2020版广西高考人教A版数学（理）一轮复习考点规范练：62 离散型随机变量及其分布列 Word版含解析.pdf

考点规范练考点规范练 62 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 考点规范练考点规范练 B 册第册第 46 页页 基础巩固基础巩固 1.袋中装有除颜色外其他完全相同的 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球,若取得黑球则另换 1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( ) A.=4B.=5C.=6D.5 答案 C 解析“放回 5个红球”表示前五次都摸到黑球,第六次摸到红球,故 =6. 2.设某项试验的成功率为失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)的值为 ( ) A.1B.C.D. 1 2 1 3 1 5 答案 C 解析设 X的分布列为 X01 Pp2p 即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,失败的概率为 p,成功的概率为 2p. 由 p+2p=1,得 p= . 1 3 3.从装有除颜色外其他完全相同的 3 个白球、4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,恰好是 2 个白球、1 个红球的概率是( ) A.B.C.D. 4 35 6 35 12 35 36 343 答案 C 解析这是一个超几何分布问题,所求概率为 P=. C2 3C14 C3 7 = 12 35 4.从装有除颜色外没有区别的 3 个黄球、3 个红球、3 个蓝球的袋中摸 3 个球,设摸出的 3 个球的颜 色种数为随机变量 X,则 P(X=2)=( ) A.B.C.D. 1 28 9 28 1 14 9 14 答案 D 解析 X=2,即摸出的 3个球有 2 种颜色,其中一种颜色的球有 2 个,另一种颜色的球有 1 个,故 P(X=2)= ,故选 D. A2 3C23C13 C3 9 = 9 14 5.一个袋子中装 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3 只,以 表示取出的 3 只球中的最小号码, 则随机变量 的分布列为( ) A. 123 P1 3 1 3 1 3 B. 1 23 4 P 1 10 1 5 3 10 2 5 C. 12 3 P3 5 3 10 1 10 D. 1 2 3 P 1 10 3 10 3 5 答案 C 解析随机变量 的可能取值为 1,2,3. 当 =1 时,即取出的 3只球中最小号码为 1,则其他 2 只球只能在编号为 2,3,4,5 的 4 只球中任取 2只,故 P(=1)=; C2 4 C3 5 = 6 10 = 3 5 当 =2 时,即取出的 3只球中最小号码为 2,则其他 2 只球只能在编号为 3,4,5 的 3 只球中任取 2 只, 故 P(=2)=; C2 3 C3 5 = 3 10 当 =3 时,即取出的 3只球中最小号码为 3,则其他 2 只球只能在编号为 4,5 的 2 只球中取,故 P(=3)=.故选 C. C2 2 C3 5 = 1 10 6.从 4名男生和 2名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(1)等于( ) A.B.C.D. 1 5 2 5 3 5 4 5 答案 D 解析 P(1)=1-P(=2)=1-. C1 4C22 C3 6 = 4 5 7.离散型随机变量 X 的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以 x,y(x,yN)代替,分布列如下: X=i123456 P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20 则 P等于( ) ( 3 2 202 现 故 障 时 间 x/ 年 轿 车 数 量/ 辆 2345 545 每 辆 利 润/ 万 元 1231.82.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2的分布列. 解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A, 则 P(A)=. 2 + 3 50 = 1 10 (2)依题意得,X1的分布列为 X11 2 3 P 1 25 3 50 9 10 X2的分布列为 X21.82.9 P 1 10 9 10 10.一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡 片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与均值. (注:若三个数 a,b,c满足 abc,则称 b 为这三个数的中位数) 解(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为. C3 4+ C33 C3 9 = 5 84 (2)X 的所有可能值为 1,2,3,且 P(X=1)=, C2 4C15+ C34 C3 9 = 17 42 P(X=2)=, C1 3C14C12+ C23C16+ C33 C3 9 = 43 84 P(X=3)=, C2 2C17 C3 9 = 1 12 故 X 的分布列为 X1 2 3 P17 42 43 84 1 12 从而 E(X)=1×+2×+3×. 17 42 43 84 1 12 = 47 28 11. 某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的 6 名男生和 9 名女生的身高,数据用茎叶图表示 如右(单位:cm).应聘者获知:男性身高在区间174,182,女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下 一环节. (1)求 6 名男生的平均身高和 9 名女生身高的中位数; (2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取 2 人,记 X 为抽取到的男生人数,求 X 的分布列及期望 E(X). 