高中数学竞赛教材讲义 第十八章 组合讲义.pdf
第十八章 组合 一、方法与例题 1抽屉原理。 例 1 设整数 n4,a1,a2,an是区间(0,2n)内 n 个不同的整数， 证明 ： 存在集合a1,a2,an 的一个子集，它的所有元素之和能被 2n 整除。 证明 （1） 若na1,a2,an,则n个不同的数属于n-1个集合1,2n-1， 2,2n-2,n- 1,n+1。 由抽屉原理知其中必存在两个数 ai,aj(ij)属于同一集合， 从而 ai+aj=2n 被 2n 整除 ； （2） 若 na1,a2,an， 不妨设 an=n， 从 a1,a2,an-1(n-13)中任意取 3 个数 ai, aj, ak(ai,0)不被 n 整除， 考虑 n 个数 a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。 ）若这 n 个数中有一个被 n 整除，设此数等于 kn，若 k 为偶数，则结论成立；若 k 为奇数， 则加上 an=n 知结论成立。 ）若这 n 个数中没有一个被 n 整除，则它们除以 n 的余数只能取 1,2,n-1 这 n-1 个值， 由抽屉原理知其中必有两个数除以 n 的余数相同，它们之差被 n 整除，而 a2-a1不被 n 整除， 故这个差必为 ai, aj, ak-1中若干个数之和，同）可知结论成立。 2极端原理。 例 2 在 n×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点 处如果写有 0， 那么该行与该列所填的所有数之和不小于 n。 证明 ： 表中所有数之和不小于 2 2 1 n 。 证明 计算各行的和、各列的和，这 2n 个和中必有最小的，不妨设第 m 行的和最小，记和 为 k，则该行中至少有 n-k 个 0，这 n-k 个 0 所在的各列的和都不小于 n-k，从而这 n-k 列的数 的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于 k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2 . 2 1 2 )( 2 2 n kkn 3.不变量原理。 俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。 例 3 设正整数 n 是奇数，在黑板上写下数 1，2，2n，然后取其中任意两个数 a,b,擦去 这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。 证明 设 S 是黑板上所有数的和， 开始时和数是 S=1+2+2n=n(2n+1)， 这是一个奇数， 因为|a- b|与 a+b 有相同的奇偶性，故整个变化过程中 S 的奇偶性不变，故最后结果为奇数。 例 4 数 a1, a2,an中每一个是 1 或-1，并且有 S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 证明：4|n. 证明 如果把 a1, a2,an中任意一个 ai换成-ai， 因为有 4 个循环相邻的项都改变符号， S 模 4 并不改变，开始时 S=0，即 S0，即 S0(mod4)。经有限次变号可将每个 ai都变成 1，而始 终有 S0(mod4)，从而有 n0(mod4)，所以 4|n。 4构造法。 例 5 是否存在一个无穷正整数数列 a1,a2a3，使得对任意整数 A，数列中仅 1 nn Aa 有有限个素数。 证明 存在。 取 an=(n!)3即可。 当 A=0 时， an中没有素数 ； 当|A|2 时， 若 n|A|， 则 an+A 均为|A|的倍数且大于|A|， 不可能为素数 ； 当 A=±1 时， an±1=(n!±1)(n!)2±n!+1， 当3 时均为合数。从而当 A 为整数时，(n!)3+A中只有有限个素数。 例 6 一个多面体共有偶数条棱，试证 ： 可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点， 指向它的箭头数目是偶数。 证明 首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则 命题成立。若有某个顶点 A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点 B，指向它的箭头 数也为奇数（因为棱总数为偶数） ，对于顶点 A 与 B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们， 对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除 A，B 外的每个顶点，指向 它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点 A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点， 指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点 数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。 5染色法。 例 7 能否在 5×5 方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再 回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？ 解 不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为 13 个，白格为 12 个，如果能实现， 因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。 6凸包的使用。 给定平面点集 A，能盖住 A 的最小的凸图形，称为 A 的凸包。 例 8 试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。 证明 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有 3 点是 原五边形的顶点。五边形共有 5 个顶点，故 3 个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的 边即为所求。 7赋值方法。 例9 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形， 用这种拐形去覆盖5×7的方格板， 每个拐形恰覆盖 3 个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方 格被覆盖的层数都相同？说明理由。 解 将 5×7 方格板的每一个小方格内填写数-2 和 1。如图 18-1 所示，每个拐形覆盖的三 个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另 一方面， 方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1， 当被覆盖K层时， 盖住的数字之和等于-K， 这表明不存在满足题中要求的覆盖。 -21-21-21-2 1111111 -21-21-21-2 1111111 -21-21-21-2 8图论方法。 例 10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与 其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。 证明 用点 A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两 点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中 有三条边两两不相邻 （即无公共顶点） 。 因为每个顶点的次数3， 所以可以找到两条边不相邻， 设为 A1A2，A3A4。 （1）若 A5与 A6连有一条边，则 A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求。 （2） 若A5与A6之间没有边相连， 不妨设A5和A1相连， A2与A3相连， 若A4和A6相连， 则A1A2， A3A4， A5A6对应的双色布满足要求 ； 若 A4与 A6不相连， 则 A6与 A1相连， A2与 A3相连， A1A5， A2A6， A3A4 对应的双色布满足要求。 综上，命题得证。 二、习题精选 1药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成 68 副药方，每副药方 中恰有 5 种药， 其中至少有一种是烈性的， 并且使得任选 3 种药恰有一副药方包含它们。 试问 ： 全部药方中是否一定有一副药方至少含有 4 种烈性药？（证明或否定） 221 个女孩和 21 个男孩参加一次数学竞赛， （1）每一个参赛者最多解出 6 道题；（2）对每 一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有 3 个女孩 和至少有 3 个男孩都解出。 3求证：存在无穷多个正整数 n，使得可将 3n 个数 1, 2, 3n 排成数表 a1, a2an b1, b2bn c1, c2cn 满足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且为 6 的倍数。 （2）a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且为 6 的倍数。 4给定正整数 n，已知克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1，2，n 克的所有物品，求 k 的最小值 f(n)。 5 空间中有 1989 个点， 其中任何 3 点都不共线， 把它们分成点数各不相同的 30 组， 在任何 3 个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应 分别为多少？ 6在平面给定点 A0和 n 个向量 a1，a2，an，且使 a1+a2+an =0。这组向量的每一个排 列都定义一个点集：A1，A2，An=A0，使得 n iii aaa, 21 nn iii AAaAAaAAa n 12110 , 21 求证：存在一个排列，使由它定义的所有点 A1，A2，An-1都在以 A0为角顶的某个 600角的 内部和边上。 7设 m, n, kN，有 4 个酒杯，容量分别为 m,n,k 和 m+n+k 升，允许进行如下操作 ： 将一个杯 中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。 开始时， 大杯中装满酒而另 3 个杯子却空着， 问 ： 为使对任何 SN，Sm+n+k，都可经过若干次操作，使得某个杯子中恰有 S 升酒的关于 m,n,k 的充分必要条件是什么？ 8设有 30 个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座 的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白 痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过 F，求总可以指出一位聪明人 的最大的 F。 9某班共有 30 名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分 出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？
