2020高考人教数学（理）大一轮复习检测：第八章 第七节　直线与圆锥曲线的综合问题 Word版含解析.pdf

限时规范训练限时规范训练(限时练限时练·夯基练夯基练·提能练提能练) A 级 基础夯实练级 基础夯实练 1(2018·广东肇庆质检广东肇庆质检)直线直线 y x3 与双曲线与双曲线1 的交的交 b b a a x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 点个数是点个数是( ) A1 B2 C1 或或 2 D0 解析 ： 选解析 ： 选A.因为直线因为直线y x3与双曲线与双曲线1的一条渐近线的一条渐近线y b b a a x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 x 平行，所以它与双曲线只有平行，所以它与双曲线只有 1 个交点个交点 b b a a 2 (2018·福建厦门模拟福建厦门模拟)设设 F1， F2分别是椭圆分别是椭圆1(ab0) x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 的左、 右焦点， 过的左、 右焦点， 过F2的直线交椭圆于的直线交椭圆于P， Q两点， 若两点， 若F1PQ60°，°， |PF1| |PQ|，则椭圆的离心率为，则椭圆的离心率为( ) A. B 1 1 3 3 2 2 3 3 C. D 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 解析：选解析：选 D.|PF1|PQ|，且，且F1PQ60°，°，F1PQ 为等边 三角形，周长为 为等边 三角形，周长为 4a，F1PQ 的边长为，在的边长为，在PF1F2中，中，|PF1| 4 4a a 3 3 ， |PF2|， |F1F2|2c， ， (2c)2， 即， 即 a23c2， ， e2 4 4a a 3 3 2 2a a 3 3( 4 4a a 3 3) 2 2 ( 2 2a a 3 3) 2 2 ， ， c c2 2 a a2 2 1 1 3 3 e. 3 3 3 3 3已知双曲线已知双曲线1(a0，b0)与直线与直线 y2x 有交点，则有交点，则 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 双曲线离心率的取值范围为双曲线离心率的取值范围为( ) A(1，) B(1，5 55 5 C(，) D，)5 55 5 解析：选解析：选 C.因为双曲线的一条渐近线方程为因为双曲线的一条渐近线方程为 y x，则由题意得，则由题意得 b b a a 2，所以，所以 e . b b a a c c a a 1 1(b a) 2 1 1 45 5 4 过抛物线 过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点， 它们的横坐标之和等于 两点， 它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线，则这样的直线( ) A有且只有一条有且只有一条 B有且只有两条有且只有两条 C有且只有三条有且只有三条 D有且只有四条有且只有四条 解析：选解析：选 B.若直线若直线 AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为的斜率不存在时，则横坐标之和为 1，不 符合题意 若直线 ，不 符合题意 若直线 AB 的斜率存在， 设直线的斜率存在， 设直线 AB 的斜率为的斜率为 k， 则直线， 则直线 AB 为为 yk， 代入抛物线， 代入抛物线 y22x 得，得， k2x2(k22)x k20， 因为， 因为 A、 (x x 1 2) 1 1 4 4 B 两点的横坐标之和为两点的横坐标之和为 2.所以所以 k±.所以这样的直线有两条所以这样的直线有两条2 2 5 (2018·安徽皖南八校联考安徽皖南八校联考)若直线若直线axby30与圆与圆x2y23 没有公共点， 设点没有公共点， 设点 P 的坐标为的坐标为(a， b)， 则过点， 则过点 P 的一条直线与椭圆的一条直线与椭圆 x x2 2 4 4 1 的公共点的个数为的公共点的个数为( ) y y2 2 3 3 A0 B1 C2 D1 或或 2 解析：选解析：选 C.由题意得，圆心由题意得，圆心(0，0)到直线到直线 axby30 的距离 为， 的距离 为， 3 3 a a2 2b2 2 3 3 所以所以 a2b23. 又又 a，b 不同时为零，所以不同时为零，所以 0a2b23. 