小学数学奥数解题技巧(55)对称变换.pdf

小学数学奥数解题技巧 1 55、对称变换 【将军饮马】 据说古代希腊有一位将军向当时的大学者海伦请教 一个问题：从 A地出发到河边饮马，再到B地（如图 4.32 所示）， 走什么样的路最近？如何确定饮马的地点？ 海伦的方法是这样的：如图4.33，设 L 为河，作 AO L 交 L 于 O 点，延长 AO至 A，使 AO=AO 。连结 AB，交 L 于 C，则 C点就是 所要求的饮马地点。再连结AC ，则路程（ AC+CB ）为最短的路程。 为什么呢？因为 A是 A点关于 L 的对称点， AC与 AC是相等 的。而 AB是一条线段，所以AB是连结 A、B这两点间的所有 线中，最短的一条，所以AC+CB=AC+CB=A B也是最短的一条路了。 这就是海伦运用对称变换， 找到的一种最巧妙的解题方法。运用这种 办法，可以巧妙地解决许多几何问题。 【划线均分】 通过中心对称图形的对称中心，任意画一条直线， 都可以把原图形均分成两个大小、形状完全相同的图形。 利用这一性 质，可以使某些较复杂的问题迅速地解答出来。例如 小学数学奥数解题技巧 2 （1）把图形（图 4.34）的面积，用一条直线分成相等的两个部 分。 解题时，只要把这个图形看成是由两个矩形（长方形）组成的组 合图形，而矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以只要找 出两个对称中心（对角线交点），利用中心对称图形的上述性质，通 过两个对称中心作一条直线，就能把它的面积分成相等的两个部分 了。如前页的三种分法都行（如图4.35 所示）。 （2）如图 4.36，长方形 ABCD 内有一个以 O点为圆心的圆，请 画一条直线，同时将长方形和圆分为面积相等的两个部分。 小学数学奥数解题技巧 3 大家知道，长方形和圆都既是轴对称图形，又是中心对称图形。 长方形的对称中心是对角线的交点，圆的对称中心是它的圆心。 根据中心对称图形的上述性质，先找出这两个对称中心O点和 P 点（如图 4.37），再过 O 、P作直线 L，此直线 L 即是所画的那根直 线。