2019年高考物理备考中等生百日捷进提升系列专题05万有引力定律含解析.pdf

专题 05 万有引力定律专题 05 万有引力定律 第一部分名师综述第一部分名师综述 万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知 道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度） 、 以及分析卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以 前会有所降低。本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际 生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。牢牢地抓住基本公式，建立天体运动的两个模型是解决万有 引力问题的关键。复习万有引力定律的应用时分两条主线展开，一是万有引力等于向心力，二是重力近似 等于万有引力。 第二部分知识背一背第二部分知识背一背 一、万有引力定律一、万有引力定律 1.内容 ： 自然界中任何两个物体都相互吸引， 引力的方向在它们的连线上， 引力的大小跟物体的质量m1和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2.公式：F=，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定. Gm1m2 r2 3.适用条件：两个质点之间的相互作用. (1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离。 (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为_质点到球心间的距离。 二、三种宇宙速度二、三种宇宙速度 三、经典时空观和相对论时空观三、经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变； (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的. 2.相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为 m= . m0 1v 2 c2 (2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 第三部分技能+方法第三部分技能+方法 一、万有引力定律在天体运动中的应用万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 （1）一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型 （2）两组公式 Gmm2rm·rma Mm r2 v2 r 42 T2 mg(g为星体表面处的重力加速度) GMm R2 2.天体质量和密度的计算 （1）估算中心天体的质量 从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量M 从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量M （2）设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mgG，即g(或GMgR2)若物体距星体表面 Mm R2 GM R2 高度为h，则重力mgG，即gg. Mm Rh2 GM Rh2 R2 Rh2 二、双星模型双星模型 1模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做 周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星 2模型特点： (1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供， 故F1F2， 且方向相反， 分别作用在m1、m2 两颗行星上 (2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等 (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1r2L. 三、卫星的在轨运行和变轨问题三、卫星的在轨运行和变轨问题 (1)圆轨道上的稳定运行 Gmmr2mr 2 Mm r2 v2 r ( 2 T) (2)变轨运行分析 当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G和需要的向心力m不再相等，卫星将偏离原 Mm r2 v2 r 轨道运动 当Gm时， 卫星做近心运动， 其轨道半径r变小， 由于万有引力做正功， 因而速度越来越大 ； Mm r2 v2 r 反之，当Gm时，卫星做离心运动，其轨道半径r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小 Mm r2 v2 r 3.