由由 0a2b23，可知，可知|a|，|b|，由椭圆的方程知其长半，由椭圆的方程知其长半3 33 3 轴长为轴长为 2，短半轴长为，短半轴长为，3 3 所以所以 P(a，b)在椭圆内部，在椭圆内部， 所以过点所以过点 P 的一条直线与椭圆的一条直线与椭圆1 的公共点有的公共点有 2 个， 故选个， 故选 C. x x2 2 4 4 y y2 2 3 3 6 (2018·江西九江模拟江西九江模拟)过抛物线过抛物线 y28x 的焦点的焦点 F 的直线交抛物 线于 的直线交抛物 线于 A，B 两点，交抛物线的准线于两点，交抛物线的准线于 C，若，若|AF|6，则，则 B BC C F FB B 的值为的值为( ) A. B 3 3 4 4 3 3 2 2 C. D33 3 解析 ： 选解析 ： 选 D.设设 A(x1， y1)(y10)， B(x2， y2)， C(2， y3)， 则， 则 x126， 解得 ， 解得 x14，y14，直线，直线 AB 的方程为的方程为 y2(x2)，令，令 x2，2 22 2 得得 C(2，8)，联立方程解得，联立方程解得 B(1，2)，所，所2 2 y y2 28x， y y2 2（ （x2） ），) 2 2 以以|BF|123，|BC|9，所以，所以 3. 7 (2018·江西五市八校模拟江西五市八校模拟)已知直线已知直线 y1x 与双曲线与双曲线 ax2by2 1(a0，b0)的渐近线交于的渐近线交于 A、B 两点，且过原点和线段两点，且过原点和线段 AB 中点 的直线的斜率为，则 的值为 中点 的直线的斜率为，则 的值为( ) 3 3 2 2 a a b b A B 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 C D 9 9 3 3 2 2 2 2 3 3 2 27 7 解析：选解析：选 A.由双曲线由双曲线 ax2by21 知其渐近线方程为知其渐近线方程为 ax2by2 0，设，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，则有 ax by 0 ， ，ax by 0 ， ， 2 2 1 12 2 1 12 2 2 22 2 2 2 由得由得 a(x x )b(y y )即)即 a(x1x2)(x1x2)b(y1 2 2 1 12 2 2 22 2 1 12 2 2 2 y2)(y1y2)， 由题意可知， 由题意可知 x1x2， 且， 且 x1x20， 所以· ， 所以· ， y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 a a b b 设设AB的中点为的中点为M(x0， y0)， 则， 则kOM， 又知， 又知kAB y y0 0 x x0 0 2 2y y0 0 2 2x x0 0 y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 3 3 2 2 1，所以×，所以×(1) ，所以 ，故选 ，所以 ，故选 A. 3 3 2 2 a a b b a a b b 3 3 2 2 8已知抛物线已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为的焦点为 F，过点，过点 F 且倾斜角 为 且倾斜角 为 60°的直线°的直线 l 与抛物线与抛物线 C 在第一、四象限分别交于在第一、四象限分别交于 A，B 两点，则 的值等于 两点，则 的值等于_ | |A AF F| | | |B BF F| | 解析：设解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线，由直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 60°，°， 则直线则直线 l 的方程为的方程为 y0，3 3(x xp 2) 即即 yxp，联立抛物线方程，联立抛物线方程，3 3 3 3 2 2 消去消去 y 并整理，得并整理，得 12x220px3p20， 则则 x1 p，x2 p， 3 3 2 2 1 1 6 6 则则3. | |A AF F| | | |B BF F| | 3 3 2 2p p 1 2p 1 2p 1 6p 答案：答案：3 9已知抛物线已知抛物线 C：y22px(p0)，直线，直线 l：y(x1)，l 与与 C3 3 交于交于 A，B 两点，若两点，若|AB|，则，则 p_ 1 16 6 3 3 解析：由消去解析：由消去 y，得，得 3x2(2p6)x30，设，设 y y2 22px， y y 3（ （x1） ），) A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由根与系数的关系， 得， 由根与系数的关系， 得 x1x2， x1x21， 2 2p p6 3 所以所以|AB|22，所以，所以 p2.