2019届高考数学二轮复习高考大题专项练五解析几何A理2.pdf

五 解析几何(A)五 解析几何(A) 1.(2018·江西九江模拟)给定椭圆C:+=1(ab0),称圆心在原点O,半径为的圆 2 2 2 2 2+ 2 是椭圆 C 的 “准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F(,0),其短轴上的一个端点到 F 的距离为. 23 (1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1,l2,使得 l1,l2与椭圆 C 都只有 一个公共点,且 l1,l2分别交其“准圆”于点 M,N. 当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1,l2的方程; 求证:|MN|为定值. 2.(2018·武侯区校级模拟)已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-,0),P为椭圆 2 C 上不同于 A,B 的任意一点,且满足 kAP·kBP=- . 1 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 为椭圆 C 的右焦点,直线 PF 与椭圆 C 的另一交点为 Q,PQ 的中点为 M,若|OM|=|QM|, 求直线 PF 的斜率. 3.已知抛物线 C 顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为,设 P 为直 32 2 线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 4.(2018·红桥区一模)已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,椭圆 C 与 y 轴交于 A,B 2 2 2 2 3 2 两点,且|AB|=2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上的一个动点,且点 P 在 y 轴的右侧.直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于 M, N 两点.若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E,F,求点 P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值. 1.(1)解:由题意知 c=,a=,所以 b=1. 23 所以椭圆的方程为+y2=1, 2 3 “准圆”的方程为 x2+y2=4. (2)解:因为“准圆”x2+y2=4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2), 设过点 P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为 y=kx+2, 联立方程组 = + 2, 2 3 + 2= 1, 消去 y, 得到(1+3k2)x2+12kx+9=0, 因为椭圆与 y=kx+2 只有一个公共点, 所以=144k2-4×9(1+3k2)=0, 解得 k=±1. 所以 l1,l2的方程分别为 y=x+2,y=-x+2. 证明:a.当 l1,l2中有一条无斜率时,不妨设 l1无斜率,因为 l1与椭圆只有一个公共点, 则其方程为 x=或 x=-. 33 当 l1的方程为 x=时,此时 l1与准圆交于点(,1),(,-1), 333 此时经过点(,1)(或(,-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=1(或 y=-1), 33 即 l2为 y=1(或 y=-1),显然直线 l1,l2垂直; 同理可证 l1方程为 x=-时,直线 l1,l2垂直. 3 b.当 l1,l2都有斜率时,设点 P(x0,y0),其中+=4,2 0 2 0 设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x-x0)+y0, 联立方程组 = + (0- t0), 2 3 + 2= 1, 消去 y 得到 x2+3tx+(y0-tx0)2-3=0, 即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0, =6t(y0-tx0)2-4·(1+3t2)3(y0-tx0)2-3=0, 经过化简得到(3-)t2+2x0y0t+1-=0,2 0 2 0 因为+=4,2 0 2 0 所以有(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,2 0 2 0 设 l1,l2的斜率分别为 t1,t2, 因为 l1,l2与椭圆都只有一个公共点, 所以 t1,t2满足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,2 0 2 0 所以 t1·t2=-1, 2 0- 3 3 - 2 0 即 l1,l2垂直. 综合 a 和 b 知 l1,l2垂直, 因为 l1,l2经过点 P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点 M,N,且 l1,l2垂直, 所以线段 MN 为“准圆”x2+y2=4 的直径, 所以|MN|=4. 2.解:(1)设 P(x,y)(x±), 2 所以 kAP·kBP=- ,所以·=- , 1 2 + 2 - 2 1 2 整理得+y2=1(x±), 2 2 2 因为 A,B 两点在椭圆上, 所以椭圆 C 的方程为+y2=1. 2 2 (2)由题可知,斜率一定存在且 k0, 设过焦点 F 的直线方程为 x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0), 联立则(m2+2)y2+2my-1=0, 2 2 + 2= 1, = + 1, 所以所以 1+ 2= - 2 2+ 2 , 12= - 1 2+ 2 , = 8(2+ 1), 0= 2 2+ 2 , 0= - 2+ 2 , 所以|OM|=, 2+ 4 2+ 2 而|QM|= |PQ| 1 2 = · 1 2 (1 + )2 42 (2+ 2)2 + 4(2+ 2) (2+ 2)2 = · 1 2 (2+ 1)(82+ 8) (2+ 2)2 =·. 2 2+ 1 2+ 2 因为|OM|=|QM|, 所以=·, 2+ 4 2+ 2 2 2+ 1 2+ 2 所以 m2= ,所以 k2=2,所以 k=±. 1 2 2 因此,直线 PF 的斜率为±. 2 3.解:(1)因为抛物线 C 的焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0 的距离为, 32 2 所以=, | - - 2| 2 32 2 得 c=1, 所以 F(0,1),即抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 x2=4y 得 y= x, 1 2 所以切线 PA:y-y1= x1(x-x1), 1 2 有 y= x1x-+y1, 1 2 1 2 2 1 而=4y1,2 1 即切线 PA:y= x1x-y1, 1 2 同理可得切线 PB:y= x2x-y2. 1 2 因为两切线均过定点 P(x0,y0), 所以 y0= x1x0-y1,y0= x2x0-y2, 1 2 1 2 由此两式知点 A,B 均在直线 y0= xx0-y 上, 1 2 所以直线 AB 的方程为 y0= xx0-y, 1 2 即 y= x0x-y0. 1 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y), 由 x-y-2=0, 得 x=y+2, 则|AF|·|BF|=· 2 1+ (1- 1)2 2 2+ (2- 1)2 =· 41+ (1- 1)242+ (2- 1)2 =· (1+ 1)2(2+ 1)2 =(y1+1)·(y2+1) =y1y2+(y1+y2)+1. 由 2= 4y, = 1 2x'x - y' 得 y2+(2y-x2)y+y2=0, 有 y1+y2=x2-2y,y1y2=y2, 所以|AF|·|BF|=y2+x2-2y+1 =y2+(y+2)2-2y+1 =2(y+ )2+ , 1 2 9 2 当 y=- ,x= 时, 1 2 3 2 即 P( ,- )时,|AF|·|BF|取得最小值 . 3 2 1 2 9 2 4.解:(1)由题意可得,2b=2,即 b=1, e= =,得= , 3 2 2- 1 2 3 4 解得 a2=4, 椭圆 C 的标准方程为+y2=1. 2 4 (2)法一 设 P(x0,y0)(00,解得 x0( ,2. 8 0 8 5 则|x1-x2|=2( 0,解得 x0( ,2. 8 0 8 5 该圆的直径为 |-1-+1 |=|2-|, 4(0+ 1) 0 4(0- 1) 0 8 0 圆心到 x 轴的距离为 |-1+1|=|, 1 2 4(0+ 1) 0 4(0- 1) 0 40 0 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2=2( x02),(1 - 4 0) 2- (40 0 ) 25 - 8 0 8 5 所以该圆被 x 轴截得的弦长最大值为 2.