计数中涉及相邻与不相邻的问题——捆绑与插空.pdf

1 计数中涉及相邻与不相邻的问题捆绑与插空 例 1.A，B，C，D，E，F一共 6 个小朋友排成一排，其中A，B两个必 须相邻，求一共有多少种排列方法？若A，B两个人不能相邻，求一共有多 少种排法？ 答疑编号 5721070101 【答案】 240；480 【解答】将 A、B看成一个整体 M ，那么 M与 C、D、E、F 排成一排 共有种方法，而 M中 A与 B的顺序又有两种确定方法，因此A、B 相邻的排列方法一共有120×2=240种； 方法 1：不考虑 A，B是否相邻的问题， 所有的排列方法数为 种， 减去 A， B相邻的方法数 240， 得到 A， B不相邻的排列方法数为 种. 方法 2：对于 A、B不相邻的问题，可以用乘法原理按如下步骤完成排 列： 第一步：将 C、D、E、F排成一排，共有种方法； 第二步：在 C、D、E、F形成的 5 个间隔中，选出两个空位由A、B站 入，有种方法。 因此一共有 24×20=480种排列方法。 方法总结： （1）捆绑法：如果在排列的题目中要求某些人必须相邻（例如 A，B）， 那么可以先将他们（ A，B）捆绑在一起和其他人进行排列，然后再将捆绑 2 在一起的这些人进行排列； （2）插空法：如果在排列的题目中要求某些人不能相邻（例如 A，B）， 那么可以先将其他人进行排列，再将他们插入到其他人形成的空位中进行 排列。 例 2.3 个男生， 3 个女生排成一排， （1）要求男生不能相邻，求一共有多少种排法？ （2）要求男生不能相邻，女生也不能相邻，求一共有多少种排法？ （3）要求 3 个男生相邻，有多少种排法？ 答疑编号 5721070102 【答案】 144；72；144. 【解答】（ 1）先将女生排列好，一共有种方法. 女生排列好后一 共有 4 个空隙可以排入男生，将 3 个男生排入 4 个空隙中一共有种方 法. 所以 3 个男生 3 个女生排成一排，男生不能相邻的排列方法一共有 种. （2）3 个男生不能相邻， 3 个女生也不能相邻，那么排列的方式只有 两种：“男女男女男女”和“女男女男女男”. 每一种方式都有种排列方 法，所以 3 个男生， 3 个女生排成一排一共有种方法 . （3）将 3 个男生捆绑在一起，有种捆绑方法。再将1 个捆绑 好的男生团与 3 个女生一起排列，有种排列方法，一共有种. 3 例 3. 用 0，1，2，3，4 五个数字一共可以排列出多少个没有重复数字 的 5 位数？若 0，1 不能相邻，求一共有多少种排法？ 答疑编号 5721070103 【答案】 96；54. 【解答】（1）用 0，1，2，3，4 五个数字一共可以排列出 个不同的 5 位数. （2）先将 2，3，4 排列好一共有种方法，总共分隔出了4 个空 隙；第二步，将 0 插入到空隙中，由于0 不能做为自然数的首位，所以一 共有 3 种方法；第三步，将1 插入到空隙中，由于不能和0 相邻，所以一 共也是 3 种方法 . 利用乘法原理，排列方法数一共为种. 例 4. 某条公路的一侧有2012 只路灯. 为节约能源，要关掉其中的200 只，但为了照明需要，不能关掉相邻的两只，也不能关掉两端的路灯，那 么有多少种关灯的方法？（用排列数或组合数表示） 答疑编号 5721070104 【答案】 【解答】用插空法，将题目转化为剩下1812只亮的路灯中间插入200 只不亮的路灯（不含两端的空位）. 4 例 5. 用 1，2，3，4，5，6，7，8 组成没有重复数字的八位数，要求1 与 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有 多少个？ 答疑编号 5721070105 【答案】 576 【解答】 例 6. 进行 8 次射击，已知命中3 次，则其中恰有 2 次连续命中的情形 共有多少种？ 答疑编号 5721070106 【答案】 30 【解答】 例 7. 园丁把三棵枫树、四棵橡树和五棵白桦树种成一行，有多少种种 法？如果要求任何两棵白桦树都不能相邻，那么有多少种种法？ 答疑编号 5721070107