（ （x1 1x2 2） ）2 24x1 1x x2 2 （ （2p6） ）2 2 9 9 4 1 16 6 3 3 答案：答案：2 10(2018·浙江金华质检浙江金华质检)若双曲线若双曲线 E：y21(a0)的离心率的离心率 x x2 2 a a2 2 等于，直线等于，直线 ykx1 与双曲线与双曲线 E 的右支交于的右支交于 A，B 两点两点2 2 (1)求求 k 的取值范围；的取值范围； (2)若若|AB|6，求，求 k 的值的值3 3 解 ：解 ： (1)由得故双曲线由得故双曲线 E 的方程为的方程为 x2y21. c c a a 2， a a2 2c2 21，) a a2 21， c c2 22，) 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，由y y kx1， x x2 2y2 21，) 得得(1k2)x22kx20. 直线与双曲线的右支交于直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，两点， 1 1 k2 2 0 0， （ （2k） ）2 24（ （1k2 2） ）·（ （2） ）0， 2 1 k2 2 0， 2k 1 k2 2 0，) 1k . 2 2 (2)由得由得 x1x2，x1x2， 2 2k k k k2 21 2 2 k k2 21 |AB|··1 1k2 2（ （x1 1x2 2） ）2 24x1 1x x2 2 26， （ （1k2 2） ）（ （2k2 2） ） （ （k2 21） ）2 2 3 3 整理得整理得 28k455k2250，k2 或 或 k2 . 5 7 5 5 4 4 又又 1k，k.2 2 5 5 2 2 B 级 能力提升练级 能力提升练 11(2018·河北衡水模拟河北衡水模拟)过原点的直线过原点的直线 l 与双曲线与双曲线1 x x2 2 9 9 y y2 2 3 3 有两个交点，则直线有两个交点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是的倾斜角的取值范围是( ) A. B 6 6 ，5 5 6 6( 6 6 ，5 5 6 6) C. D ( 6 6 ， 2 2) ( 2 2 ，5 5 6 6) 6 6 ， 2 2) ( 2 2 ，5 5 6 6 解析：选解析：选 B.当直线当直线 l 的斜率存在时，设直线的斜率存在时，设直线 l 的方程的方程 ykx，将 其代入双曲线的方程 ，将 其代入双曲线的方程1， 并整理得， 并整理得(3k21)x290.因为直线因为直线l y y2 2 3 3 x x2 2 9 9 与双曲线有两个交点， 所以与双曲线有两个交点， 所以 36(3k21)0， 所以， 所以 k2 ， 解得 ， 解得 k 1 1 3 3 或或 k. 3 3 3 3 3 3 3 设直线设直线 l 的倾斜角为的倾斜角为 ，由直线，由直线 l 的斜率的斜率 ktan (0， 且 ， 且 )， 2 2 可得可得 ； ( 6 6 ， 2 2) ( 2 2 ，5 5 6 6) 当直线当直线 l 的斜率不存在，即的斜率不存在，即 时，直线时，直线 l 为为 y 轴，显然与双轴，显然与双 2 2 曲线有两个交点故选曲线有两个交点故选 B. 12(2018·江西赣州一检江西赣州一检)已知双曲线已知双曲线1 的左、右焦点分的左、右焦点分 x x2 2 2 2 y y2 2 3 3 别是别是 F1， F2， 过， 过 F1的直线的直线 l 与双曲线相交于与双曲线相交于 A， B 两点， 则满足两点， 则满足|AB|3 的直线的直线 l 有有( )2 2 A1 条条 B2 条条 C3 条条 D4 条条 解析：选解析：选 C.由双曲线的标准方程可知点由双曲线的标准方程可知点 F1的坐标为的坐标为(，0)，5 5 易得过易得过 F1且斜率不存在的直线为且斜率不存在的直线为 x， 该直线与双曲线的交点为， 该直线与双曲线的交点为5 5 ，(，)，则，则|AB|3，又双曲线的两顶点分别，又双曲线的两顶点分别 ( 5， 3 3 2 2 2 2) 5 5 3 3 2 2 2 2 2 2 为为(，0)，(，0)，所以实轴长为，所以实轴长为 2，23，结合图象，结合图象，2 22 22 22 22 2 由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有由双曲线的对称性可知满足条件的直线还有 2 条， 故共有条， 故共有 3 条直线满 足条件 条直线满 足条件 13已知焦点在已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为轴上的椭圆方程为1，随着，随着 a 的增的增 x x2 2 4 4a a y y2 2 a a2 21 大，该椭圆的形状大，该椭圆的形状( ) A越接近于圆越接近于圆 B越扁越扁 C先接近于圆后越扁先接近于圆后越扁 D先越扁后接近于圆先越扁后接近于圆 解析：选解析：选 D.