反证法.ppt

反证法,前面我们学习了直接证明的两种最基本的方法： 综合法和分析法，其基本特点如下：,反证法(reduction to absurdity)是间接证明的一种基本方法，对于这种方法，我们在日常生活中并不陌生，在我们日常生活中，我们经常不自觉的利用这种方法来解决一些实际问题。,间接证明,古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。,路边苦李,小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”,王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,那么李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的!”,1.定义：从命题的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。,2、反证法的基本思路：只要证明所求证的结论不成立是错误的，从而肯定求证的结论是成立的。,反证法,3.反证法证题的基本步骤,假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立；,从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）可能与临时假设矛盾； （4）自相矛盾。,反证法的一般适用情形： （1）结论为否定性命题； （2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为 “唯一”类命题； （4）结论为 “有无穷多个”类命题。,已知：在O中,AB,CD为圆的两条相交弦,且不全为直径.求证AB,CD不能互相平分,证明,假设AB,CD互相平分,则ACBD为平行四边形,所以ACB=ADB,CAD=CBD,因为 ABCD为圆内接四边形,所以 ACB+ADB=180, CAD+CBD=180,因此 ACB=90,CAD=90,所以对角线AB,CD均为直径,与已知矛盾.,因此,AB,CD不能互相平分.,分析 如果直接证明，我们基本上是不知道从哪里着手，虽然我们有方法计算它的值，但不可能将它无止境的计算下去，这样做比较麻烦或根本就不可能，那么我们就采用反证法来证明。,证明,于是,存在互质的正整数m,n,m2=2n2,m为偶数,令m=2k(k是正整数),4k2=2n2,n2=2k2,n也为偶数.与m,n互质矛盾!,求证：两条直线相交，只有一个交点。,已知：直线 、 相交,求证：直线 、 只有一个交点。,练习,证明:,证明 假设_或_, 由于_时,_, 与 (x-a)(x-b)0矛盾, 又_时,_, 与(x-a)(x-b)0矛盾, 所以_.,x=a,x=b,x=a,(x-a)(x-b)=0,x=b,(x-a)(x-b)=0,x a且x b,求证：若(x-a)(x-b)0,则x a且x b.,+条件,结论,“对”,“不对”,新结论,条件,矛盾,成立,直接证明(综合、分析),间接证明(反证法),1、反证法的基本思路,2、反证法的一般步骤,3、反证法是间接证明,4、反证法作用,小结,