2020版高考数学（理）刷题小卷练： 25 Word版含解析.pdf

刷题增分练 25 基本不等式及简单的线性规划 刷题增分练 小题基础练提分快 25 一、选择题 1 2019·山东临汾月考不等式 y(xy2)0 在平面直角坐标系 中表示的区域(用阴影部分表示)是( ) 答案：C 解析：由 y·(xy2)0，得Error!Error!或Error!Error!所以不等式 y·(xy 2)0 在平面直角坐标系中表示的区域是 C 项，故选 C. 2已知 00，y0，且 4xyxy，则 xy 的最小值为( ) A8 B9 C12 D16 答案：B 解析 ： 由4xyxy得 1， 则xy(xy)· 1 4 y 1 x ( 4 y 1 x) 4x y y x 4259，当且仅当 ，即 x3，y6 时取“” ，故选 B.4 4x y y x 4若直线 mxny20(m0，n0)被圆(x3)2(y1)21 截 得的弦长为 2，则 的最小值为( ) 1 m 3 n A4 B6 C12 D16 答案：B 解析：由题意，圆心坐标为(3，1)，半径为 1，直线被圆截 得的弦长为 2， 所以直线过圆心， 即3mn20,3mn2.所以 1 m (3mn)6， 当且仅当 3 n 1 2 ( 1 m 3 n) 1 2(6 n m 9m n ) 1 2(62 n m × 9m n ) 时取等号，因此 的最小值为 6，故选 B. n m 9m n 1 m 3 n 52019·湖南永州模拟已知三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对 边分别是 a，b，c，若2a，则ABC 是( ) c sinB b sinC A等边三角形 B锐角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 答案：C 解析 ： 2a， 由正弦定理可得， 2sinA2 c sinB b sinC sinC sinB sinB sinC 2， 即 sinA1， sinA1， 当且仅当， 即 BC sinC sinB· sinB sinC sinC sinB sinB sinC 时，等号成立，A ，bc，ABC 是等腰直角三角形，故选 C. 2 6 2019·开封模拟已知实数 x， y 满足约束条件Error!Error!则 z x2y ( 1 2) 的最大值是( ) A. B. 1 32 1 16 C32 D64 答案：C 解析：解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分 所示，设 ux2y，由图知，当直线 ux2y 经过点 A(1,3)时，u 取 得最小值， 即 umin12×35， 此时 z x2y取得最大值， 即 zmax ( 1 2) 532，故选 C. ( 1 2) 解法二 由题易知 z x2y的最大值在可行域的顶点处取得， ( 1 2) 只需求出顶点 A，B，C 的坐标分别代入 z x2y，即可求得最大 ( 1 2) 值联立得Error!Error!解得 A(1,3)，代入可得 z32；联立得Error!Error!解得 B ，代入可得 z； 联立得Error!Error!解得 C(2,0)，代入可得 z4. ( 1，3 2) 1 16 通过比较可知，在点 A(1,3)处，z x2y取得最大值 32，故选 C. ( 1 2) 7若实数 x，y 满足不等式组Error!Error!目标函数 zkxy 的最大值 为 12，最小值为 0，则实数 k( ) A2 B1 C2 D3 答案：D 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数 zkxy 可 化为 ykxz， 若 k0， 则 z 的最小值不可能为 0， 若 k0， 当直线 ykx z 过点(1,3)时， z 取最小值 0， 得 k3， 此时直线 ykxz 过点(4,0) 时，z 取得最大值 12，符合题意，故 k3. 82019·云南红河州统一检测设 x，y 满足条件Error!Error!若目标函 数 zaxby(a0，b0)的最大值为 2，则 的最小值为( ) 2 a 3 b A25 B19 C13 D5 答案：A 解析 ： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分，当直线 axby z(a0， b0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点(4,6)时， 目标函数zaxby(a0， b0)取得最大值2， 即2a3b1， 所以 ( 2 a 3 b) (2a3b)136136×225，当且仅当 ab 时等 ( b a a b) b a· a b 1 5 号成立，所以 的最小值为 25，故选 A. 2 a 3 b 二、非选择题 9已知 x0，则 f(x)4x2 5 4 1 4x5 3231. ( 54x 1 54x) 当且仅当 54x， 即 x1 时， 等号成立 故 f(x)4x2 1 54x 的最大值为 1. 1 4x5 102019·广东清远模拟若 x0，y0，且 1，则 xy 的最 1 x 9 y 小值是_ 答案：16 解析 ： 因为 x0， y0， 且 1， 所以 xy(xy)10 1 x 9 y ( 1 x 9 y) 10216，当且仅当 9x2y2，即 y3x12 时等号成 9x y y x 9x y ·y x 立故 xy 的最小值是 16. 112018·全国卷若 x，y 满足约束条件Error!Error!则 z3x2y 的 最大值为_ 答案：6 解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示 由 z3x2y 得 y x . 3 2 z 2 作直线 l0：y x.平移直线 l0，当直线 y x 3 2 3 2 z 2 过点(2,0)时，z 取最大值，zmax3×22×06. 