2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章 第8课　随机变量与超几何分布含解析.pdf

第 8 课_随机变量与超几何分布_ 1. 了解超几何分布及其特点 2. 掌握超几何分布列，并能进行简单的应用. 1. 阅读：选修 23 第 4955 页 2. 解悟 ： 掷骰子、摸球游戏 ； 抽样分析产品质量 ； 重解第 51 页例 3， 第 54 页例 2，体会方法和规范 3. 践习 ： 在教材空白处，完成 52 页练习第 3 题，55 页习题第 2、3、4、5 题. 基础诊断 1. 袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，在有放回抽取的条 件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能取值的个数是 _ 2. 随机变量 的取值为 0，1，2.若 P(0) ，E()1，则 P(1)_ 1 5 3. 从一副去掉大、小王的扑克牌(52 张)中任取 10 张，则至少有一张 K 的概率 _(列出表达式) 4. 一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒子中任取 3 个球来用，用完 后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，其中分布列为 P(X)，则 P(X4)的值 为_ 范例导航 考向 离散型随机变量的概率分布的性质 例 1 (1) 设 X 是一个离散型随机变量，其概率分布为 X101 P 1 3 23qq2 则 q_ (2) 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X01234 P0.20.10.10.3m 求 2X1 的概率分布 设随机变量 的概率分布为 Pak(k1，2，3，4，5) (X k 5) (1) 求 a； (2) 求 P； (X 3 5) (3) 求 P. ( 1 10 X 7 10) 考向 超几何分布 例 2 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有 10 个红球，20 个 白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出 5 个球 (1) 若摸到 4 个红球 1 个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率； (2) 若至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖的概率 生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格产品. 采购方接受该批产品的准则是： 从该批产品中任取 5 箱产品进行检测，若至多有 1 箱不合格产品，便接受该批产品. 问：该 批产品被接受的概率是多少？ 考向 离散型随机变量概率分布的求法 例 3 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装 有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球， 再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸 出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖3 红 1 蓝200 元 二等奖3 红 0 蓝50 元 三等奖2 红 1 蓝10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 (1) 求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率； (2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的概率分布与均值 E(X) 自测反馈 1. 设某项实验的成功率是失败率的 2 倍， 用随机变量 X 描述在 1 次实验中的成功次数， 则 P(X1)_ 2. 设随机变量 X 的概率分布列为 X1234 P 1 3 m 1 4 1 6 则 P(|X3|1)_ 3. 已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴在y轴的左侧， 其中a， b， c3， 2， 1， 0，1，2，3，在这些抛物线中，记随机变量 |ab|的取值，则 的均值 E()为_ 4. 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选三人中的女生 人数求： (1) 的分布列； (2) 所选三人中女生人数 1 的概率 1. 对于随机变量 X 的研究，需要了解随机变量 X 取哪些值，然后求取这些值或取某个 集合内值的概率对于离散型随机变量，它的分布列是指出了随机变量 X 的取值范围以及 取这些值的概率 2. 超几何分布的两个特点：是不放回抽样；随机变量为抽到的某类个体的个数 3. 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定 X 的取值情况，然后利用排 列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率 4. 你还有哪些体悟，写下来： 第 8 课 随机变量与超几何分布 基础诊断 1. 9 解析 ： 因为是有放回的取出两个球， 所以两个球的号码之和x的可能取值包括2， 3， 4，5，6，7，8，9，10 共 9 个 2. 解析 ： 令 P(1)x， 则 P(2) x， 由此可得 0× 1×x2× x 3 5 4 5 1 5 ( 4 5x) 8 5 E()1，解得 x ，即 P(1) . 