2020版数学新优化浙江大一轮试题：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点规范练55 Word版含答案.pdf

考点规范练考点规范练 55 二项分布及其应用二项分布及其应用 考点规范练第考点规范练第 72 页页 基础巩固组基础巩固组 1.已知随机变量 XB(n,0.8),D(X)=1.6,则 n 的值是( ) A.8B.10C.12D.14 答案 B 解析由 D(X)=np(1-p)=n×0.8×0.2=1.6n=10.故选 B. 2.国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响,那么这 1 3, 1 4, 1 5. 段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ) ABCD. 59 60 .3 5 .1 2 . 1 60 答案 B 解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为因此,他们不去北京旅游的概率分别为,所以,至 1 3, 1 4, 1 5. 2 3, 3 4, 4 5 少有 1人去北京旅游的概率为 P=1-故选 B. 2 3 × 3 4 × 4 5 = 3 5. 3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,则抽出的球的颜色全相同的概率 是( ) ABCD. 2 27 .1 9 .2 9 . 1 27 答案 B 解析三次均为红球的概率为,三次均为黄、绿球的概率也为,故所求概率为 1 3 × 1 3 × 1 3 = 1 27 1 27 1 27 + 1 27 + 故选 B. 1 27 = 1 9. 4.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 n 次,事件“至少有一次正面向上”的概率为 P,则 n 的最小 ( 15 16) 值为( ) A.4B.5C.6D.7 答案 A 解析由题意得 P=1-,则, ( 1 2) 15 16 ( 1 2) 1 16 所以 n4.故 n 的最小值为 4. 5.设随机变量 XB(2,p),YB(4,p),若 P(X1)= ,则 P(Y2)的值为( ) 5 9 ABCD. 32 81 .11 27 .65 81 .16 81 答案 B 解析因为随机变量 XB(2,p),YB(4,p),又 P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2= ,解得 p= ,所以 YB,则 5 9 1 3 ( 4, 1 3) P(Y2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)= 11 27. 6.设随机变量 XB,则 P(X=3)等于 . ( 6, 1 2) 答案 5 16 解析 XB,由二项分布可得,P(X=3)= ( 6, 1 2) C3 6( 1 2) 3 ·( 1 - 1 2) 3 = 5 16. 7.天气预报,端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 0.9,0.8,0.75,若甲、乙、丙三地是否降雨 相互之间没有影响,则其中至少一个地方降雨的概率为 . 答案 0.995 解析因为甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 0.9,0.8,0.75, 所以甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是 0.1,0.2,0.25, 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是 0.1×0.2×0.25=0.005, 故至少一个地方降雨的概率为 1-0.005=0.995. 8.已知甲射击命中目标的概率是 ,乙射击命中目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是 现在三人同 1 2 1 3 1 4. 时射击目标,则目标被击中的概率为 . 答案 3 4 解析设甲射击命中目标为事件 A,乙射击命中目标为事件 B,丙射击命中目标为事件 C,则击中目标表 示事件 A,B,C 中至少有一个发生. 又 P()=P( )·P( )·P( )·· =1-P(A)·1-P(B)·1-P(C) =, ( 1 - 1 2)( 1 - 1 3)( 1 - 1 4) = 1 4 故目标被击中的概率为 1-P()=1-·· 1 4 = 3 4. 能力提升组能力提升组 9.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312 答案 A 解析 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k=2)=0.62×(1-0.6),投中 3 次的概率为 P(k=3)=0.63,所以通过C2 3× 测试的概率为 P=P(k=2)+P(k=3)=0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选 A.C2 3× 10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B在任意时刻发生故障的概率 分别为 和 p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为,则 p=( ) 1 8 9 40 ABCD. 1 10 . 2 15 .1 6 .1 5 答案 B 解析由题意得 (1-p)+p=,所以 p=故选 B. 1 8 ( 1 - 1 8) 9 40 2 15. 11.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F 为 6 个开关,其闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率是 1 2 ( ) ABCD. 1 64 .55 64 .1 8 . 1 16 答案 B 解析设 A与 B 中至少有一个不闭合的事件为 T,E与 F 至少有一个不闭合的事件为 R,则 P(T)=P(R)=1-,所以灯亮的概率 P=1-P(T)P(R)P( )P( )= 1 2 × 1 2 = 3 4 55 64. 