由题意知由题意知 4aa21 且且 a0， 解得解得 2a2，3 33 3 又又 e211， a a2 21 4a 1 1 4 4(a a 1 a) 因此当因此当 a(2，1)时，时，e 越来越大，越来越大，3 3 当当 a(1，2)时，时，e 越来越小越来越小3 3 所以椭圆形状变化为先扁后圆所以椭圆形状变化为先扁后圆 14 (2018·洛阳市第一次统一考试洛阳市第一次统一考试)已知双曲线已知双曲线 E：1， 直， 直 x x2 2 4 4 y y2 2 2 2 线线 l 交双曲线于交双曲线于 A，B 两点，若线段两点，若线段 AB 的中点坐标为，则的中点坐标为，则 l ( 1 2， ，1) 的方程为的方程为_ 解析：依题意，设点解析：依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有，两，则有，两 x x 4 4 y 2 2 1 x 4 4 y 2 2 1) 式相减得， 即 ×式相减得， 即 ×.又线段又线段 AB 的中点坐标是的中点坐标是 x xx 4 4 y yy 2 2 y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 1 1 2 2 x x1 1x2 2 y y1 1y2 2 ，因此，因此 x1x22× × 1，y1y2(1)××22， ， ， ( 1 1 2 2， ，1) 1 2 x x1 1x2 2 y y1 1y2 2 1 1 2 2 ，即直线 ，即直线 AB 的斜率为 ，直线的斜率为 ，直线 l 的方程为的方程为 y1 y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 ，即，即 2x8y70. (x x 1 2) 答案：答案：2x8y70 15设点设点 F 为椭圆为椭圆 C：1(m0)的左焦点，直线的左焦点，直线 yx 被被 x x2 2 4 4m m y y2 2 3 3m m 椭圆椭圆 C 截得弦长为截得弦长为. 4 4 4 42 2 7 7 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)圆圆 P：r2(r0)与椭圆与椭圆 C 交于交于 A，B 两两 (x x 4 3 7) 2 2 (y y 3 3 7) 2 2 点，点，M 为线段为线段 AB 上任意一点，直线上任意一点，直线 FM 交椭圆交椭圆 C 于于 P，Q 两点，两点，AB 为圆为圆 P 的直径，且直线的直径，且直线 FM 的斜率大于的斜率大于 1，求，求|PF|·|QF|的取值范围的取值范围 解：解：(1)由得由得 x2y2， x x2 2 4 4m m y2 2 3 3m m 1， y yx ) 1 12 2m m 7 7 故故 22，解得，解得 m1，x x2 2y2 2 2 24 4m m 7 7 4 4 4 42 2 7 7 故椭圆故椭圆 C 的方程为 的方程为 1. x x2 2 4 4 y2 2 3 3 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 又又 x x1 1x2 2 8 3 7 ， y y1 1y2 2 6 3 7 ) x x 4 4 y 3 3 1， x x 4 4 y 3 3 1) 所以所以0. （ （x1 1x2 2） ）（ （x1 1 x2 2） ） 4 （ （y 1 1 y2 2） ）（ （y1 1y2 2） ） 3 则则(x1x2)(y1y2)0，故，故 kAB1， y y1 1y2 2 x x1 1x2 2 则直线则直线 AB 的方程为的方程为 yx， 即， 即 yx， 代入椭圆， 代入椭圆 C 3 3 3 3 7 7 4 4 3 3 7 7 3 3 的方程并整理得的方程并整理得 7x28x0，3 3 则则 x10，x2， 8 8 3 3 7 7 故直线故直线 FM 的斜率的斜率 k，)，3 3 设设 FM：yk(x1)，由得，由得 x x2 2 4 4 y 2 2 3 3 1， y yk（ （x1） ）) (34k2)x28k2x4k2120， 设设 P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有，则有 x3x4， 8k2 2 3 34k2 2 x3x4， 4k2 212 3 4k2 2 又又|PF|x31|，|QF|x41|，1 12 2k2 21 12 2k2 2 所以所以|PF|·|QF|(1k2)|x3x4(x3x4)1| (1k2)|4 4k k 2 2 12 3 4k2 2 8k2 2 3 34k2 2 1| (1k2)×，×， 9 9 3 4k2 2 9 9 4 4(1 1 1 3 4k2 2) 因为因为 k，所以 ，所以 ，3 3 9 9 4 4 9 9 4 4(1 1 1 3 4k2 2) 1 12 2 5 5 即即|PF|·|QF|的取值范围是的取值范围是. ( 9 9 4 4， ，1 12 2 5 5 C 级 素养加强练级 素养加强练 16(2018·吉林长春质量检测吉林长春质量检测)已知椭圆已知椭圆 C 的两个焦点为的两个焦点为 F1(1， 0)，F2(1，0)，且经过点，且经过点 