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合. (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24 h86 400 s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4)高度一定，卫星离地面高度 hrR6R(为恒量). (5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 4.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的 半径，其运行线速度约为 7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心. 第四部分基础练+测第四部分基础练+测 一、单选题 1某极地卫星的运动轨道平面还过地球的南北两极,如图所示,卫星从北极正上方按图示方向第一次运动到 北纬 30°的正上方时所用时间为 0.5h,则下列说法正确的是 A该卫星的运行速度大于 7.9 km/s B该卫星与同步卫星的运行半径之比为 1:8 C该卫星与同步卫星的向心加速度之比为 16:1 D该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能 【答案】 C 【解析】 【详解】 A、所有卫星的运行速度都不大于第一宇宙速度，故选项 A 错误； B、卫星从北极正上方按图示方向第一次运动到北纬的正上方，偏转的角度是，刚好为运动周期的30°60° ， 所以卫星运行的周期为， 同步卫星的周期是， 由开普勒第三定律， 解得 1 6 T1= 3hT2= 24h r31 r32 = T21 T22 r1 r2 = T21 T22 = ；故选项 B 错误； 1 4 C、由可得，可知卫星与同步卫星的加速度之比为，故选项 C 正确； GMm r2 = maa = GM r2 a1 a2 = r22 r21 = 16 1 D、由于不知道卫星的质量关系，故不能确定机械能，故选项 D 错误； 22018 年 12 月 8 日我国嫦娥四号探测器成功发射,实现人类首次在月球背面无人软着陆。通过多次调速让 探月卫星从近地环绕轨道经地月转移轨道进入近月环绕轨道。已知地球与月球的质量之比及半径之比分别 为 a、b,则关于近地卫星与近月星做匀速圆周运动的下列判断正确的是 A加速度之比约为 b a B周期之比约为 b3 a C速度之比约为 b a D从近地轨道进入到地月转移轨道,卫星必须减速 【答案】 B 【解析】 【详解】 A根据可知，选项 A 错误；a = GM r2 a地 a月 = M地R2月 M月R2地 = a b2 B由可得，选项 B 正确；T = 2 r3 GM T地 T月 = R3地M月 R3月M地 = b3 a C根据可得，选项 C 错误；v = GM r v地 v月 = M地R月 M月R地 = a b D从近地轨道进入到地月转移轨道，卫星必须要多次加速变轨，选项 D 错误。 3发射地球同步卫星要经过三个阶段：先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后使其沿椭圆轨道 2 运行，最后 将卫星送入同步圆轨道轨道 1、2 相切于Q点，轨道 2、3 相切于P点，如图所示当卫星分别在 1、2、3 轨 道上正常运行时，以下说法正确的是 A卫星在轨道 1、2 上经过Q点时的加速度相等 B卫星在轨道 2 上经运行的周期大于在轨道 3 上运行的周期 C卫星在轨道 3 上运行的速度大于它在轨道 2 经过Q点时的速度 D卫星在轨道 2 上运行时机械能增大 【答案】 A 【解析】 【详解】 A、根据万有引力提供向心力知卫星在轨道 1 上经过Q点时的加速度等于它在轨道 2 上经过Q点时 GMm r2 = ma 的加速度，故 A 对； B、根据开普勒第三定律可知半长轴越大，则周期就越大，由于，所以卫星在轨道 2 R33 T32 = ( R1+ R3 2 ）3 T22 R1+ R3 2 TB，则TC=TATB，选项 C 错误 ； 赤道上的物体 C 与同步卫星 A 转动角速度相同，由于赤道上的物 r3 GM 体 C 的轨道半径小于同步卫星 A 的轨道半径，根据v=r，得知vCvA；对于 A、B 两卫星，根据卫星的线 速度公式，由于近地卫星 B 的轨道半径小于同步卫星 A 的轨道半径，故近地卫星 B 的线速度大于同v = GM r 步卫星 A 的线速度，即vBvA；所以vBvAvC，故动能关系为：EkBEkAEkC，D 错误； 7北斗二代计划在 2020 年前发射 35 颗卫星，形成全球性的定位导航系统，比 GPS 还多 5 颗。