江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣3三角函数解三角形平面向量学案2.pdf

3.三角函数、解三角形、平面向量3.三角函数、解三角形、平面向量 1终边与终边相同(的终边在终边所在的射线上)2k(kZ Z)，注意 ： 相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等 任意角的三角函数的定义 ： 设是任意一个角，P(x，y)是的终边上的任意一点(异于原点)， 它与原点的距离是r0，那么 sin ，cos ，tan (x0)，三角函数x2y2 y r x r y x 值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关 问题 1 已知角的终边经过点P(3，4)，则 sin cos 的值为_ 答案 1 5 2同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan . sin cos (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限 角2 2 正弦sin sin sin sin cos 余弦cos cos cos cos sin 问题2 cos tansin 21 的值为 9 4( 7 6) _ 答案 2 2 3 3 3正弦、余弦和正切函数的常用性质 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域R RR Rx|xk，kZ Z 2 值域y|1y1y|1y1R R 单调性 在Error! ，kZ Z 上递增； 在Error!，kZ Z 上递减 在(2k1)， 2k，kZ Z 上递增； 在2k，(2k 1)，kZ Z 上递减 在Error!，kZ Z 上递增 最值 x2k(kZ Z)时，ymax 2 1；x2k(kZ Z) 2 时，ymin1 x2k(kZ Z)时， ymax1；x 2k(kZ Z)时，ymin 1 无最值 奇偶性奇偶奇 对称中心：(k，0)，kZ Z 对称中心： ，kZ Z (k 2 ，0) 对称中心： ， ( k 2 ，0) kZ Z对称性 对称轴：xk，kZ Z 2 对称轴 ：xk，kZ Z无 周期性22 问题 3 函数ysin的单调减区间是_ (2x 3) 答案 (kZ Z) k 12，k 5 12 4三角函数化简与求值的常用技巧 解答三角变换类问题要灵活地正用、 逆用， 变形运用和、 差、 倍角公式和诱导公式， 进行化简、 求值常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧如： ()，2()()， ()() 1 2 ()，. 4( 4)( 4) 4 问题 4 已知，sin() ，sin，则 cos ( 3 4 ，) 3 5( 4) 12 13( 4) _. 答案 56 65 5解三角形 (1)正弦定理：2R(R为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的 a sin A b sin B c sin C 一些变式 ： ()abcsin Asin Bsin C； ()sin A， sin B， sin C； ()a a 2R b 2R c 2R 2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；()2R. abc sin Asin Bsin C 已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要 结合具体情况进行取舍在ABC中，ABsin Asin B. (2)余弦定理 ：a2b2c22bccos A，cos A等，常选用余弦定理判定三角形的形 b2c2a2 2bc 状 问题 5 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a，b，A60°，则B32 _. 答案 45° 6求三角函数最值的常见类型、方法 (1)yasin xb(或acos xb)型，利用三角函数的值域，须注意对字母a的讨论 (2)yasin xbsin x型，借助辅助角公式化成y·sin(x)的形式，再利用三a2b2 角函数有界性解决 (3)yasin2xbsin xc型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|1 的约束 (4)y型，反解出 sin x，化归为|sin x|1 解决 asin xb csin xd (5)y型， 化归为Asin xBcos xC型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意 asin xb ccos xd 义)求解 (6)ya(sin xcos x)bsin x·cos xc型， 常令tsin xcos x， 换元后求解(|t| )2 问题 6 函数ysin2xsin x1 的值域为_ 答案 5 4，1 解析 y 2 ，又 sin x1,1， (sin x 1 2) 5 4 当 sin x 时，ymin ； 1 2 5 4 当 sin x1 时，ymax1. 函数的值域为. 5 4，1 7向量的平行与平面向量的数量积 (1)向量平行(共线)的充要条件：a ab b(b b0 0)a ab b(a·ba·b)2(|a|ba|b|)2x1y2y1x20. (2)a·ba·b|a a|b b|cos ， 变形：|a a|2a a2a·aa·a， cos . a a··b b | |a a| | |b b| 注意：a a，b b为锐角a·ba·b0 且a a，b b不同向； a a，b b为钝角a·ba·b1，tan tan 4a0， tan ，tan 是方程x24ax3a10 的两个负根 又， ( 2 ， 2) ，即. ( 2 ，0) 2( 2 ，0) 由 tan() tan tan 1tan ·tan ， 4a 13a 1 4 3 可得 tan 2. 2 答案 2 易错点 2 图象变换方向或 变换量把握不准 例 2 已知函数f(x)sin， 为了得到函数g(x)cos 2x的图象， 只要将yf(x)的 (2x 4) 图象向_平移_个单位长度 易错分析 (1)没有将f(x)，g(x)化为同名函数；(2)平移时看 2x变成了什么，而没有认识 到平移过程只是对“x”而言 解析 g(x)sinsin， (2x 2)2(x 8) 4 yf(x)的图象向左平移个单位长度即可得到yg(x)的图象 8 答案 左 8 易错点 3 三角函数单调性理解不透 例 3 求函数y3sin的单调区间 ( 4 2x) 易错分析 对形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数，如果a，得a0，没有排除0，即两向量同向的情况 解析 由为锐角，可得Error!Error! 