解(1)6名男生的平均身高是=181 (cm), 176 + 173 + 178 + 186 + 180 + 193 6 9名女生身高的中位数为 168 cm. (2)能进入下一环节的男生有 3 人,女生有 4人. 故 X 的所有可能取值是 0,1,2, 则 P(X=0)=, C2 4 C2 7 = 2 7 P(X=1)=, C1 4C13 C2 7 = 4 7 P(X=2)=. C2 3 C2 7 = 1 7 所以 X 的分布列为 X012 P2 7 4 7 1 7 故 E(X)=0× +1× +2×. 2 7 4 7 1 7 = 6 7 能力提升能力提升 12.已知盒子中有除颜色外其他完全相同的 4 个红球、4 个黄球、4 个白球,且每种颜色的四个球均按 A,B,C,D编号.现从中摸出 4个球. (1)求恰好包含字母 A,B,C,D 的概率; (2)设摸出的 4 个球中出现的颜色种数为 X,求随机变量 X 的分布列和均值 E(X). 解(1)记“恰好包含字母 A,B,C,D”为事件 E,则 P(E)=. C1 3C13C13C13 C 4 12 = 9 55 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3. P(X=1)=, C1 3 C 4 12 = 1 165 P(X=2) = C2 3 (C 1 4C34+ C24C24+ C34C14) C 4 12 =, 68 165 P(X=3)=. 3C1 4C14C24 C 4 12 = 32 55 随机变量 X 的分布列为 X123 P 1 165 68 165 32 55 E(X)=1×+2×+3×. 1 165 68 165 32 55 = 85 33 13.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年 3 月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取 M 名 职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出频数与频率统计表和频率分布直方图如图: 分 组 频 数 频 率 10,15)5 0.25 15,20)12n 20,25)m p 25,30)1 0.05 合 计 M 1 (1)求出表中 m,n,M,p 及图中 a 的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在区间25,30)的职工发放价值 800 元的奖品,对 植树株数在区间20,25)的职工发放价值 600 元的奖品,对植树株数在区间15,20)的职工发放价值 400 元的奖品,对植树株数在区间10,15)的职工发放价值 200 元的奖品,在所取样本中,任意取出 2 人,并设 X 为此 2人所获得奖品价值之差的绝对值,求 X 的分布列. 解(1)由题可知 =0.25,=n, =p,又 5+12+m+1=M, 5 12 解得 M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,则15,20)的频率与组距之比 a 为 0.12. (2)2 人所获得奖品价值之差的绝对值可能为 0元、200 元、400 元、600 元,则 P(X=0)= C2 5+ C 2 12+ C22 C 2 20 =, 10 + 66 + 1 190 = 77 190 P(X=200) =, C1 5C 1 12+ C 1 12C12+ C12C11 C 2 20 = 43 95 P(X=400)=, C1 5C12+ C11C 1 12 C 2 20 = 11 95 P(X=600)=. C1 5C11 C 2 20 = 1 38 所以 X 的分布列为 X0200400600 P 77 190 43 95 11 95 1 38 高考预测高考预测 14.某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符 合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表 和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 分组 低碳族的 人数 占本组的 频率 第一 组 25,30)1200.6 第二 组 30,35)195p 第三 组 35,40)1000.5 第四 组 40,45)a0.4 第五 组 45,50)300.3 第六 组 50,55150.3 (1)补全频率分布直方图,并求 n,a,p 的值; (2)从40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动,其中选取 3 人 作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在40,45)岁的人数为 X,求 X 的分布列和均值 E(X). 解(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,高为=0.06. 0.3 5 频率分布直方图补全如下: 第一组的人数为=200,频率为 0.04×5=0.2, 120 0.6 n=1 000. 200 0.2 第二组的频率为 0.06×5=0.3, 故第二组的人数为 1 000×0.3=300,因此 p=0.65. 195 300 由题意可知,第四组的频率为 0.03×5=0.15,故第四组的人数为 1 000×0.15=150,因此 a=150×0.4=60. (2)40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 6030=21, 采用分层抽样法抽取 18 人,40,45)岁中有 12 人,45,50)岁中有 6 人. 可知随机变量 X 服从超几何分布, P(X=0)=, C 0 12C36 C 3 18 = 5 204 P(X=1)=, C 1 12C26 C 3 18 = 15 68 P(X=2)=, C 2 12C16 C 3 18 = 33 68 P(X=3)=. C 3 12C06 C 3 18 = 55 204 随机变量 X 的分布列为 X01 2 3 P 5 204 15 68 33 68 55 204 E(X)=0×+1×+2×+3×=2. 5 204 15 68 33 68 55 204