多出的这 5 颗是相对地球静止的高轨道卫星，主要是完成通讯任务的，其它 30 颗跟美国 GPS 的 30 颗一样，都是中轨 道的运动卫星。以下说法正确的是（ ） A5 颗高轨道卫星定点在赤道正上方，且离地高度是确定的 B5 颗高轨道卫星的速度比 30 颗中轨道卫星的速度要大 C5 颗高轨道卫星的加速度比 30 颗中轨道卫星的加速度要大 D5 颗高轨道卫星的角速度比 30 颗中轨道卫星的角速度要大 【答案】 A 【解析】 【详解】 相对地球静止的高轨道卫星应该处于同步卫星轨道，而同步轨道卫星轨道只能在赤道上空，且根据 GMm r2 = m 知离地高度也是确定的，故 A 对；根据常识可知中轨道卫星的轨道高度低于高轨道卫星的高度，根( 2 T ) 2 r 据可知轨道高度越高， 周期增大， 加速度减小， 速度减小， 角速度也减小， GMm r2 = m v2 r = m( 2 T ) 2 r = ma = m2r 故 BCD 错误 故选 A 8某颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星（即卫星相对于地面静止） 。则此卫星的 A线速度大于第一宇宙速度 B周期小于同步卫星的周期 C角速度大于月球绕地球运行的角速度 D向心加速度大于地面的重力加速度 【答案】 C 【解析】 【详解】 A第一宇宙速度是所有绕地球运行的卫星的最大速度，则此卫星的线速度小于第一宇宙速度，选项 A 错误 ； B卫星属于地球静止轨道卫星，即为地球的同步卫星，选项 B 错误； C根据可知，因此卫星做圆周运动的半径远小于月球绕地球做圆周运动的半径，可知角速度大于 = GM r3 月球绕地球运行的角速度，选项 C 正确； D根据可知，向心加速度小于地面的重力加速度，选项 D 错误。a = GM r2 92018 年 1 月 12 日，我国以“一箭双星”方式成功发射第 26、第 27 颗北斗导航卫星，拉开 2018 年将发 射 16 颗北斗卫星的序幕。北斗导航卫星的轨道有三种：地球静止轨道（高度 35809 km） 、倾斜地球同步轨 道（高度 35809 km） 、中圆地球轨道（高度 21607 km） ，如图所示。下列说法正确的是 A倾斜同步轨道卫星始终位于地球表面某点的正上方 B倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方 C中圆地球轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长 D中圆地球轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大 【答案】 B 【解析】 【详解】 倾斜同步轨道卫星的周期是 24h，地球的自转周期为 24h，由于转动的平面与地球赤道不在同一平面内，则 不能始终位于地球表面某点的正上方， 但倾斜同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方， 故 A 错误，B 正确；地球静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期为 24h，根据：R3/T2C，可知中圆地球轨道 卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期小。故 C 错误；由于不知道两种卫星的质量，所以不能比较它们受 到的万有引力的大小关系。故 D 错误；故选 B。 102017 年人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。假设双中子星由a、b两颗星体组成,这两 颗星绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动。 这两颗星之间的距离为L，a星绕它们连线上的某点每秒转动n 圈，a、b两颗星的轨道半径之差为 r，(a星的轨道半径大于b星的轨道半径)，万有引力常量为G。则 Aa、b两颗星的质量之和为 42n2L3 G Ba、b两颗星的质量之比为 L + r L - r Cb星的角速度为 2n(L + r) L - r Da、b两颗星的半径之比为 L L - r 【答案】 A 【解析】 【详解】 设 ab 两颗星的质量分别为 m1、 m2， 轨道半径分别为 r1、 r2， 相距 L， 则 r1+r2=L， r1-r2=r， 解得，r1= 1 2(L + r) ，则，选项 D 错误；两星围绕它们连线上的某点旋转的角速度相同，a 星绕它们r1= 1 2(L - r) r1 r2 = L + r L - r 连线上的某点每秒转动 n 圈，角速度为 a=2n，则b星的角速度也为 2n，选项 C 错误；根据万有引力 提供向心力可知 ：=m1r12=m2r22， 整理可得 ：， 解得质量之和 （m1+m2） Gm1m2 L2 G(m1+ m2) L2 (r1+ r2) 42 T2 = 42n2L =，选项 A 正确； a、b 两颗星的质量之比为，选项 B 错误；故选 A. 42n2L3 G m1 m2 = r2 r1 = L - r L + r 二、多选题 11 如图所示， 质量相同的三颗卫星 a、 b、 c 绕地球逆时针做匀速圆周运动。 