2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第29课__三角函数的最值问题含解析.pdf

_第 29 课_三角函数的最值问题_ 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最 值和值域 2. 掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修 4 第 2433 页、第 103116 页、第 119122 页 2. 解悟：正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？三角函数 yAsin(x)(A0， 0)的最值及对应条件；两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否 熟练？二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习 第 4 题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处，完成必修 4 第 131 页复习题第 9、10、16 题. 基础诊断 1. 函数 f(x)sinx，x的值域为_ ( 6， 2 3) ( 1 2，1 2. 函数 f(x)sinxcos的值域为_，_ (x 6) 33 解析：因为 f(x)sinxcos(x )sinxcosx sinx sinxcosxsin(x )， 6 3 2 1 2 3 2 3 2 3 6 所以函数 f(x)sinxcos(x )的值域为， 6 33 3. 若函数 f(x)(1tanx)cosx，0x0)的最小正周期为 . (2x 6) (1) 求 的值； (2) 求 f(x)在区间上的最大值和最小值 0， 7 12 解析：(1) 因为 f(x)sin2cos2x1 (2x 6) cos2x (sin2xcos 6cos2xsin 6) sin2x cos2xsin， 3 2 1 2 (2x 6) 所以 f(x)的最小正周期 T，解得 1. 2 2 (2) 由(1)得 f(x)sin. (2x 6) 因为 0x，所以 2x ， 7 12 6 6 4 3 所以当 2x ，即 x 时，f(x)取得最大值为 1； 6 2 6 当 2x ，即 x时，f(x)取得最小值为. 6 4 3 7 12 3 2 【变式题】 已知函数 f(x)sincosx. (x 6) (1) 求 f(x)的最大值，并写出当 f(x)取得最大值时，x 的集合； (2) 若 ，f，求 f(2a)的值 (0， 2) ( 6) 3 3 5 解析：(1) f(x)sincosx (x 6) sinx cosx 3 2 3 2 3(1 2sinx 3 2 cosx) sin，3 (x 3) 所以 f(x)max . 3 此时，x 2k ，kZ，即 x2k ，kZ. 3 2 6 故当 f(x)取得最大值 3 时，x 的集合为x|x2k ，kZ 6 (2) 由 fsin( )， ( 6) 3 2 3 3 5 得 sin ， ( 2) 3 5 所以 cos ，sin ， 3 5 4 5 (0， 2) 所以 f(2)sin3 (2 3) 3(1 2sin2 3 2 cos2) ×2sincos×(2cos21)3 1 2 3 2 × ×2× × ×(2×1)3 1 2 4 5 3 5 3 2 9 25 ×.3 ( 12 25 7 3 50) 24 321 50 考向 三角函数最值问题常见的其他函数形式 例 3 (1) 已知 x(0，)，求函数 ysinx的最小值； 2 sinx (2) 已知 (0，)，求函数 y的最大值； 3sin 13sin2 (3) 求函数 y(sinx2)(cosx2)的最大值与最小值 解析：(1) 设 sinxt(00，a1 时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单 调性求解 (3) 含有“正、余弦三姐妹” ，即含有 sinx±cosx，sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方 法是令 sinx±cosxt，|t|，将 sinxcosx 转化为关于 t 的函数关系式，从而转化为二次函数2 的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量 t 的范围的确定 【变式题】 (1) 求函数 y的最小值； 2sinx sinx2 (2) 若 0x ，求函数 y(1)(1)的最小值 2 1 cosx 1 sinx 解析：(1) y1 ， 42sinx sinx2 4 sinx2 1 3 所以最小值为 . 1 3 (2) y(1 1 cosx)(1 1 sinx) 1， sinxcosx1 sinxcosx 令 tsinxcosx，t(1，2 则 sinxcosx， t21 2 所以 y11， t1 t21 2 t22t1 t21 t1 t1 2 t1 由 1t，得 y32，22 所以函数的最小值为 32 . 2 自测反馈 1. 函数 y2sincos(xR)的最小值是_1_ ( 3x) ( 6 x) 解析 ： 因为cossin， 所以y2sincos2sinsin ( 6x) ( 3x) ( 3x) ( 6x) ( 3x) ( 3x) sin.因为 xR，所以 ymin1. (x 3) 2. 函数 ysin x 在区间0， b上恰好取得 2 个最大值， 则实数 b 的取值范围是_ 3 15 2 ，27 2) _ 解析：因为函数 ysin x 的周期为6，函数 ysin x 在区间0，b上恰好取得 2 个 3 2 3 3 最大值，则实数 b 满足b，解得b.故实数 b 的取值范围为. 5T 4 9T 4 15 2 27 2 15 2 ，27 2) 3. 函数 y的值域是_1，1_ 3cosx 2sinx 解析 ： 2yysinxcosx， ysinxcosx2y， 得sin(x)2y， sin(x)33y23 ，则|1，解得1y1. 2y y23 2y y23 4. 函数 f(x)sinxcosxsinx·cosx 的值域是 1， 2 1 2 解析 ： 令 tsinxcosxsin， 则 t， t212sinxcosx， 则 sinxcosx2 (x 4) 22 ， 则f(x)sinxcosxsinxcosxt (t22t1) (t1)21.因为t， t21 2 t21 2 1 2 1 2 22 所以 f(x)1， 2 1 2 1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： 形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求值域(最 值)； 形如 yasin2xbcos xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值 域(最值)； 形如 yasin xcos xb(sin x±cos x)c 的三角函数， 可先设 tsin x±cos x， 化为关于 t 的二次函数求值域(最值). 2. 你还有哪些体悟，写下来：