E. ( 3 3， ， 3 3 2 2) (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)过点过点 F1的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 交于交于 A， B 两点两点(点点 A 位于位于 x 轴上方轴上方)， 若 ， 若，且，且 23，求直线，求直线 l 的斜率的斜率 k 的取值范围的取值范围 A AF F1 1 F F1 1B B 解 ：解 ： (1)设 椭 圆设 椭 圆 C 的 方 程 为的 方 程 为 1(a b 0)， 则 由， 则 由 x x2 2 a a2 2 y y2 2 b b2 2 解得解得 2 2a a|EF1 1| |EF2 2| |4， a a2 2b2 2c2 2， c c1， ) a a2， c c1， b b 3，) 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为1. x2 2 4 4 y y2 2 3 3 (2)由题意得直线由题意得直线 l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0)， 联立方程，得整理得联立方程，得整理得 y yk（ （x1） ）， x x2 2 4 4 y 2 2 3 3 1， ) y2 y90， ( 3 3 k k2 4) 6 6 k k 1440， 1 14 44 4 k k2 2 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 y1y2，y1y2， 6 6k k 3 34k2 2 9k2 2 3 34k2 2 又又，所以，所以 y1y2，所以，所以 y1y2(y1y2)2， A AF F1 1 F F1 1B B （ （1） ）2 2 则，则，2， （ （1） ）2 2 4 4 3 34k2 2 1 1 4 4 3 34k2 2 因为因为 23，所以 ，所以 2 ， ， 1 1 2 2 1 1 4 4 3 3 即 ，且即 ，且 k0，解得，解得 0k. 1 1 2 2 4 4 3 34k2 2 4 4 3 3 5 5 2 2 故直线故直线 l 的斜率的斜率 k 的取值范围是的取值范围是(0 0， ， 5 5 2 2 17 (2018·甘肃兰州诊断考试甘肃兰州诊断考试)已知圆已知圆 C： (x1)2y28， 过， 过 D(1， 0)且与圆且与圆 C 相切的动圆圆心为相切的动圆圆心为 P. (1)求点求点 P 的轨迹的轨迹 E 的方程；的方程； (2)设过点设过点 C 的直线的直线 l1交曲线交曲线 E 于于 Q，S 两点，过点两点，过点 D 的直线的直线 l2 交曲线交曲线 E 于于 R，T 两点，且两点，且 l1l2，垂足为，垂足为 W(Q，R，S，T 为不同的 四个点 为不同的 四个点) 设设 W(x0，y0)，证明： ，证明： y 1； x x 2 2 2 2 0 0 求四边形求四边形 QRST 的面积的最小值的面积的最小值 解：解：(1)设动圆半径为设动圆半径为 r，由于点，由于点 D 在圆在圆 C 内，所以圆内，所以圆 P 与圆与圆 C 内切，内切，|PC|2r，|PD|r，|PC|PD|2|CD|2，2 22 2 由椭圆定义可知， 点由椭圆定义可知， 点 P 的轨迹的轨迹 E 是椭圆， 其中是椭圆， 其中 a， c1， b2 2 1，2 21 故轨迹故轨迹 E 的方程为的方程为y21. x x2 2 2 2 (2)由已知条件可知，垂足由已知条件可知，垂足 W 在以在以 CD 为直径的圆周上，则有为直径的圆周上，则有 x y 1， 2 2 0 02 2 0 0 又又 Q，R，S，T 为不同的四个点，所以 为不同的四个点，所以 y 1. x x 2 2 2 2 0 0 若若 l1或或 l2的斜率不存在，四边形的斜率不存在，四边形 QRST 的面积为的面积为 2. 若两条直线的斜率都存在，设若两条直线的斜率都存在，设 l1的斜率为的斜率为 k， 则则 l1的方程为的方程为 yk(x1)， 由方程组，得由方程组，得(2k21)x24k2x2k220， y yk（ （x1） ） x2 2 2 2 y2 21 ) 则则|QS|2·，·，2 2 k k2 21 2k2 21 同理得同理得|RT|2·，·，2 2 k k2 21 k2 22 所以所以 SQRST |QS|··|RT|，当，当 1 1 2 2 4 4（ （k2 21） ）2 2 （ （2k2 21） ）（ （k2 2 2） ） 4 4（ （k2 21） ）2 2 9 9 4 4（ （k 2 1） ）2 2 1 16 6 9 9 且仅当且仅当 2k21k22，即，即 k±1 时等号成立时等号成立 综上所述，当综上所述，当 k±1 时，四边形时，四边形 QRST 的面积取得最小值的面积取得最小值. 1 16 6 9 9