12.一袋中有 5 个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( ) AB.C10 12( 3 8) 10 ( 5 8) 2 .C 9 12( 3 8) 9 ( 5 8) 23 8 CD.C 9 11( 5 8) 2 ( 3 8) 2 .C 9 11( 3 8) 10 ( 5 8) 2 答案 D 解析由题意知第 12 次取到红球,前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球,由于每次取到红球的概率为 , 3 8 所以 P(X=12)=故选 D.C 9 11( 3 8) 9 ×(5 8) 2 × 3 8. 13.位于坐标原点的一个质点 P 按下面规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右, 其概率分别为,质点 P 移动 5 次后位于点(3,2)的概率是 . 2 3, 1 3 答案 40 243 解析 P=C3 5( 1 3) 3 ( 2 3) 2 = 40 243. 14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程 中,将 3次遇到黑色障碍物,最后落入甲袋或乙袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下 落的概率都是 ,则小球落入甲袋中的概率为 . 1 2 答案 3 4 解析记“小球落入甲袋中”为事件 A,“小球落入乙袋中”为事件 B,则事件 A的对立事件为 B.若小球落 入乙袋中,则小球必须一直向左或一直向右落下,故 P(B)=,从而 P(A)=1-P(B)=1- ( 1 2) 3 +(1 2) 3 = 1 4 1 4 = 3 4. 15.某射击选手在射击比赛中,每次是否击中目标互不影响,击中目标的概率为 该射手可最多连续射 4 5. 击 5次,当击中目标后停止射击,则该射手击中目标概率最大的射击次数为 . 答案 4 解析设射手在最多 5 次射击中击中目标的次数为 X, 则 XB(5,0.8),恰好 k 次击中目标的概率为 P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.C 5( 4 5) ·(1 5) 5 - 由得 ( = ) ( = - 1), ( = ) ( = + 1), C 5( 4 5) ( 1 5) 5 - C - 1 5( 4 5) - 1 ( 1 5) 6 - , C 5( 4 5) ( 1 5) 5 - C + 1 5( 4 5) + 1 ( 1 5) 4 - , 解得k,故 k=4. 19 5 24 5 16.某校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独 立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题的便可通过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正 确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为 ,且每题正确完成与否互不影响. 2 3 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列,并计算其数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为 ,则 的可能取值为 1,2,3, P(=1)=,P(=2)=, C1 4C22 C3 6 = 1 5 C2 4C12 C3 6 = 3 5 P(=3)=, C3 4C02 C3 6 = 1 5 考生甲正确完成题数的分布列为 123 P1 5 3 5 1 5 E()=1+2+3=2.× 1 5 × 3 5 × 1 5 又 B,其分布列为 ( 3, 2 3) P(=k)=,k=0,1,2,3.C 3( 2 3) ( 1 3) 3 - E()=np=3=2.× 2 3 (2)D()=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2,D()=npq=3,× 1 5 × 3 5 × 1 5 = 2 5 × 2 3 × 1 3 = 2 3 D()P(2). 从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成 2 题 的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. 17.PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5 m的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境 质量的影响很大.我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 g/m3以下空 气质量为一级;在 35 g/m375 g/m3之间空气质量为二级;在 75 g/m3以上空气质量为超标. 某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所 示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记 表示空气质量达到一级的天数,求 的分布列; (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到 一级? 解(1)的可能值为 0,1,2,3, 其分布列为 P(=k)=(k=0,1,2,3), C 6 ·C 3 - 9 C 3 15 0123 P 84 455 216 455 135 455 20 455 (2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 6 15 = 2 5. 一年中空气质量达到一级的天数为 , 则 B, (360, 2 5) 所以 E()=360=144(天),× 2 5 一年中空气质量达到一级的天数约为 144 天.