专题1.4极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题-玩转压轴题(原卷版)(2).pdf

1 含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 12 ,x x的基础上， 又多了一个参数，故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的 函数 . 例 1. 已知函数 x aexxf)(有两个不同的零点 12 ,x x，求证：2 21 xx. 不妨设 12 xx，记 12 txx，则0,1 t te， 因此只要证明： 1 2 1 t t e t e 0 1 ) 1(2 t t e e t， 再次换元令xtxet ln,1，即证),1 (,0 1 )1(2 lnx x x x 构造新 函数 2(1) ( )ln 1 x F xx x ，0) 1(F 求导 2 ' 22 14(1) ( )0 (1)(1) x Fx xxx x ，得)(xF在), 1(上递增， 所以0)(xF，因此原不等式 12 2xx获证 . 2 例 2. 已知函数( )lnf xxax，a为常数，若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 2 12 .xxe 法二：利用参数a作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设 12 xx， 1122 ln0,ln0xaxxax， 12121212 lnln(),lnln()xxa xxxxa xx， 12 12 lnlnxx a xx ，欲证明 2 12 x xe，即证 12 lnln2xx. 1212 lnln()xxa xx，即证 12 2 a xx ， 原 命 题 等 价 于 证 明 12 1212 lnln2xx xxxx ， 即 证 ： 112 212 2 () ln xxx xxx ， 令 1 2 , (1) x tt x ， 构 造 2 (1) l n, 1 )1( t tg tt t ，此问题等价转化成为例1 中思路 2 的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 1222 1211 lnlnln , ln xxxx a xxxx 设 2 12 1 ,(1) x xxtt x ， 则 11 21 11 lnlnln , lnln txtx xtxtt xx ， 反解出： 1211 lnlnln ln,lnlnlnlnln 111 tttt xxtxtxt ttt ，学 *科网 故 2 1212 1 lnln2ln2 1 t x xexxt t ，转化成法二，下同，略. 例 3. 已知 21,x x是函数axexf x )(的两个零点，且 21 xx. 3 （1）求证：2 21 xx； （2）求证：1 21 xx. (2) 要证：1 21x x，即证：1 2 21 a ee xx ，等价于 2 12 )( 12 21 xx ee ee xx xx ， 也即 2 12 2 )( 1 )( 12 21 xxee ee xx xx ，等价于 2 12 2 )( 1 )1( 12 12 xxe e xx xx ，令0 12 xxt 等价于)0( 1 ) 1( 22 t te e t t ，也等价于)0( 1 1 2 t te e t t ，等价于即证：01 2 t t eet 令)0( 1)( 2 teetth t t ，则) 2 1( 2 1 )( 2222 tt t tt e t eeeteth， 又令)0( 2 1)( 2 te t t t ，得0 22 1 )( 2 t e t t，)(t在),0(单调递减， 0)0()(t，从而0)(th，)(th在),0(单调递减，0)0()(hth，即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度，消掉参数a，得到一个关于 21,x x的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等 式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.