2 时， Sn12(n1)23(n1)2n27n5， 所以 anSnSn14n5，n2， 又当 n1 时，a1S11，满足 an4n5， 所以 an4n5，nN. 7已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0.证明an是等比数列，并求其通项公式 解 由题意得 a1S11a1，故 1，a1，a10. 1 1 由 Sn1an，Sn11an1， 得 an1an1an， 即 an1(1)an. 由 a10，0 得 an0， 所以. an1 an 1 所以an是首项为，公比为的等比数列， 1 1 1 所以 an n1，nN. 1 1( 1) 一、选择题 1已知数列an中，a12，an1an2n(nN)，则 a100的值是( ) A9 900 B9 902 C9 904 D11 000 答案 B 解析 a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a1 2(999821)2 2×29 902. 99 × 991 2 2已知数列an中，a11，an1，则这个数列的第 n 项为( ) an 12an A2n1 B2n1 C. D. 1 2n1 1 2n1 答案 C 解析 an1，a11，2. an 12an 1 an1 1 an 为等差数列，公差为 2，首项1. 1 an 1 a1 1(n1)·22n1， 1 an an. 1 2n1 3已知数列an的首项为 a11，且满足 an1 an，则此数列的通项公式 an等于( ) 1 2 1 2n A2n Bn(n1) C. D. n 2n1 nn1 2n 答案 C 解析 an1 an，2n+1an12nan2， 1 2 1 2n 即 2n+1an12nan2. 又 21a12， 数列2nan是以 2 为首项，2 为公差的等差数列， 2nan2(n1)×22n， an. n 2n - 1 4已知数列an满足 aa 4，且 a11，an0，则 an等于( ) 2n12 n A. B. C. D8n4n34n4n1 答案 A 解析 aa 4， 2n12 n 数列a 是等差数列，且首项 a 1，公差 d4， 2 n2 1 a 1(n1)·44n3. 2 n 又 an0，an.4n3 5已知数列an满足：Sn1an(nN)，其中 Sn为数列an的前 n 项和，则an的通项公 式 an等于( ) A. B. n C21-2n D2n n 2 ( 1 2) 答案 B 解析 因为 Sn1an， 所以 Sn11an1， 得 an1an1an，所以 an1 an. 1 2 n1 时，a11a1，解得 a1 ， 1 2 所以an是首项为 ，公比为 的等比数列， 1 2 1 2 所以 an · n-1n. 1 2( 1 2) ( 1 2) 6某种细胞开始时有 2 个，一小时后分裂为 4 个并死去 1 个，两小时后分裂为 6 个并死去 1 个，按照这种规律进行下去，100 小时后细胞的存活数为( ) A21001 B21001 C2991 D2991 答案 B 解析 由题意得Error!2， an11 an1 an2n-11，a1012101-1121001. 二、填空题 7如果数列an的前 n 项和 Sn2an1，则此数列的通项公式 an_. 答案 2n-1 解析 当 n1 时，S12a11，a12a11，a11. 当 n2 时，anSnSn1(2an1)(2an11)， an2an1，an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， an2n-1，nN. 8等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的 任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 则数列an的通项公式为_ 答案 an2·3n-1 解析 当 a13 时，不合题意； 当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意； 当 a110 时，不合题意 因此 a12，a26，a318. 所以公比 q3，故 an2·3n-1. 9在数列an中，a11，an1an，则数列an的通项公式 an_. n1 n 答案 n 解析 当 n2 时，an·····a1··· · n， an an1 an1 an2 a3 a2 a2 a1 n n1 n1 n2 3 2 2 1 n1 时，a11 也符合此式 10数列an满足 a11，anan1(n2 且 nN)，则数列an的通项公式为 an 1 nn1 _. 答案 21 n 解析 anan1(n2)，a11， 1 nn1 a2a11 ， 1 2 × 1 1 2 a3a2 ， 1 3 × 2 1 2 1 3 a4a3 ， 1 4 × 3 1 3 1 4 anan1 . 1 nn1 1 n1 1 n 以上各式累加，得 ana11 . (1 1 2) ( 1 2 1 3) ( 1 n1 1 n) 1 n ana11 2 ，当 n1 时，2 1a1， 1 n 1 n 1 n an2 ，故数列an的通项公式为 an2 . 1 n 1 n 11若数列an的前 n 项和 Sn an ，则an的通项公式是 an_. 2 3 1 3 答案 (2)n-1 解析 当 n1 时，a11； 当 n2 时，anSnSn1 an an1， 2 3 2 3 故2，故 an(2)n-1. an an1 三、解答题 12 已知数列an中， a11， an12an3， 数列bn中， b11， 且点(bn1， bn)在直线 yx1 上 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列bn的通项公式 解 (1)an12an3， an132(an3)， 2， an13 an3 又a134， 数列an3是首项为 4，公比为 2 的等比数列， an34·2n-12n1，an2n+13，nN. (2)(bn1，bn)在直线 yx1 上， bnbn11，即 bn1bn1，又 b11， 数列bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列， bnn，nN. 13已知 Sn4an，求 an与 Sn. 1 2n - 2 解 Sn4an， 1 2n - 2 Sn14an1，n2， 1 2n - 3 当 n2 时，SnSn1anan1an. 1 2n - 3 1 2n - 2 an an1 n-1. 1 2 ( 1 2) 2， an ( 1 2) n an1 ( 1 2) n1 2nan2n-1an12， 2nan是等差数列，d2，首项为 2a1. a1S14a12a1， 1 21 a11，2nan22(n1)2n. ann· n-1，nN， ( 1 2) Sn4an4n·4. 1 2n - 2 1 2n - 1 1 2n - 2 n2 2n - 1 14若数列an中，a13 且 an1a (n 是正整数)，则它的通项公式 an为_ 2 n 答案 an 1 2 3 n 解析 由题意知 an0，将 an1a 两边取对数得 lg an12lg an，即2，所以数列lg 2 n lg an1 lg an an是以 lg a1lg 3 为首项，2 为公比的等比数列，lg an(lg a1)·2n1lg ，即 an. 1 2 3 n1 2 3 n 15已知数列an的首项 a11，an1(nN) 4an an2 (1)证明：数列是等比数列 1 an 1 2 (2)求an的通项 an. (1)证明 因为 an1， 4an an2 所以 . 1 an1 an2 4an 1 4 1 2an 所以 . 1 an1 1 2 1 2( 1 an 1 2) 又 a11，所以 ， 1 a1 1 2 1 2 所以数列是以 为首项， 为公比的等比数列 1 an 1 2 1 2 1 2 (2)解 由(1)知 · n-1 ， 1 an 1 2 1 2( 1 2) 1 2n 即 ，所以 an. 1 an 1 2n 1 2 2n1 22n