3 5 3 5 3. 1 解析：从 52 张中抽取 10 张扑克牌的可能结果为 C ，与至少有一张 K 相对的 C C 1052 事件为一张 K 都没有， 10 张中不含有 K 的可能结果为 C ， 所以至少有一张 K 的概率为 1 1048 . C C 4. 解析：由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球，故 P(X4). 27 220 CC C 27 220 范例导航 例 1 (1) 解析： 因为 23qq21，所以 q 或 q (舍) 3 2 33 6 1 3 3 2 33 6 3 2 33 6 (2) 解析 ： 由概率分布的性质可得 m0.3.又因为 X0， 1， 2， 3， 4， 则 2X11， 3， 5， 7， 9. 从而 2X1 的分布列为 2X113579 P0.20.10.10.30.3 解析：(1) 由概率分布的性质，得 a2a3a4a5a1，所以 a. 1 15 (2) PPPP(X1)3×4×5× . (X 3 5) (X 3 5) (X 4 5) 1 15 1 15 1 15 4 5 (3) PPPP . ( 1 10 X 7 10) (X 1 5) (X 2 5) (X 3 5) 1 15 2 15 3 15 6 15 2 5 【注】 本例题利用概率分布中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，保证 每个概率值均为非负数 ； 求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内 各随机变量对应的概率相加即可，其根据是互斥事件的概率加法公式 例 2 解析 ： (1) 用随机变量 X 表示取到的红球数，则 X 服从超几何分布 H(5，10，30) 由公式得 H(4；5，10，30)0.029 5， CC C 700 23 751 所以获一等奖的概率约为 2.95%. (2) 根据题意， 设随机变量 X 表示 “摸出红球的个数” ， 则 X 服从超几何分布 H(5， 10， 30)， X 的可能取值为 0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到 3 个红球的概率为： P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)0.191 2， CC C CC C CC C 故中奖的概率约为 19.12%. 解析 ： 以 50 箱为一批产品，从中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中不合格产品的箱数” ， 则 X 服从超几何分布 H(5， 2， 50) 这批产品被接受的条件是 5 箱中没有不合格的箱或只有 1 箱不合格，所以被接受的概率为 P(X1)，即 P(X1)， CC C CC C 243 245 故该批产品被接受的概率是(约为 0.991 84) 243 245 【注】 本例题可以先判断出是超几何分布，点评时注意几点：(1) 超几何分布列的概 率公式；(2) 要注意解题的步骤，应用公式解题 例 3 解析：设 Ai(i0，1，2，3)表示摸到 i 个红球，Bj(j0，1)表示摸到 j 个蓝球， 则 Ai与 Bj独立 (1) 恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1). CC C 18 35 (2) X 的所有可能值为 0，10，50，200，则 P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1) · ；P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0) · C C 1 3 1 105 C C 2 3 ；P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)· ；P(X0)1 . 2 105 CC C 1 3 12 105 4 35 1 105 2 105 4 35 6 7 综上可知，获奖金额 X 的概率分布为 X01050200 P 6 7 4 35 2 105 1 105 从而有 E(X)0× 10×50×200×4(元) 6 7 4 35 2 105 1 105 【注】 求解离散型随机变量 X 的概率分布的步骤：理解 X 的意义，写出 X 可能取 的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的概率分布. 求离散型随机变量的概率分布 的关键是求随机变量所取值对应的概率， 在求解时， 要注意应用计数原理、 古典概型等知识 自测反馈 1. 解析：由题意可知成功率是失败率的 2 倍，那么记 1 次实验成功率与失败率分别 2 3 为 P(X1)，P(X0)，则 P(X1)P(X0)1，解得 P(X1) . 2 3 2. 解析：由题意可得 m1 ，P(|X3|1)P(X2)P(X4) 5 12 1 3 1 4 1 6 1 4 1 4 1 6 . 5 12 3. 解析：因为抛物线的对称轴在 y 轴左侧，所以 b 与 a 同符号，且 a0，b0，所 8 9 有满足的抛物线总数有 3×3×2×7126(个)， |ab|可能取值有 0， 1， 2.当 0 时， 有 6×7 42(个)，P(0) ；当 1 时，有 4×2×756(个)，P(1) ；当 2 时， 42 126 1 3 56 126 4 9 有 4×728(个)，P(2) ，故 E()0× 1× 2× . 28 126 2 9 1 3 4 9 2 9 8 9 4. 解析：(1) 的分布列为 012 P CC C 1 5 CC C 3 5 CC C 1 5 (2) P(1)P(0)P(1) . 4 5