2020高考人教数学（理）大一轮复习检测：第三章 第五节　正弦定理和余弦定理 Word版含解析.pdf

限时规范训练限时规范训练(限时练限时练·夯基练夯基练·提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1(2018·广东广州调研广东广州调研)ABC 的内角的内角 A，B，C 所对的边分别 为 所对的边分别 为 a，b，c，已知，已知 b，c4，cos B ，则 ，则ABC 的面积为的面积为( )7 7 3 3 4 4 A3 B7 7 3 3 7 7 2 2 C9 D9 9 2 2 解析 ： 选解析 ： 选 B.由余弦定理由余弦定理 b2c2a22accos B， 得， 得 716a26a， 解得 ， 解得 a3， ， cos B ， ， sin B， ， S ABC casin B × ×4××3×× 3 3 4 4 7 7 4 4 1 1 2 2 1 1 2 2 .故选故选 B. 7 7 4 4 3 7 2 2 (2018·河南三市联考河南三市联考)已知已知 a， b， c 分别为分别为ABC 三个内角三个内角 A， B， C 的对边，的对边，sin Asin B1，c2cos C，则，则ABC 的周长的周长3 33 3 为为( ) A33 B23 33 3 C32 D33 33 3 解析：选解析：选 C.因为因为 sin Asin B1，所以，所以 ba，3 33 3 由余弦定理得由余弦定理得 cos C， a a2 2b2 2c2 2 2 2a ab b a a2 2（ （ 3a） ）2 2c2 2 2a a××3 3a a 3 3 2 2 又又 c，所以，所以 a，b3，所以，所以ABC 的周长为的周长为 32，3 33 33 3 故选故选 C. 3 (2018·成都外国语学校二模成都外国语学校二模)在在ABC 中，中， sin2Asin2Bsin2C sin Bsin C，则，则 A 的取值范围是的取值范围是( ) A. B (0 0， ， 6 6) 6 6 ， C. D (0 0， ， 3 3 3 3 ， 解析 ： 选解析 ： 选C.由正弦定理及由正弦定理及sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C可得可得a2 b2c2bc， 即， 即 b2c2a2bc， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得 cos Ab b 2 2 c2 2a2 2 2 2b bc c ，又 ，又 0A，所以，所以 0A.故故 A 的取值范围是的取值范围是. b bc c 2 2b bc c 1 1 2 2 3 3(0 0， ， 3 3 故选故选 C. 4(2017·山东卷山东卷)在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c. 若若ABC 为锐角三角形，且满足为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是( ) Aa2b Bb2a CA2B DB2A 解析 ： 选解析 ： 选 A.因为因为 ABC， sin B(12cos C)2sin Acos C cos Asin C，所以，所以 sin(AC)2sin Bcos C2sin Acos Ccos Asin C， 所以 ， 所以 2sin B cos Csin Acos C. 又又 cos C0，所以，所以 2sin Bsin A，所以，所以 2ba，故选，故选 A. 5(2018·东北三校联考东北三校联考)已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分 别为 的对边分 别为 a，b，c，且，则，且，则 B 等于等于( ) c cb c a s si in n A A s si in n C Cs si in n B B A. B 6 6 4 4 C. D 3 3 3 3 4 4 解析：选解析：选 C.根据正弦定理根据正弦定理2R， a a s si in n A A b b s si in n B B c c s si in n C C 得，得， c cb c a s si in n A A s si in n C Cs si in n B B a a c cb 即即 a2c2b2ac， 得得 cos B ，又 ，又 0B， a a2 2c2 2b2 2 2 2a ac c 1 1 2 2 所以所以 B，故选，故选 C. 3 3 6 (2018·长沙模拟长沙模拟)在在ABC 中，中， A， b2sin C4sin B， 则， 则 4 4 2 2 ABC 的面积为的面积为_ 解析：因为解析：因为 b2sin C4sin B，所以，所以 b2c4b，即，即 bc4，2 22 22 2 故故 S ABC bcsin A × ×4××2. 