2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.5 第1课时含解析.pdf

§4.5 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换 考情考向分析 三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公 式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及 变式运用，此处为 C 级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度 1两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos()cos cos sin sin (C() cos()cos cos sin sin (C() sin()sin cos cos sin (S() sin()sin cos cos sin (S() tan()(T() tan tan 1tan tan tan()(T() tan tan 1tan tan 2二倍角公式 sin 22sin cos ； cos 2cos2sin22cos2112sin2； tan 2. 2tan 1tan2 概念方法微思考 1诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示 诱导公式可以看成和差公式中 k· (kZ)时的特殊情形 2 2怎样研究形如 f(x)asin xbcos x 函数的性质？ 提示 先根据辅助角公式 asin xbcos x·sin(x)， 将 f(x)化成 f(x)Asin(x)ka2b2 的形式，再结合图象研究函数的性质 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (2)对任意角 都有 1sin 2.( ) (sin 2cos 2) (3)y3sin x4cos x 的最大值是 7.( × ) (4)公式 tan()可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意 tan tan 1tan tan 角 ， 都成立( × ) 题组二 教材改编 2P109T6若 cos ， 是第三象限的角，则 sin . 4 5 ( 4) 答案 7 2 10 解析 是第三象限角，sin ，1cos2 3 5 sin ××. ( 4) 3 5 2 2 ( 4 5) 2 2 7 2 10 3P111T2sin 347°cos 148°sin 77°cos 58° . 答案 2 2 解析 sin 347°cos 148°sin 77°cos 58° sin(270°77°)cos(90°58°)sin 77°cos 58° (cos 77°)·(sin 58°)sin 77°cos 58° sin 58°cos 77°cos 58°sin 77° sin(58°77°)sin 135°. 2 2 4P117T1tan 10°tan 50°tan 10°tan 50° .3 答案 3 解析 tan 60°tan(10°50°)， tan 10°tan 50° 1tan 10°tan 50° tan 10°tan 50°tan 60°(1tan 10°tan 50°) tan 10°tan 50°，33 原式tan 10°tan 50°tan 10°tan 50°.3333 题组三 易错自纠 5化简： . 12sin 40°cos 40° cos 40° 1sin250° 答案 1 解析 因为 sin 40°， 3 5 所以 ，所以 cos() . ( 2，) 4 5 于是 cos cos() cos()cos sin()sin × ×. 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 (2)设 为锐角，若 cos ，则 sin的值为 ( 6) 4 5 (2 3) 答案 24 25 解析 因为 为锐角，且 cos ， ( 6) 4 5 所以 sin ， ( 6) 1cos2( 6) 3 5 所以 sinsin 2 (2 3) ( 6) 2sincos2× × . ( 6) ( 6) 3 5 4 5 24 25 (3)(2019·如皋调研)已知 cos ，(，0)，tan()1，则 tan 的值为 5 5 答案 3 解析 cos ，(，0)， 5 5 sin ， 2 5 5 tan 2， 故 tan tan()3. 12 11 × 2 命题点 2 三角函数式的变换 例 2 (1)化简： (00， 2 2 2 2cos .22cos 4cos2 2 2 又(1sin cos )(sin 2cos 2) (2sin 2cos 22cos 2 2)(sin 2cos 2) 2cos 2(sin 2 2cos 2 2) 2cos cos ， 2 故原式cos . 2cos 2cos 2cos 2 (2)原式sin 10° 2cos210° 2 × 2sin 10°cos 10° ( cos 5° sin 5° sin 5° cos 5°) sin 10°· cos 10° 2sin 10° cos25°sin25° sin 5°cos 5° sin 10°· cos 10° 2sin 10° cos 10° 1 2sin 10° 2cos 10° cos 10° 2sin 10° cos 10°2sin 20° 2sin 10° cos 10°2sin30°10° 2sin 10° cos 10°2(1 2cos 10° 3 2 sin 10°) 2sin 10° . 3sin 10° 2sin 10° 3 2 引申探究 化简： (00， ( 6) 4 5 ，sin . 6 ( 6， 2) ( 6) 3 5 sinsin (2 12)2( 6) 4 sin 2cos cos 2sin ( 6) 4 ( 6) 4 sincos2 ( 6) ( 6) 2 22cos 2( 6)1 × × 2 3 5 4 5 2 22 ×( 4 5) 21 . 12 2 25 7 2 50 17 2 50 (2)(1tan 17°)·(1tan 28°)的值为 答案 2 解析 原式1tan 17°tan 28°tan 17°·tan 28° 1tan 45°(1tan 17°·tan 28°)tan 17°·tan 28° 112. (3)已知 sin ，则 . 3 5 ( 2，) cos 2 2sin ( 4) 答案 7 5 解析 cos 2 2sin ( 4) cos2sin2 2( 2 2 sin 2 2 cos ) cos sin ， sin ， 3 5 ( 2，) cos ，原式 . 4 5 7 5 (4)已知 cos，则 cossin2 . ( 6) 3 3 ( 5 6 ) ( 6) 答案 2 3 3 解析 由题意可知 cossin2 ( 5 6 ) ( 6) coscos21 . ( 6) ( 6) 3 3 2 3 1sin 20°cos 10°cos 160°sin 10° . 