2018_2019学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修4.pdf

§7 向量应用举例§7 向量应用举例 内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题， 以及在平面几何中的 线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、 功等问题(难点) 知识点 1 点到直线的距离公式及直线的法向量 1点M(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d. |Ax0By0C| A2B2 2(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量 (2)若直线l的方向向量v v(B，A)，则直线l的法向量n n(A，B) (3)设直线l的法向量n n(A，B)，则与n n同向的单位向量n n0. n n |n n|( A A2B2， B A2B2) 【预习评价】 1点P0(1,2)到直线l：2xy100 的距离为_ 答案 2 5 2直线 2xy10 的一个法向量是( ) A(2,1) B(1，2) C(1,2) D(2，1) 答案 D 知识点 2 向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用 【预习评价】 1若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F F1，F F2，则|F F1F F2|为( )OF1 OF2 A(5,0) B(5,0) C. D55 答案 C 2已知F F(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F F对物体作的功为 _ 答案 4 方向 1 基底法解平面向量问题 【例 11】 如右图，若D是ABC内的一点，且 2222，求证：ADBC. AB AC DB DC 证明 设a a，b b，e e，c c，d d，则AB AC AD DB DC a ae ec c，b be ed d. a a2b b2(e ec c)2(e ed d)2c c22e e·c c2e e·d dd d2. 由已知a a2b b2c c2d d2， c c22e e·c c2e e·d dd d2c c2d d2，e e·(c cd d)0. d dc c，·e e·(d dc c)0，BC DC DB AD BC .即ADBC.AD BC 方向 2 坐标法解决平面几何问题 【例 12】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值 解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系 设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)， 从而可求：(2a，a)，(a，2a)，AC BD 不妨设、的夹角为，则 cos AC BD AC ·BD |AC |BD | 2a，a·a，2a 5a · 5 a 4a2 5a2 . 4 5 故所求钝角的余弦值为 . 4 5 方向 3 向量在平面几何中的综合应用 【例 13】 如图所示，ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的 直径，试判断P、Q在什么位置时·取得最大值BP CQ 解 根据题意可以求得： ，BP AP AB CQ CA AQ AC AP ·()()BP CQ AP AB AC AP ·· 2 ·AP AC AB AC AP AB AP ·r2·()AB AC AP AB AC ·r2·AB AC AP CB |·|cos BACr2·AB AC AP CB bccosBACr2·.AP CB 当与同向时，·最大值为AP CB AP CB |·|ra，即当与同向时，AP CB QP CB ·取得最大值bccosBACr2ar.BP CQ 规律方法 用向量解平面几何问题的方法 (1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转 化为只含有基底向量的运算 (2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算 题型二 向量在解析几何中的应用 【例 2】 已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n n(2，1) (1)求直线l的一般方程； (2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程 解 (1)直线l的一个法向量为n n(2,1)， 直线l的一个方向向量为v v(1,2) 直线l的斜率为 2. 直线l的点斜式方程为y12(x1) 整理得 2xy10. 故直线l的一般方程为 2xy10. (2)直线l1与l垂直， l1的一个方向向量v v(2,1) 直线l1的斜率为 . 1 2 直线l1的点斜式方程为y0 (x2) 1 2 整理得x2y20. 故直线l1的一般方程为x2y20. 规律方法 1.已知直线的法向量n n(a，b)，则其方向向量为m m(b，a)，利用方向向量 可求得直线的斜率k 是求直线方程的关键 a b 2向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质(2)用向量法处理 解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题 【训练 1】 如图，在OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若x，yOM OA ON OB (00， 得F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2) F(x)在(0，1)上为减函数 题型三 向量在解决物理问题中的应用 【例 3】 在风速为 75() km/h 的西风中， 飞机以 150 km/h 的航速向西北方向飞行，62 求没有风时飞机的航速和航向 解 设向量a a表示风速，b b表示无风时飞机的航行速度，c c表示有风时飞机的航行速度， 则c c a ab b. 如图，作向量a a，b b，c c，则四边形OACB为平行四边形OA OB OC 过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点 由已知，|75()，|150，COD45°.OA 62OC 在 RtCOD中，ODOCcos 45°75，CD75.22 又EDBCOA75()，62 OEODED75.又BECD75.62 在 RtOEB中，OB150，OE2BE22 sinBOE ，|150，BOE30°. BE OB 1 2 OB 2 故没有风时飞机的航速为 150 km/h，航向为西偏北 30°.2 规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型， 把物理问题转化为数学问题， 其次 要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系 2速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向 量求和的平行四边形法则和三角形法则 3在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在 物理中的主要应用之一 【训练 2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏 南 30°，风速为 4 米/秒，这时气象台报告实际风速为 2 米/秒试求风的实际方向和汽车 的速度大小 解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v v车地、风对车的速度为v v风车、风 对地的速度为v v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v v风地v v 风车v v车地 如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v v风地的有向线段是平行四边形AD ABDC的对角线 |4 米/秒，ACD30°，|2 米/秒，AC AD ADC90°. 