高二数学人教A版选修4-5导学案： 第四讲数学归纳法证明不等式复习导学案 Word版含解析.pdf

第四讲数学归纳法证明不等式复习第四讲数学归纳法证明不等式复习 一、知识梳理一、知识梳理 数学归 纳法 数学归纳 法原理 数学归纳法 应用举例 整除问题 几何问题 其他不等式 二、题型、技巧归纳二、题型、技巧归纳 题型一、归纳递推要用好归纳假设 数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的 证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(nk 时命题成立)，推出 nk1 时， 命题成立 例 1 用数学归纳法证明：对于 nN， .来源:学科网 ZXXK 1 1·2 1 2·3 1 3·4 1 (1)n n n n1 再练一题 1数列的前 n 项的和记为 Sn. 1 nn1 (1)求出 S1，S2，S3的值； (2)猜想出 Sn的表达式； (3)用数学归纳法证明你的猜想 题型二、不等式证明中的强化命题 如果 c 为常数，用数学归纳法证明 f(n)5)时命题成立 3设 nN，则 2n与 n 的大小关系是( ) A2nnB2n0，nN，n2. (1)证明：函数 Fn(x)fn(x)2 在内有且仅有一个零点(记为 xn)，且 xn x； ( 1 2，1) 1 2 1 2 n1n (2)设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列， 其各项和为 gn(x)， 比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明 参考答案参考答案 1 【解析】 左边等比数列求和 Sn 11 2 n 11 2 21( )n， 1 2 127 64 即 1( )n，( )n. 1 2 127 128 1 2 1 128 ( )n( )7. 1 2 1 2 n7，n 取 8，选 B. 【答案】 B 2 【解析】 由题意知 n5，nN， 故应假设 nk(k5)时命题成立来源:学科网 【答案】 C 3【解析】 2n(11)n， 根据贝努利不等式有(11)n1n×11n， 上式右边舍去 1， 得(11)nn，即 2nn. 【答案】 A 4 【解】 (1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2， 则 Fn(1)n10， Fn1 2 ( 1 2) 1 2 ( 1 2) 2 ( 1 2) n 20，故 Fn(x)在内单调递增，所以 Fn(x)在内有且 ( 1 2，1) ( 1 2，1) 仅有一个零点 xn. 因为 xn是 Fn(x)的零点，所以 Fn(xn)0， 即20，故 xn x. 1xn1 n 1xn 1 2 1 2 n1n (2)法一：由题设，gn(x). n11xn 2 设 h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0. n11xn 2 当 x1 时，fn(x)gn(x) 当 x1 时，h(x)12xnxn1. nn1xn1 2 若 0xn12xn1nxn1·xn1xn1xn10. nn1 2 nn1 2 nn1 2 若 x1，h(x)0. n1xn 1 2 当 x1 时，fn(x)gn(x) 当 x1 时，用数学归纳法可以证明 fn(x)0)，来源:学科网 ZXXK 则 hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1) 所以当 01 时，hk(x)0，hk(x)在(1，)上递增 所以 hk(x)hk(1)0， 从而 gk1(x) . 2xk1k1xkk1 2 故 fk1(x)gk1(x)，即 nk1 时不等式也成立 由和知，对一切 n2 的整数，都有 fn(x)gn(x)