答案 1 2 解析 sin 20°cos 10°cos 160°sin 10° sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin 30° . 1 2 2已知 是第二象限角，且 tan ，则 sin 2 . 1 3 答案 3 5 解析 因为 是第二象限角，且 tan ， 1 3 所以 sin ，cos ， 10 10 3 10 10 所以 sin 22sin cos 2×× . 10 10( 3 10 10) 3 5 3若 sin ，则 sincos . 4 5 ( 4) 2 2 答案 2 2 5 解析 sincos sin cos cos sin cos ×. ( 4) 2 2 4 4 2 2 4 5 2 2 2 2 5 4已知 sin 2 ，则 cos2 . 2 3 ( 4) 答案 1 6 解析 因为 cos2 ( 4) 1cos 2( 4) 2 ， 1cos(2 2) 2 1sin 2 2 所以 cos2 . ( 4) 1sin 2 2 12 3 2 1 6 5已知 为锐角，若 sin ，则 cos . ( 6) 1 3 ( 3) 答案 2 61 6 解析 由于 为锐角，且 sin ， ( 6) 1 3 则 cos， ( 6) 2 2 3 则 coscos ( 3)( 6) 6 coscos sinsin ( 6) 6 ( 6) 6 × × . 2 2 3 3 2 1 3 1 2 2 61 6 6已知 cos ，cos() ，且 ，则 cos()的值为 1 3 1 3 (0， 2) 答案 23 27 解析 因为 ，所以 2(0，)， (0， 2) 因为 cos ，所以 cos 22cos21 ， 1 3 7 9 所以 sin 2，1cos22 4 2 9 而 ，所以 (0，)， (0， 2) 所以 sin()，1cos2 2 2 3 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() ××. ( 7 9) ( 1 3) 4 2 9 2 2 3 23 27 7 设 acos 50°cos 127°cos 40°sin 127°， b(sin 56°cos 56°)， c， 则 a， b， c 2 2 1tan239° 1tan239° 的大小关系是 答案 acb 解析 asin 40°cos 127°cos 40°sin 127° sin(40°127°)sin 167°sin 13°， b(sin 56°cos 56°)sin 56°cos 56° 2 2 2 2 2 2 sin(56°45°)sin 11°， ccos239°sin239°cos 78°sin 12°， cos239°sin239° cos239° sin239°cos239° cos239° sin 13°sin 12°sin 11°，acb. 8.的值是 2cos 10°sin 20° sin 70° 答案 3 解析 原式2cos30°20°sin 20° sin 70° 2cos 30°cos 20°sin 30°sin 20°sin 20° sin 70° . 3cos 20° cos 20° 3 9. . sin 10° 1 3tan 10° 答案 1 4 解析 sin 10° 1 3tan 10° sin 10°cos 10° cos 10° 3sin 10° . 2sin 10°cos 10° 4(1 2cos 10° 3 2 sin 10°) sin 20° 4sin30°10° 1 4 10(2018·江苏省海安高级中学月考)已知 为三角形内角，sin cos ，则 cos 2 3 3 . 答案 5 3 解析 由已知得 2sin cos (sin cos )2(sin2cos2) 1 ， 1 3 2 3 又 为三角形内角， sin 0，cos 0， sin cos sin22sin cos cos2 ，1(2 3) 15 3 cos 2(sin cos )(sin cos ). 5 3 11化简：· . 2tan45° 1tan245° sin cos cos2sin2 答案 1 2 解析 原式tan(90°2)· 1 2sin 2 cos 2 · · sin90°2 cos90°2 1 2 sin 2 cos 2 · · . cos 2 sin 2 1 2 sin 2 cos 2 1 2 12已知 sin()cos cos()sin ， 是第三象限角，则 sin . 3 5 ( 5 4) 答案 7 2 10 解析 依题意可将已知条件变形为 sin()sin ，sin . 3 5 3 5 又 是第三象限角，所以 cos . 4 5 所以 sinsin ( 5 4) ( 4) sin cos cos sin 4 4 × ×. 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 13若 ，且 3cos 2sin，则 sin 2 的值为 ( 2，) ( 4) 答案 17 18 解析 由 3cos 2sin可得 ( 4) 3(cos2sin2)(cos sin )， 2 2 又由 可知，cos sin 0， ( 2，) 于是 3(cos sin )， 2 2 所以 12sin cos ， 1 18 故 sin 22sin cos 1. 1 18 17 18 14(2018·江苏省五校联考)已知 sin，则 sinsin2 . (2x 5) 3 3 ( 4 5 2x) ( 3 102x) 答案 2 3 3 解析 由条件得 sinsin ( 4 5 2x) ( 4 5 2x) sin， (2x 5) 3 3 又 sin2cos2 ( 3 102x) 2( 3 102x) cos21sin2 ， (2x 5) (2x 5) 2 3 sinsin2 . ( 4 5 2x) ( 3 102x) 3 3 2 3 32 3 15化简：· . ( 3 cos 10° 1 sin 170°) cos 15°sin 15° cos 15°sin 15° 答案 4 3 解析 原式·· 3sin 10°cos 10° cos 10°sin 10° 1tan 15° 1tan 15° 2sin10°30° 1 2sin 20° tan 45°tan 15° 1tan 45°·tan 15° 4·tan(45°15°)4 . 3 16已知 ，且 sin cos ，sin() ，则 sin . ( 2，) 2 2 6 2 3 5 答案 43 3 10 解析 由 sin cos ，平方可得 sin . 2 2 6 2 1 2 ， ( 2，) cos . 3 2 又 ，sin() ， 2 2 3 5 cos() . 4 5 故 sin sin sin cos()cos sin() × ×. 1 2 4 5( 3 2) ( 3 5) 43 3 10