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 答案：答案：2 7(2018·山西大同联考山西大同联考)在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别 为 的对边分别 为 a，b，c，若，若 2(bcos Aacos B)c2，b3，3cos A1，则，则 a 的值 为 的值 为_ 解析：由正弦定理可得解析：由正弦定理可得 2(sin Bcos Asin Acos B)csin C， 2(sin Bcos Asin Acos B)2sin(AB)2sin C，2sin C csin C， ， sin C0， ， c2， 由余弦定理得， 由余弦定理得 a2b2c22bccos A22 322××2××3× × 9，a3. 1 1 3 3 答案：答案：3 8(2018·辽宁沈阳模拟辽宁沈阳模拟)在在ABC 中，内角中，内角 A，B，C 的对边分 别为 的对边分 别为 a，b，c，已知，已知 c5，B，ABC 的面积为，则的面积为，则 cos 2 2 3 3 1 15 5 3 3 4 4 2A_ 解析 ： 由三角形的面积公式，得解析 ： 由三角形的面积公式，得 S ABC acsin B × ×a××5××sin 1 1 2 2 1 1 2 2 ×× ××5a，解得，解得 a3. 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 2 1 15 5 3 4 由由 b2a2c22accos B32522××3××5××49，得，得 b7. ( 1 2) 由由sin A sin B sin ，cos 2A1 a a s si in n A A b b s si in n B B a a b b 3 3 7 7 2 2 3 3 3 3 3 3 1 14 4 2sin2A12××. ( 3 3 3 3 1 14 4) 2 2 7 71 1 9 98 8 答案：答案：7 71 1 9 98 8 9 (2017·全国卷全国卷)ABC 的内角的内角 A， B， C 的对边分别为的对边分别为 a， b， c. 已知已知ABC 的面积为的面积为. a a2 2 3 3s si in n A A (1)求求 sin Bsin C； (2)若若 6cos Bcos C1，a3，求，求ABC 的周长的周长 解：解：(1)由题设得由题设得 acsin B，即，即 csin B. 1 1 2 2 a a2 2 3 3s si in n A A 1 1 2 2 a a 3 3s si in n A A 由正弦定理得由正弦定理得 sin Csin B. 1 1 2 2 s si in n A A 3 3s si in n A A 故故 sin Bsin C . 2 2 3 3 (2)由题设及由题设及(1)得得 cos Bcos Csin Bsin C ， ， 1 1 2 2 即即 cos(BC) . 1 1 2 2 所以所以 BC，故，故 A. 2 2 3 3 3 3 由题设得由题设得 bcsin A，a3，即，即 bc8. 1 2 a a2 2 3 3s si in n A A 由余弦定理得由余弦定理得 b2c2bc9，即，即(bc)23bc9，由，由 bc8， 得得 bc.3 33 3 故故ABC 的周长为的周长为 3.3 33 3 10 在 在ABC 中， 角中， 角 A， B， C 所对的边分别是所对的边分别是 a， b， c， 且， 且 c co os s A A a a . c co os s B B b b s si in n C C c c (1)证明：证明：sin Asin Bsin C. (2)若若 b2c2a2 bc，求，求 tan B 6 6 5 5 解：解：(1)证明：由正弦定理，可知原式可以证明：由正弦定理，可知原式可以 a a s si in n A A b b s si in n B B c c s si in n C C 化简为化简为1，因为，因为 A 和和 B 为三角形的内角，所为三角形的内角，所 c co os s A A s si in n A A c co os s B B s si in n B B s si in n C C s si in n C C 以以 sin Asin B0， 则两边同时乘以则两边同时乘以 sin Asin B，可得，可得 sin Bcos Asin