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2012 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2011 年 10 月 16 日 8：009：20 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.把答案填在横线上 1 设集合， 若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为, 4321 aaaaA A8, 5, 3, 1B ，则集合 A 2函数的值域为 1 1 )( 2 x x xf 3设为正实数，则 ba,22 11 ba 32 )(4)(abbab a log 4如果，那么 的取值范围是 )cos(sin7sincos 3355 )2 , 0 5现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个 项 目 都 有 人 参 加 ， 每 人 只 参 加 一 个 项 目 ， 则 满 足 上 述 要 求 的 不 同 安 排 方 案 数 为 （用数字作答） 6在四面体中，已知，则四面体ABCD60CDABDCADB3 BDAD2CD 的外接球的半径为 ABCD 7直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则012 yxxy4 2 BA,C90ACB 点的坐标为 C 8已知C，则数列中整数项的个数为 n a)95, 2 , 1( 2 1 6 200 3 200 n n n n n a 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9 （本小题满分 16 分）设函数，实数满足，| ) 1lg(|)(xxf)(,baba) 2 1 ()( b b faf ，求的值2lg4)21610( bafba, 10（ 本 小 题 满 分 20 分 ） 已 知 数 列满 足 ：R 且， n atta(32 1 ) 1t N 12 1) 1(2)32( 1 1 n n n n n n ta ttat an() * （1）求数列的通项公式； n a （2）若，试比较与的大小0t 1n a n a 11 （本小题满分 20 分） 作斜率为的直线 与椭圆： 3 1 lC1 436 22 yx 交于两点（如图所示） ，且在直线 的左上方BA,)2,23(Pl （1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；PAB （2）若，求的面积60APBPAB y x O P A B 2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2011 年 10 月 16 日 9：4012：10 二、 （本题满分 40 分）二、 （本题满分 40 分）证明：对任意整数，存在一个 次多项式4nn 01 1 1 )(axaxaxxf n n n 具有如下性质： （1）均为正整数； 110 , n aaa （2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有m)2( kk k rrr, 21 )()()()( 21k rfrfrfmf 三、 （本题满分 50 分）三、 （本题满分 50 分） 设是给定的正实数， 对任意正实数)4(, 21 naaa n n aaa 21 ，满足的三元数组的个数记为r)1 (nkjir aa aa jk ij ),(kji)(rfn 证明： 4 )( 2 n rfn 四、 （本题满分 50 分）四、 （本题满分 50 分）设 A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整93 数称 A 中的一个方格表为“好矩形” ，若它的所有数的和为 10 的倍)91, 31 (nmnm 数 称 A 中的一个的小方格为 “坏格” ， 若它不包含于任何一个 “好矩形” 求 A 中 “坏格”11 个数的最大值