其中 a 为遥感卫星 “珞珈一号” ， 在半径为 R 的圆轨道运行，经过时间 t，转过的角度为；b、c 为地球的同步卫星，某时刻 a、b 恰好相距 最近。己知地球自转的角速度为，万有引力常量为 G，则 A地球质量为M = 2R3 Gt2 B卫星 a 的机械能小于卫星 b 的机械能 C若要卫星 c 与 b 实现对接，可让卫星 C 加速 D卫星 a 和 b 下次相距最近还需时间为 2t - t 【答案】 ABD 【解析】 【详解】 A、卫星 a 绕地球做匀速圆周运动，则有，解得地球质量为，故选项 A 正确； GMm R2 = m( t) 2 RM = 2R3 Gt2 B、卫星从低轨道到高轨道需要克服引力做较多的功，卫星 a、b 质量相同，所以卫星 a 的机械能小于卫星 b 的机械能，故选项 B 正确； C、让卫星 c 加速，所需的向心力增大，由于万有引力小于所需的向心力，卫星 c 会做离心运动，离开原轨 道，所以不能与 b 实现对接，故选项 C 错误； D、由于 b、c 在地球的同步轨道上，所以卫星 b、c 和地球具有相同的周期和角速度，此时 a、b 恰好相距 最近，设卫星 a 和 b 下次相距最近还需时间为，则有：，解得，故选项 Dt' tt ' - t'= 2t'= 2t - t 正确； 说法正确的是选选项 ABD。 122019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面的预选着陆区。如图所示，甲、乙 为着陆前变轨过程中的两个轨道，其中甲轨道的半长轴与乙轨道的圆周运动半径相同，关于“嫦娥四号” 以下说法正确的是（ ） A在两轨道交点P处时的加速度相同 B在两轨道上的运行周期相等 C在甲轨道近月点的速度不可能大于月球的第一宇宙速度 D在乙轨道的速度大于月球的第一宇宙速度 【答案】 AB 【解析】 【详解】 A根据牛顿第二定律得，得知在两轨道交点P处时的加速度相同，故 A 正确；G mM r2 = maa = GM r2 B甲轨道的半长轴与乙轨道的圆周运动半径相同，根据开普勒第三定律 =k，知“嫦娥四号”在两轨道上 a3 T2 的运行周期相等，故 B 正确； C“嫦娥四号”在近月点要做离心运动才能甲轨道，所以在甲轨道近月点的速度大于第一宇宙速度，故 C 错误； D由卫星的线速度公式v=知卫星的轨道半径越大，速度越小，所以在乙轨道的速度小于近月卫星的速 GM r 度，即小于月球的第一宇宙速度，故 D 错误。 13如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和 2M的行星做匀速圆周运动下列说法 正确的是 A甲的向心加速度比乙的小B甲的运行周期比乙的小 C甲的角速度比乙的大D甲的线速度比乙的小 【答案】 AD 【解析】 【详解】 卫星由万有引力提供向心力有：，则得：，G mM r2mr 2m4 2 T2 r = m v2 r = maa = GM r2 T = 2r r GM = GM r3 ，可见中心天体的质量 M 越小，a、v 越小，T 越大，所以得：甲的向心加速度、角速度、线速v = GM r 度都比乙小，而甲的周期比乙大，故 AD 正确，BC 错误。故选 AD。 14我国的嫦娥四号在 2019 年 1 月 3 日着陆在了月球背面，这是人类历史上的首次着陆为全世界的月球探 索开拓了新方向。 为了保持地面和嫦娥四号的通信， 我国于 2018 年 5 月 21 日， 将一颗地月中继卫星 “鹊桥” 发射到地月轨道的拉格朗日点L2上，我们可以简单理解为处在L2点的物体在地球和月球的引力共同作用下 绕地球做匀速圆周运动并始终与地月共线，已知地球的质量M、地球球心到L2点距离为r、引力常量为G、 月球公转周期T，以下说法正确的是（ ） A中继卫星“鹊桥”的运行线速度大于月球绕地球公转的线速度 B中继卫星“鹊桥”的运行线速度小于月球绕地球公转的线速度 C中继卫星“鹊桥”的加速度为a = GM r2 D中继卫星“鹊桥”的加速度为a = 42 T2 r 【答案】 AD 【解析】 【详解】 AB中继卫星“鹊桥”与月球、地球始终在同一直线上，说明角速度相同，由于中继卫星“鹊桥”的轨道 半径比月球绕地球的轨道半径大，由公式知，中继卫星“鹊桥”的线速度大于月球的线速度，故 Av = r 正确，B 错误； CD中继卫星“鹊桥”的角速度为，所以中继卫星“鹊桥”的加速度为，由于中继 = 2 T a = 2r = 42 T2 r 卫星“鹊桥”在地球和月球的共同引力下运动，所以中继卫星“鹊桥”的加速度一定不等于，故 C 错a = GM r2 误，D 正确。 