在 RtADC中， |cos 30°2(米/秒)， 即风的实际方向是吹向正南方向， 汽车DC AC 3 速度的大小为 2米/秒.3 课堂达标 1已知ABC，a a，b b，且a·ba·b0，则ABC的形状为AB AC ( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能确定 答案 A 2已知直线l：5xy70，向量p p(k1,2k3)，且p pv v，则k的值为(向量v v为l 的方向向量)( ) A. B. 7 3 13 6 C. D 16 3 8 3 解析 l的方向向量v v(1,5)，由v v与p p平行得： 5(k1)2k3.解得k . 8 3 答案 D 3已知A(1,2)，B(2,1)，以AB为直径的圆的方程是_ 解析 设P(x，y)为圆上任一点，则 (x1，y2)，(x2，y1)，AP BP 由·(x1)(x2)(y2)(y1)0，AP BP 化简得x2y2x3y0. 答案 x2y2x3y0 4在四边形ABCD中，已知(4，2)，(7,4)，(3,6)，则四边形ABCD的面积AB AC AD 是_ 解析 (3,6)，BC AC AB AD ·(4，2)·(3,6)0，AB BC AB BC 四边形ABCD为矩形，|，|，S|·|30.AB 20BC 45AB BC 答案 30 5正方形OABC的边长为 1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求 cosDOE的值 解 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知： ，OD (1， 1 2) OE ( 1 2，1) 故 cosDOE OD ·OE |OD |·|OE | . 1 × 1 2 1 2 × 1 5 2 × 5 2 4 5 课堂小结 1用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题对具体的问题是选用向 量几何法还是向量坐标法是解题的关键 2用向量解决物理问题需注意： (1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来 (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解 (3)要将数学问题还原为物理问题 基础过关 1已知直线l：mx2y60，向量(1m,1)与l平行，则实数m的值为( ) A1 B1 C2 D1 或 2 解析 l的方向向量为v v(2，m)， 由v v与(1m,1)平行得2m(1m)，m2 或1. 答案 D 2若2e e1，4e e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )AB DC AD CB A平行四边形 B梯形 C等腰梯形 D菱形 解析 ，又|，AB 1 2DC AD BC 四边形ABCD为等腰梯形 答案 C 3已知点O在ABC所在平面上，若···，则点O是ABC的( )OA OB OB OC OC OA A三条中线交点 B三条高线交点 C三条边的中垂线交点 D三条角平分线交点 解析 ··，OA OB OB OC ()··0，OA OC OB CA OB .OB CA 同理可证，OC AB OA BC O是三条高线交点 答案 B 4 已知作用在A(1,1)点的三个力F F1(3,4)，F F2(2， 5)，F F3(3,1)， 则合力F FF F1F F2F F3 的终点坐标为_ 解析 F FF F1F F2F F3(8,0) 又起点坐标为A(1,1)，终点坐标为(9,1) 答案 (9,1) 5 已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点， 且|AB|， 则·_.3OA OB 解析 如图，作ODAB于D，则在 RtAOD中，OA1，AD，所以 3 2 AOD60°，AOB120°，所以·|·|·cos 120°1×1×( )OA OB OA OB 1 2 . 1 2 答案 1 2 6过点A(2,1)，求： (1)与向量a a(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b b(1,2)垂直的直线方程 解 设所求直线上任意一点P(x，y)， A(2,1)，(x2，y1)AP (1)由题意知a a，(x2)×13(y1)0，AP 即x3y50. 所求直线方程为x3y50. (2)由题意，知b b，AP (x2)×(1)(y1)×20， 即x2y40， 所求直线方程为x2y40. 7已知长方形AOCD，AO3，OC2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P 在什么位置时，PED45°. 解 如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)， (1,3)，(1，y)，ED EP |，|，·3y1，ED 10EP 1y2ED EP 代入 cos 45°. ED ·EP |ED |EP | 3y1 10· 1y2 2 2 解得y (舍)或y2， 1 2 点P在靠近点A的AO的三等分处 能力提升 8 已知点A(， 1)，B(0,0)，C(， 0)， 设BAC的平分线AE与BC相交于E， 那么有33BC ，其中等于( )CE A2 B. 1 2 C3 D1 3 解析 如图所示，由题知ABC30°，AEC60°，CE， 3 3 3，3. |BC | |CE | BC CE 答案 C 9 若O是ABC所在平面内一点， 且满足|2|， 则ABC的形状是( )OB OC OB OC OA A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 解析 |，OB OC CB AB AC |2|，OB OC OA AB AC |，AB AC AB AC 设，AB AC AD 四边形ABDC是矩形，且BAC90°. ABC是直角三角形 答案 B 10 在ABC中， A60°，AB3，AC2， 若2，(R R)， 且·BD DC AE AC AB AD AE 4，则的值为_ 解析 ·3×2×cos 60°3， 则··()AB AC AD 1 3AB 2 3AC AD AE ( 1 3AB 2 3AC ) AC AB ×3×4 ×9 ×34. 3 2 3 1 3 2 3 3 11 答案 3 11 11.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的 两点M、N，若m，n，则mn的值为_AB AM AC AN 解析 O是BC的中点， ()AO 1 2 AB AC 又m，n，AB AM AC AN .AO m 2AM n 2AN M，O，N三点共线， 1.则mn2. m 2 n 2 答案 2 12已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，1) (1)求·和ACB的大小，并判断ABC的形状；AB AC (2)若M为BC边的中点，求|.AM 解 (1)由题意得(3，1)，(1，3)，AB AC ·3×(1)(1)×(3)0.AB AC 所以，即A90°.因为|，AB AC AB AC 所以ABC为等腰直角三角形，ACB45°. (2)因为M为BC中点，所以M(2,0) 又A(1,2)，所以(1，2)AM 所以|.AM 12225 13.(选做题)如图，在细绳O处用水平力F F2缓慢拉起所受重力为G G的物体，绳子与铅垂方向 的夹角为，绳子所受到的拉力为F F1. (1)求|F F1|，|F F2|随角的变化而变化的情况； (2)当|F F1|2|G G|时，求角的取值范围 解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F F1|，|F F2|G G|tan |G G| cos . 当从 0°趋向于 90°时，|F F1|，|F F2|都逐渐变大 (2)由(1)，得|F F1|， |G G| cos 由|F F1|2|G G|，得 cos . 1 2 又因为 0°90°，所以 0°60°.