第20届华杯赛小中组答案详解a卷.pdf
第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛 A 卷（小学中年级组） 总分：100 分时间： 60 分钟 一、选择题 （每小题 10 分，共 60 分 以下每题的四个选项中，仅有一个 是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1.森林里举行比赛，要派出狮子、老虎、豹子和大象中的两个动物去参加如果派狮 子去，那么也要派老虎去；如果不派豹子去，那么也不能派老虎去；要是豹子参加 的话，大象可不愿意去那么，最后能去参加比赛的是（） （A）狮子、老虎（B）老虎、豹子（C）狮子、豹子（D）老虎、大象 【答案】 B 【题型】逻辑推理、逆否命题 【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立 从题意出发： （1）狮子去则老虎去，逆否命题：老虎不去则狮子也不去 （2）不派豹子则不派老虎，逆否命题：派老虎则要派豹子 （3）派豹子则大象不愿意去，逆否命题：大象去则不能派豹子 从（ 2）出发可以看出答案为 B. 题目要求有两个动物去，可以使用假设法，若狮子去，则老虎去，老虎去则豹子也去三个动物 去，矛盾，所以狮子不去若豹子不去则老虎不去，那么只有大象去，矛盾，所以豹子去豹子去 则大象不去，由两种动物去得到结论，老虎要去所以答案是 B，豹子和老虎去 2.小明有多张面额为 1 元、2 元和 5 元的人民币 , 他想用其中不多于 10 张的人民币购 买一只价格为 18 元的风筝 , 要求至少用两种面额的人民币，那么不同的付款方式有 （ ）种. （A）3（B）9（C）11（D）8 【答案】 C 【题型】奇数：列表枚举 【解析】 5 元2 元1 元总张数 3 0 3 6 3 1 1 5 2 4 0 6 2 3 2 7 2 2 4 8 1 2 1 6 9 2 0 8 10 1 6 1 8 1 5 3 9 1 4 5 10 0 8 2 10 共 11 种 3. 如右图，在由 1 1 的正方形组成的网格中 , 写 有 2015 四个数字（阴影部分）其边线要么 是水平或竖直的直线段、要么是连接1 1 的 正方形相邻两边中点的线段，或者是1 1 的 正方形的对角线 . 则图中 2015 四个数字 （阴影部分）的面积是（） （A）47 （B） 47 1 （C）48 （D） 48 1 2 2 【答案】 B 【题型】几何：割补 【解析】 将小三角形移到空白处补成完整正方形再数正方形个数即可，共47.5 个 4.新生入校后，合唱队、田径队和舞蹈队共招收学员 100 人如果合唱队招收的人数 比田径队多一倍，舞蹈队比合唱队多 10 人，那么舞蹈队招收（）人（注：每人 限加入一个队） （A）30 （B）42 （C）46 （D）52 【答案】 C 【题型】几何：割补 【解析】设田径队员为a 人，则合唱队员2a人，舞蹈队员 (2 a +10)人，2a + a + 2 a + 10 = 100，则 a = 18，所以舞蹈队员182 + 10 = 46人 5.一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间 66 分那么，这只旧钟的 24 小时比标准时间的 24 小时（ ） （A）快 12 分（B）快 6 分（C）慢 6 分（D）慢 12 分 【答案】 D 【题型】时钟问题 【解析】时针速度为每分钟 0.5 度，分针速度为每分钟 6 度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑 360 度， 360720 时针分针重合一次 .经过 6-0.511 分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准时间 66 分钟；则 2 旧钟的 24 小时，相当于标准时间的 (24 60) 661452分钟，所以比标准时间 24 小时对应的 720 11 24 60 1440 分钟多了1452-1440=12 分钟，即慢了12 分钟 6.一次考试共有 6 道选择题，评分规则如下：每人先给 6 分，答对一题加 4 分，答错 一题减 1 分，不答得 0 分现有 51 名同学参加考试，那么 , 至少有（）人得分 相同 （A）3（B）4（C）5（D）6 【答案】 A 【题型】组合：抽屉原理 【解析】设答对 x 题，答错 y 题， xy 6 ； 当x 6时，得分30 分； 当x 5时， y0,1 ，对应得分26, 25 ； 当x 4时， y0,1, 2 ，对应得分22, 21, 20 ； 当x 3时， y0,1,2,3 ，对应得分18,17,16,15 ； 当x 2时， y0,1, 2,3,4 ，对应得分14,13,12,11,10 ； 当x 1时， y0,1,2,3,4,5 ，对应得分10,9,8, 7, 6,5 ； 当x 0时， y0,1,2,3,4,5,6 ，对应得分6,5, 4,3, 2,1, 0 ； 共计 25 种得分，51252 ? 1，则至少213人得分相同 二、填空题 (每小题 10 分, 共 40 分) 7.计算: (1000 15 314) (201 360 110) (1000 - 201 - 360 - 110) (15 314) _ 【答案】 1000000 【题型】计算：换元法 【解析】令a 15314, b 201360110 ；则 1000 15 314 201 360 110 1000 - 201 - 360 - 110 15 314 = 1000 ab1000 - ba 1000 aab 1000b - ab 1000 ab 1000 15 314 201 360 110 1000000 8. 角可以用它的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示,如右 图的 AOB 符号（ “ ” 表示角），也可以用 O 表示（顶点处 3 只有一个角时）下图的三角形 ABC 中， BAO CAO， CBO ABO， ACO BCO ， AOC 110，则 CBO _ 【答案】20 【题型】几何：角度 2 CAOACOCBO 180 ，解得 CBO 20【解析】由题意得， CAO ACO AOC 180 AOC 110 9.张叔叔和李叔叔两人年龄和是 56 岁，当张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时，李叔 叔当时的年龄是张叔叔现在的年龄那么张叔叔现在有_岁 【答案】 24 【题型】应用题：年龄问题 【解析】设张叔叔现在 x 岁，张叔叔减少 y 岁后是李叔叔年龄的一半，则李叔叔现在年龄为2 x - y 岁，张叔叔是李叔叔现在年龄的一半时李叔叔为2 x - y- y岁，则 56 y 8 x 2 x - y ，解得，即张叔叔现在 24 岁 x - y - y x 2 x 24 此题亦可运用线段图的解法，同学们可以自己思考！ 10. 妈妈决定假期带小花驾车去 10 个城市旅游，小花查完地图后惊奇地发现：这 10 个 城市的任意三个城市之间或者都开通了高速公路，或者只有两个城市间没有开通高 速路那么这 10 个城市间至少开通了_条高速公路（注：两个城市间最多 只有一条高速公路） 【答案】 40 【题型】组合：最值构造 【解析】 (1) 将 10 个城市设为A1, A2, ? , A10这 10 个点，两个城市间的高速路视为连接两个点的线 段，则任意三点间至少连接两条线段 (2)先将 10 个点两量相连，共C10 2 45 条线段（中年级不会组合公式的同学可以想想怎么 得出 45 条线段） (3)现在考虑最多能去掉多少条线段? 4 先任意去掉一条，不妨记为 A1 A2这一条，则线段 A1 Ai或 A2 A（j i 3, 4, ? ,10; j 3, 4, ? ,10） 均不能去掉，否则 A1, A2, Ai或 A1, A2, Aj三个点中只有一条线段即只能在 A3, A4, ? , A10这 8 个 点的连线中去掉一条，记为 A3 A4；同理可再去掉 A5 A6, A7 A8, A9 A10，故最多可去掉5 条线段 . (4)因此至少连接45 - 5=40 条线段，即至少开通了 40 条高速公路 5