15如图所示，曲线 I 是一颗绕地球做圆周运动的卫星轨道的示意图，其半径为 R； 曲线是一颗绕地球做 椭圆运动的卫星轨道的示意图，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知 在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为 G，地球质量为 M，下列说法正确的是（） A椭圆轨道的长轴长度为 2R B卫星在 I 轨道的速率为，卫星在轨道 B 点的速率为，则0B0B C卫星在 I 轨道的加速度大小为，卫星在轨道 A 点加速度大小为，则B 2GM 3R 【答案】 ABC 【解析】 【详解】 A.有开普勒第三定律可得 ：，因为周期相等，所以半长轴相等，圆轨道可以看成长半轴、短半轴都为 T2 a3 = k 椭圆，故，即椭圆轨道的长轴的长度为。故 A 正确。Ra = R2R B.根据万有引力提供向心力可得：，故，由此可知轨道半径越大，线速度越小；设卫星以G Mm r2 = m v2 r v = GM r 为半径做圆周运动的速度为，那么； 又卫星在 B 点做向心运动，所以有，综上有OBv'v' v0vB v'vB 。故 B 正确。v' v0 C.卫星运动过程中只受到万有引力的作用，故有 ：，所以加速度为，又有,所以G Mm r2 = maa = G M r2 OA Ra0 。故 C 正确。aA D.若，则，那么，所以。故 D 错误。OA = 0.5ROB = 1.5Rv'= 2GM 3R vB 2GM 3R 16一宇航员在地球表面和某未知星球的表面上分别做高度和初速度相同的平抛运动实验：在离地面 h 高 处让小球以的初速度水平抛出，他测出在地球上小球落地点与抛出点的水平距离为 2x，在未知星球上小v0 球落地点与抛出点的水平距离为 x，已知地球的半径为 R，未知星球的半径为 2R，万有引力常量为 G，则： A地球表面的重力加速度是未知星球表面重力加速度 4 倍 B未知星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的倍22 C未知星球的质量约为 8hR2v20 Gx2 D未知星球的密度约为 4hv20 GRx2 【答案】 BC 【解析】 【详解】 A、小球做地球上平抛运动，在水平方：，解得从抛出到落地时间为：，小球做平抛运动时2x = v0tt = 2x v0 在竖直方向上有：，解得地球上表面的重力加速度为：，同理可得未知星球表面重力加速度h = 1 2gt 2 g = hv20 2x2 为：，故 A 错误；g星= 2hv20 x2 = 4g B、根据可得，未知星的第一宇宙速度：，地球的第一宇宙 GMm R2 = mv2 R = mgv =gRv星= g星2R= 4hRv20 x2 速度：，未知星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的倍，故 B 正确；v = gR = hRv20 2x2 22 C、未知星的质量为 M，静止在未知星上的物体质量为 m，由万有引力等于物体的重力得：，所mg星= GMm (2R)2 以可得未知星球的质量约为：，故 C 正确；M星= 2h(2R)2v20 Gx2 = 8hR2v20 Gx2 D、根据可得未知星球的密度：，故 D 错误； = M 4 3R 3 = 8hR2v20 Gx2 4 3(2R) 3 = 3hv20 4RGx2 故选 BC。 172018 年 5 月 21 日成功发射“嫦娥四号”中继星“鹊桥号” 。该中继星工作在距月球约 6.5 万公里的地 月拉格朗日 L2点使命轨道，为落在月球背面的嫦娥四号月球探测器提供地月中继测控和数据传输服务， “鹊桥号”与月球、地球始终在一条直线上。2018 年 12 月 8 日“嫦娥四号”探测器由长征三号运载火箭在 中国西昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，返回地球已知地球的半径约为月球半径 4 倍； 地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的 6 倍。根据以上信息，判断以下说法正确的是( ) A“鹊桥号”运动的线速度大于月球绕地球运动的线速度 B“鹊桥号”运动的线速度小于月球绕地球运动的线速度 C地球和月球的密度之比约为 倍 3 2 D地球和月球的密度之比约为 6 倍 【答案】 AC 【解析】 【分析】 根据“鹊桥号”与月球角速度相等，由线速度和角速度关系 v=r 即可判断；根据星球表面万有引力等于 重力，分别求出地球、月球密度表达式，即可求解。 