Acos Bsin Asin B， 由和角公式可知，由和角公式可知，sin Bcos Asin Acos Bsin(AB)sin( C)sin C，sin Csin Asin B，故原式得证，故原式得证 (2)由由 b2c2a2 bc，根据余弦定理可知，根据余弦定理可知， 6 6 5 5 cos A . b b2 2c2 2a2 2 2 2b bc c 3 3 5 5 因为因为 A为三角形内角，为三角形内角， A(0， ， )， sin A0， 则， 则sin A1 1(3 5) 2 ，即 ，由，即 ，由(1)可知可知1，所以，所以 4 4 5 5 c co os s A A s si in n A A 3 3 4 4 c co os s A A s si in n A A c co os s B B s si in n B B s si in n C C s si in n C C c co os s B B s si in n B B 11 ，所以 ，所以 tan B4. 1 1 t ta an n B B c co os s A A s si in n A A 3 3 4 4 1 1 4 4 B 级 能力提升练级 能力提升练 11 在 在ABC 中，中， B， BC 边上的高等于边上的高等于 BC， 则， 则 cos A( ) 4 4 1 1 3 3 A. B 3 3 1 10 0 1 10 0 1 10 0 1 10 0 C D 1 10 0 1 10 0 3 3 1 10 0 1 10 0 解析 ： 选解析 ： 选 C.如图， 过如图， 过 A 作作 ADBC， 垂足为， 垂足为 D， 由题意知， 由题意知 ADBD BC，则，则 CD BC，ABBC，ACBC，在，在ABC 中，由余中，由余 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 5 5 3 3 弦 定 理 的 推 论 可 知 ，弦 定 理 的 推 论 可 知 ， cos BAC A AB B2 2AC2 2BC2 2 2 2A AB B··A AC C ，故选，故选 C. 2 2 9 9B BC C 2 2 5 9BC 2 2 BC2 2 2 2 ×× 2 2 3 3 BC ×× 5 3 BC 1 10 0 1 10 0 12 (2018·六安模拟六安模拟)在在ABC中， 角中， 角 A， B， C的 对边分别为 的 对边分别为a，b，c，若，若 cos Asin A 2 2 c co os s B Bs si in n B B 0，则的值是，则的值是( ) a ab c A1 B 2 2 C. D23 3 解析：选解析：选 B.因为因为 cos Asin A0，所以，所以(cos A 2 2 c co os s B Bs si in n B B sin A)(cos Bsin B)2，所以，所以 cos Acos Bsin Asin Bsin Acos B cos Asin B2，即，即 cos(AB)sin(AB)2，所以，所以 cos(AB)1， sin(AB)1， 又， 又 A， B 分别为三角形的内角， 所以分别为三角形的内角， 所以 AB， AB， 2 2 所以所以 ab，C，所以，故选，所以，故选 B. 2 2 a ab c 2 2 2 2 c c 2 2 c c 2 2 13 (2017·浙江卷浙江卷)已知已知ABC 中，中， ABAC4， BC2.点点 D 为为 AB 延长线上一点，延长线上一点， BD2， 连接， 连接 CD， 则， 则BDC 的面积是的面积是_， cos BDC_ 解析：由余弦定理得解析：由余弦定理得 cosABC ， ， 4 42 222 242 2 2 2 ×× 4 4 ×× 2 2 1 1 4 4 cosCBD ， ，sinCBD， 1 1 4 4 1 15 5 4 4 S BDC BD··BC··sinCBD × ×2××2××. 1 1 2 2 1 1 2 2 1 15 5 4 4 1 15 5 2 2 又又 cosABCcos 2BDC2cos2BDC1 ， ， 1 1 4 4 0BDC， 2 2 cosBDC. 