的取值范围是Error!. 答案 Error! 1 已知点P落在角的终边上， 且0,2)， 则的值为_ (sin 3 4 ，cos 3 4) 答案 7 4 解析 tan 1， cos 3 4 sin 3 4 cos 4 sin 4 又 sin 0，cos 0)和g(x)2cos(2x)1 的图象的对称轴完全相 (x 6) 同若x，则f(x)的取值范围是_ 0， 2 答案 3 2，3 解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同， 2，f(x)3sin. (2x 6) 由x，得2x， 0， 2 6 6 5 6 f(x)3. 3 2 5在斜ABC中，若tan C0，则 tan C的最大值是_ 1 tan A 1 tan B 答案 2 2 解析 在斜ABC中，ABC， C(AB)， tan Ctan(AB)tan(AB) ， tan Atan B 1tan Atan B 又tan C0， 1 tan A 1 tan B tan C， ( 1 tan A 1 tan B) tan Atan B tan Atan B tan Atan B tan Atan B tan Atan B 1tan Atan B tan Atan B1tan Atan B， tan Atan B ， 1 2 tan Atan B 0，tan A与 tan B同号， 1 2 又在ABC中，tan A0，tan B0， tan C2(tan Atan B)2×2 tan Atan B 2×2×2， 2 2 2 当且仅当 tan Atan B时“”成立， 2 2 tan C的最大值为2.2 6(2018·苏州模拟)已知向量a a(1,2)，b b(2，4)，|c c|，(a ab b)·c c ，则a a，c c5 5 2 的夹角大小为_ 答案 120° 解析 设a a与c c的夹角为， a a(1,2)，b b(2，4)，则b b2a a， (a ab b)·c ca a·c c ， 5 2 a a·c c ， 5 2 cos ， a a·c c |a a|·|c c| 5 2 5· 5 1 2 0°180°，120°. 7 已知f1(x)sincos x，f2(x)sin xsin(x)， 若设f(x)f1(x)f2(x)， 则f(x) ( 3 2 x) 的单调增区间是_ 答案 (kZ Z) k，k 2 解析 由题意知，f1(x)cos2x，f2(x)sin2x， f(x)sin2xcos2xcos 2x， 令 2x2k，2k(kZ Z)， 得x(kZ Z)， k，k 2 故f(x)的单调增区间为(kZ Z) k，k 2 8在ABC中，B60°，AC，则AB2BC的最大值为_3 答案 2 7 解析 由正弦定理知， AB sin C 3 sin 60° BC sin A AB2sin C，BC2sin A. 又AC120°， AB2BC2sin C4sin(120°C) 2(sin C2sin 120°cos C2cos 120°sin C) 2(sin Ccos Csin C)3 2(2sin Ccos C)2sin(C)，37 其中 tan ，是第一象限角， 3 2 由于 0°C120°，且是第一象限角， 因此AB2BC有最大值 2.7 9已知 tan()1，tan()2，则的值为_ sin 2 cos 2 答案 1 解析 tan()1，tan()2， sin 2 cos 2 sin cos ， sin coscossin cos cossinsin 分式同除以 cos()cos()， 1. tan tan 1tantan 12 11 × 2 10在平行四边形ABCD中，BAD60°，AB1，AD，P为平行四边形内一点，且AP3 ，若(，R R)，则的最大值为_ 3 2 AP AB AD 3 答案 1 解析 ，AP AB AD |2()2，AP AB AD 即 22| |22|22·. ( 3 2) AB AD AB AD 又AB1，AD，BAD60°，3 ·|cos 60°，AB AD AB AD 3 2 232， 3 4 3 ()2 2， 3 3 4 3 3 4( 3 2) ()21，的最大值为 1，33 当且仅当 ，时取等号 1 2 3 6 11已知函数f(x)sin xcos xcos2x . 1 2 (1)求f(x)的最小正周期； (2)当x时，求函数f(x)的值域； 0， 4 (3)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的解析式 8 解 f(x)sin xcos xcos2x1 2 sin 2x sin. 1 2 1cos 2x 2 1 2 2 2(2x 4) (1)所以最小正周期T. 2 2 (2)当x时，2x，sin， 0， 4 4 4 ，3 4(2x 4) 2 2 ，1 所以f(x)的值域为. 1 2， 2 2 (3)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度， 8 得到g(x)sinsin 2x. 2 22(x 8) 4 2 2 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin Aacos B.3 (1)求角B的值； (2)若 cos Asin C，求角A的值 31 4 解 (1)因为，所以bsin Aasin B， a sin A b sin B 又bsin Aacos B，3 所以acos Basin B，即 tan B，33 因为B(0，)，所以B. 3 (2)因为 cos Asin C，所以 cos Asin， 31 4( 2 3 A) 31 4 cos Acos2A sin A·cos A ( 3 2 cos A1 2sin A) 3 2 1 2 · sin 2Acos 2A sin 2A sin， 3 2 1cos 2A 2 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 1 2(2A 3) 31 4 所以 sin ，因为B，所以 0A，所以 2A， (2A 3) 1 2 3 2 3 3( 3 ，5 3) 所以 2A，A. 3 7 6 5 12