【详解】 AB.由于“鹊桥号”与月球、地球始终在一条直线上，“鹊桥号”与月球角速度相等，根据 v=r，“鹊桥号” 运动的线速度大于月球绕地球运动的线速度，故 A 正确，B 错误； CD.设地球密度为 地，地球半径为 R地，地球重力加速度为 g地，月球的密度为 月，重力加速度为 g月， 半径为 R月。 根据地球表面万有引力等于重力， 则； 同理，mg地= GM地m R2地 M地= 4 3地R 3 地 地= 3g地 4GR地 月 ，则 地：月=3:2，故 C 正确，D 错误。= 3g月 4GR月 g地R月 g月R地 故选：AC 18小行星绕某恒星运动，该恒星均匀地向四周辐射能量和带电粒子，恒星质量缓慢减小，可认为小行星 在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的 A轨道半径变小 B周期变大 C线速度变小 D加速度变大 【答案】 BC 【解析】 【分析】 恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大， 又小行星绕恒星运动做圆周运动，万有引力提供向心力，可分析线速度、周期、加速度等 【详解】 A、恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星做离心运动，即半径增大， 故 A 错误； B、由得：，M 减小，r 增大，所以周期变大，故 B 正确； GMm r2 = m 42 T2 rT = 42r3 GM C、小行星绕恒星运动做圆周运动，万有引力提供向心力，设小行星的质量为 m，恒星的质量为 M，则 GMm r2 = ，,即，M 减小，r 增大，故 v 减小，故 C 正确； mv2 r v = GM r D、由得：，M 减小，r 增大，所以 a 减小，故 D 错误； GMm r2 = maa = GM r2 故选 BC。 【点睛】 记住作圆周运动万有引力等于向心力；离心运动，万有引力小于向心力；向心运动，万有引力大于向心力； 19我国在 2018 年 12 月 8 日发射的“嫦娥四号” ，可以更深层次、更加全面的探测月球地貌、资源等方面 的信息。已知月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g，引力常量为 G，“嫦娥四号”绕月球做圆周运 动时，离月球中心的距离为 r，根据以上信息可知下列结果正确的是（） A“嫦娥四号”绕月球运行的周期为2 r3 gR2 B“嫦娥四号”绕月球运行的速度大小为 gR2 r C月球的平均密度为 3g 4GR D“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为 r2 R2g 【答案】 ABC 【解析】 【分析】 根据根据万有引力等于向心力分析各个选择。G Mm r2 = m( 2 T ) 2 r = m v2 r = ma 【详解】 根据万有引力等于向心力可得：且，联立解得，选项 A 正确；根据万G Mm r2 = m( 2 T ) 2 rG Mm' R2 = m'gT = 2 r3 gR2 有引力等于向心力可得 ：， 解得， 选项 B 正确 ； 月球的平均密度为G Mm r2 = m v2 r v = GM r = gR2 r = M V = gR2 G 4 3R 3 = ，选项 C 正确；根据，可知“嫦娥四号”所在轨道处的重力加速度为，选项 D 错 3g 4GR G Mm r2 = mg'g'= GM r2 = gR2 r2 误；故选 ABC. 20 2018 年 12 月 8 日我国成功发射了嫦娥四号探测器， 它实现了人类首次月球背面着陆探测.12 日 16 时 39 分， 探测器在距月面 129km 处成功实施发动机点火， 约 5 分钟后， 探测器顺利进入距月面 100km 的圆形轨道， 运行一段时间后择机着陆月球表面，下列说法正确的有 ( ) A探测器发射速度大于 7.9km/s B探测器在距月面 129km 处发动机点火加速 C从点火到进入圆轨道，探测器位移是 29km D若已知引力常量、圆形轨道半径及探测器在其上运行周期，可估算月球质量 【答案】 AD 【解析】 【分析】 第一宇宙速度是最小的发生速度；探测器要进入低轨道，必须要制动减速；根据判断选项 D. GMm r2 = m 42 T2 r 【详解】 第一宇宙速度是最小的发生速度，即探测器发射速度必须要大于 7.9km/s，选项 A 正确；探测器要进入低轨 道，必须要制动减速，选项 B 错误 ； 从点火到进入圆轨道，轨道的高度降低 29m，而探测器位移要大于 29km， 选项 C 错误；根据可知，若已知引力常量 G、圆形轨道半径 r 及探测器在其上运行周期 T，可估 GMm r2 = m 42 T2 r 算月球质量 M，选项 D 正确；故选 AD. 