1 10 0 4 4 答案：；答案：； 1 15 5 2 2 1 10 0 4 4 14在锐角三角形在锐角三角形 ABC 中，中，a，b，c 分别为角分别为角 A，B，C 的对边， 且 的对边， 且 4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.3 33 3 (1)求求 A 的大小；的大小； (2)若若 b2，求，求ABC 面积的取值范围面积的取值范围 解：解：(1)ABC，cos(BC)cos A， 3A2AA， sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A， 又又 sin 2A2sin Acos A， 将代入已知， 得将代入已知， 得 2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 3 3 2Asin A，3 3 整理得整理得 sin Acos A，即，即 sin，3 33 3 (A A 3 3) 3 3 2 2 又又 A，A，即，即 A. (0 0， ， 2 2) 3 3 2 2 3 3 3 3 (2)由由(1)得得 BC，CB， 2 2 3 3 2 2 3 3 ABC 为锐角三角形，为锐角三角形，B且且 2 2 3 3(0 0， ， 2 2) B， (0 0， ， 2 2) 解得解得 B， ( 6 6 ， 2 2) 在在ABC 中，由正弦定理得，中，由正弦定理得， 2 2 s si in n B B c c s si in n C C c1， 2 2s si in n C C s si in n B B 2 2s si in n(2 2 3 3 B) s si in n B B 3 3 t ta an n B B 又又 B，(0，)，c(1，4)， ( 6 6 ， 2 2) 1 1 t ta an n B B 3 3 S ABC bcsin Ac，S ABC . 1 1 2 2 3 3 2 2( 3 3 2 2 ，2 2 3 3) 15在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c.已知已知 2(tan Atan B). t ta an n A A c co os s B B t ta an n B B c co os s A A (1)证明：证明：ab2c； (2)求求 cos C 的最小值的最小值 解：解：(1)由题意知由题意知 2， ( s si in n A A c co os s A A s si in n B B c co os s B B) sin A A c co os s A Ac co os s B B s si in n B B c co os s A Ac co os s B B 化简得化简得 2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B， 即即 2sin(AB)sin AsinB 因为因为 ABC， 所以所以 sin(AB)sin(C)sin C. 从而从而 sin Asin B2sin C. 由正弦定理得由正弦定理得 ab2c. (2)由由(1)知知 c， a ab 2 所以所以 cos C a a2 2b2 2c2 2 2 2a ab b a a2 2b2 2(a b 2 ) 2 2ab ， ， 3 3 8 8( a b b a) 1 1 4 4 1 1 2 2 当且仅当当且仅当 ab 时，等号成立时，等号成立 故故 cos C 的最小值为的最小值为 . 1 1 2 2 C 级 素养加强练级 素养加强练 16(2018·湖北八校联考湖北八校联考)在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别 为 的对边分别 为 a，b，c. (1)若若 23cos2 Acos 2A0， 且， 且ABC 为锐角三角形，为锐角三角形， a7， c6， 求 ， 求 b 的值；的值； (2)若若 a，A，求，求 bc 的取值范围的取值范围3 3 3 3 解：解：(1)23cos2 Acos 2A23cos2 A2cos2 A10， cos2 A， 1 1 2 25 5 又又 A 为锐角，为锐角，cos A ， ， 1 1 5 5 而而 a2b2c22bccos A，即，即 b2b130， 1 12 2 5 5 解得解得 b5(负值舍去负值舍去)，b5. (2)解 法 一 ： 由 正 弦 定 理 可 得解 法 一 ： 由 正 弦 定 理 可 得 b c 2(sin B sin C) 2 2sin， s si in n B B s si in n(2 2 3 3 B)3 3 (B B 6 6) 0B，B， 2 2 3 3 6 6 6 6 5 6 6 sin1，bc(，2 1 1 2 2(B B 6 6) 3 33 3 解法二：由余弦定理解法二：由余弦定理 a2b2c22bccos A 可得可得 b2c23bc， 即即(bc)233bc (bc)2，当且仅当，当且仅当 bc 时取等号，时取等号， 3 3 4 4 bc2，又由两边之和大于第三边可得，又由两边之和大于第三边可得 bc，bc3 33 3 的取值范围为的取值范围为(，23 33 3