12某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材 料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时； 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生 产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工 时的条件下， 生产产品 A、 产品 B 的利润之和的最大值为_元 答案：216 000 解析 ： 由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z2 100x900y，线性约束条件为 Error!Error!作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 zmax2 100×60900×100216 000(元) 刷题课时增分练 综合提能力 课时练 赢高分 25 一、选择题 1 2019·河北卓越联盟联考已知点(3， 1)和(4， 6)在直线 3x 2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围为( ) A(7,24) B(，7)(24，) C(24,7) D(，24)(7，) 答案：A 解析：由题意可知(92a)(1212a)0， b0， 并且 ， 成等差数列， 1 a 1 2 1 b 则 a9b 的最小值为( ) A16 B9 C5 D4 答案：A 解析 ： ， 成等差数列， 1， a9b(a9b) 1 a 1 2 1 b 1 a 1 b ( 1 a 1 b) 10 10216， 当且仅当 且 1 即 a4， b a b 9b a a b· 9b a a b 9b a 1 a 1 b 时等号成立，故选 A. 4 3 5 已知 a， b 为正实数， 函数 y2aexb 的图象过点(0,1)， 则 1 a 的最小值是( ) 1 b A32 B3222 C4 D2 答案：A 解析：因为函数 y2aexb 的图象过点(0,1)，所以 2ab1.又 a0，b0，所以 3 32，当且仅 1 a 1 b 2ab a 2ab b b a 2a b 2 当 ，即 ba 时取等号，所以 的最小值是 32. b a 2a b 2 1 a 1 b 2 6已知 x，y 满足约束条件Error!Error!若 zx4y 的最大值与最小值 之差为 5，则实数 的值为( ) A3 B.7 3 C. D1 3 2 答案：A 解析：作出不等式组Error!Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所 示，其中 A(1,4)，B(3，)由 zx4y，得 y x ，作出直 1 4 z 4 线 y x，并平移，知当该直线经过点 A 时，z 取得最大值，且最 1 4 大值为 14×417；当该直线经过点 B 时，z 取得最小值，且最小 值为 3453.因为 zx4y 的最大值与最小值之差为 5，所 以 17(53)2055，得 3.故选 A. 72019·太原模拟已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所 示(包含边界)， 若使目标函数 zaxy 取得最大值的最优解有无数多 个，则 a 的值为( ) A4 B.1 4 C. D. 5 3 3 5 答案：D 解析 ： 因为目标函数 zaxy， 所以 yaxz， 易知 z 是直线 y axz 在 y 轴上的截距 分析知当直线 yaxz 的斜率与直线 AC 的斜率相等时，目标函数 zaxy 取得最大值的最优解有无数多个， 此时a ，即 a ，故选 D. 22 5 2 15 3 5 3 5 82019·湖北联考已知实数 x，y 满足Error!Error!则 z |2x3y4|的 ( 1 2) 最小值为( ) A. B. 1 28 1 32 C. D. 1 48 1 64 答案：D 解析：由题意得，作出不等式组表示的平面区域，如图所示， 设 m2x3y4，在直线 2x3y40 上方并满足约束条件的区域 使得m的值为负数， 在点A处m取得最小值， 联立Error!Error!解得x1， y 4， 此时 mmin2×13×446， 则|m|max6， 在直线 2x3y40 下方并满足约束条件的区域使得 m 的值为正数，在点 C 处 m 取得最 大值，联立Error!Error!解得x2，y1，即C(2,1)，此时mmax5，|m|max5，故|m|max 6，故 z |2x3y4|在点 A(1,4)处取得最小值，最小值为 z6 ， ( 1 2) ( 1 2) 1 64 故选 D. 二、非选择题 9 2018·全国卷若 x， y 满足约束条件Error!Error!则 zxy 的最大 值为_ 答案：9 解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)xy 取得最大 值斜率为1 的直线 xyz(z 看做常数)的横截距最大， 由图可得直线 xyz 过点 C 时 z 取得最大值 由Error!Error!得点 C(5,4)， zmax549. 102019·郑州模拟已知不等式组Error!Error!表示的平面区域为 D， 若直线 ykx1 将区域 D 分成面积相等的两部分，则实数 k 的值是 _ 答案：1 3 解析：区域 D 如图中的阴影部分所示，直线 ykx1 经过定点 C(0,1)， 如果其把区域 D 划分为面积相等的两个部分， 则直线 ykx 1 只要经过 AB 的中点即可 由方程组Error!Error!解得 A(1,0) 由方程组Error!Error!解得 B(2,3) 所以 AB 的中点坐标为，代入直线方程 ykx1 得， k ( 3 2， 3 2) 3 2 3 2 1，解得 k . 1 3 11设函数 f(x)x，x0，) a x1 (1)当 a2 时，求函数 f(x)的最小值； (2)当 01， 所以 10， a x 11x2 1 因为 x1x2，所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，故 f(x1)f(x2)， 即 f(x)在0，)上为增函数 所以 f(x)minf(0)a.