三、解答题 21经过逾 6 个月的飞行，质量为 40kg 的洞察号火星探测器终于在北京时间 2018 年 11 月 27 日 03：56 在 火星安全着陆。着陆器到达距火星表面高度 800m 时速度为 60m/s，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始 做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面 100m 时速度减为 10m/s。该过程探测器沿竖直方向运动，不 计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一， 地球表面的重力加速度为 g = 10m/s2。求： (1)火星表面重力加速度的大小； (2)火箭助推器对洞察号作用力的大小. 【答案】(1) (2)F=260Ng火= 4m/s2 【解析】 【分析】 火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的 加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力. 【详解】 （1）设火星表面的重力加速度为 g火，则G M火m r2火 = mg火 GM 地m r 2 地 = mg 解得 g火=0.4g=4m/s2 （2）着陆下降的高度：h=h1-h2=700m，设该过程的加速度为 a，则 v22-v12=2ah 由牛顿第二定律：mg火-F=ma 解得 F=260N 22在某次登月任务中,飞船上备有以下实验仪器:A计时表一只、B弹簧测力计一把、C已知质量为m 的钩码一个、D天平一只(附砝码一盒)。飞船在接近月球表面时,先绕月球做匀速圆周运动,宇航员测量出 绕行N圈所用的时间为 ,飞船的登月舱在月球上着陆后,宇航员利用弹簧测力计测出质量为m的钩码的重力t 为F,已知万有引力常量为G,把月球看做球体。请你利用上述两次测量所得的物理量推导出月球的密度和半 径的表达式。(用题中所给的物理量表示) 【答案】月球的平均密度=月球的半径R= 3M 4R3 Ft2 42N2m 【解析】 【详解】 对飞船靠近月球表面做圆周运动有: =m0R, GMm0 R2 42 T2 月球的平均密度=, 3M 4R3 在月球上忽略月球的自转时F=G, Mm R2 又T=, t N 由以上各式可得,月球的密度=, 3N2 Gt2 月球的半径R=. Ft2 42N2m 23我国首次执行载人航天飞行的“神舟”六号飞船于 2005 年 10 月 12 日在中国酒泉卫星发射中心发射升 空，由“长征2F”运载火箭将飞船送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上.近地点 A 距地面高度为 h1. 实施变轨后，进入预定圆轨道，如图所示.在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，之后返回.已知引力常量 为 G，地球表面重力加速度为 g，地球半径为 R，求： （1）预定圆轨道距地面的高度为多大？ （2）飞船在近地点 A 的加速度为多大？ 【答案】 （1）（2） 3 gR2t2 42n2 - R gR2 (h1+ R)2 【解析】 【详解】 （1）由题设飞船做匀速圆周运动，在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，因周期为转一圈的时间，所以 飞船在预定圆轨道上运动的周期为T = t n 设预定圆轨道距地面的高度为 h，飞船在预定圆轨道上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿 第二定律及万有引力定律得： GMm (R + h)2 = m 42 T2 (R + h) 当飞船在地球表面时有mg = GMm R2 以上各式联立解得：预定圆轨道距地面的高度为h = 3 gR2t2 42n2 - R （2）根据万有引力定律得：飞船在近地点 A 所受的万有引力为F = GMm (R + h1)2 又 GM = gR2 根据牛顿第二定律得：F = ma 以上各式联立解得：飞船在近地点 A 的加速度为a = gR2 (R + h1)2 【点睛】 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和地面附近万有引力等于重力这两大理论，并能熟练运用 24假设地球可视为质量均匀分布的球体，且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。已知地球的半 径为R，地球表面的重力加速度为g 。 （1）求距离地球表面高为R处运行的人造卫星的线速度v的大小； （2）有人设想，过地心打一个洞，并沿洞的方向建立一个x轴，原点在地心，x轴正方向水平向右，如图 所示。现在将一个质量为m的小球（视为质点）从洞的右侧洞口处释放，求小球的最大速度大小。 【答案】 （1）（2）v = gR 2 gR 【解析】 【详解】 （1）卫星做圆周运动的向心力等于万有引力，则；又，G mM (2R)2m v2 2R G m'M R2 m'g 解得.v = gR 2 （2）小球从地球表面开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对球始终做正功，则到达地心处的速度 最大：在地球的表面处引力为 mg；在地心处引力为零，则引力的平均值为，F = mg 2 根据动能定理F R = 1 2mv 2 m 解得vm=gR 25万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。用弹簧秤称量一个相对于 地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万 有引力常量为 G。将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量 时，弹簧秤的读数是 F0。 (1)若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 的表达式，并就 h1.0%R 的情形算出具体 F1 F0 数值(计算结果保留两位有效数字)； (2)若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值 的表达式。 F2 F0 【答案】(1)0.98；(2) F2 F0 = 1 - 42R3 T2GM 【解析】 【分析】 根据万有引力等于重力得出比值 的表达式，并求出具体的数值在赤道，由于万有引力的一个分力等于重 F1 F0 力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值 的表达式 F2 F0 【详解】 （1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是，F0= GMm R2 F1= GMm (R + h)2 由公式可以得出： F1 F0 = R2 (R + h)2 = 0.98 （2）由于，和可得：F2= GMm R2 - m2R = GMm R2 - m 42 T2 R F2 F0 = 1 - 42R3 GMT2 【点睛】 解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个 分力提供随地球自转所需的向心力 26据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间。照片中，“天宫一号”的太阳帆板 轮廓清晰可见。如图所示，假设“天宫一号”正以速度v =7.7km/s 绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太 阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L =20m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量 B=1.0×105 T，将太阳帆板视为导体。 （1）求M、N间感应电动势的大小E； （2）在太阳帆板上将一只“1.5V、0.3W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电 阻试判断小灯泡能否发光，并说明理由； （3）取地球半径R=6.4×103 km，地球表面的重力加速度g = 9.8 m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面 的高度h（计算结果保留一位有效数字） 。 【答案】 （1）1.54V（2）不能（3）4 × 105m 【解析】 试题分析：（1）法拉第电磁感应定律 E=BLv，代入数据得 E=“1.54“ V （2）不能，因为穿过闭合回路的磁通量不变，不产生感应电流 （3）在地球表面有G Mm R2 = mg 匀速圆周运动G Mm (R + h)2 = m v2 R + h 解得，代入数据得 h4×105m（数量级正确都算对）h = gR2 v2 - R 【学科网考点定位】电磁感应、万有引力 【方法技巧】本题旨在考查对电磁感应现象的理解，第一问很简单，问题在第二问，学生在第一问的基础 上很容易答不能发光，殊不知闭合电路的磁通量不变，没有感应电流产生。本题难度不大，但第二问很容 易出错，要求考生心细，考虑问题全面。 27开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该 定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道上绕月球 运行