直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析.pdf

1 1 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三 种 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a? a =A a| 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 （1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面 平行，记作L | 。 （2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行. 符号表示：,/ / /ababa、. 2.2.2平面与平面平行的判定 1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面 、平面 ，若a ?，则a 2、判定定理： 判定 文字描述 如果两个平面无公共点， 责成这两个平面平行 一个平面内有两条相交 直线与另一个平面平行， 如果两个平面同时垂直于一条 直线，那么这两个平面垂直。 2 2 2.2.3 直线与平面平行的性质 1性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行. 符号表示：若/ /,/ /aabab则. 2.2.4 平面与平面平行的性质 性质 文字描述 如果两个平行平面 同时和第三平面相 交，那么他们的交线 平行 如果两个平行平面中有 一个垂直于一条直线，那 么另一个平面也垂直于 这条直线 如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的直线平行 于另一个平面 图形 那么这两个平面平行 图形 条件= ,b? ， bP ，b ? l l ? 结论 / / / / 3 3 条件 b a l a? 结论abla 1.解题方法 （1）证明直线与平面平行的常用方法： 2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明； 3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件； 4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行； 2、证明平面与平面平行的常用方法： （1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用两个平面垂直于同一直线； （4）证明两个平面同时平行于第三个平面； 基础习题 1.设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A.若 l,l ，则B.若 l，l ，则 C.若 ,l, 则 lD.若 , l, 则 l 1.【解析】 B 2.下列命题正确的是（） A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 4 4 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 2.【解析】 C 【例 3】 （ 2011 江西）已知 1 ， 2 ， 3是三个相互平行的平面平面1 ， 2之间的距离为1 d，平面 2 ， 3之 间的距离为 2 d直线l与 1，2，3分别相交于1 P， 2 P， 3 P，那么“ 12 PP= 23 P P”是“ 12 dd”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C充分必要条件D 既不充分也不必要条件 【解析】 C 【例 4】 （2011 辽宁）如图，四棱锥S ABCD 的底面为正方形，SD底面 ABCD ，则下列结论中不正确 的是 AACSB B AB平面 SCD CSA 与平面 SBD 所成的角等于SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 【解析】 D 【例 5】 （2012 全国）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm 则“”是“ab”的（） A充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 即不充分也不必要条件 【解析】 A 【例 6】 （2012 河南） 1 l ， 2 l ， 3 l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（） A 12 l l ， 23 ll 13 /llB 12 l l ， 23 /ll 13 ll C 233/lll1 l ， 2 l ， 3l 共面 D 1 l ， 2 l ， 3l 共点1 l ， 2 l ， 3l 共面 5 5 【解析】 B 【例 7】 （ 2012江苏）如图，在直三棱柱 111 ABCA B C中， 1111 ABAC，DE，分别是棱 1 BCCC，上的点（点 D 不 同于点 C） ，且ADDEF，为 11 B C的中点 求证： （1）平面 ADE 平面 11 BCC B； 1 A 1 C （2）直线 1 /A F平面 ADE 1 B 【解析】（1）三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱， CC1平面ABC， AD ? 平面 ABC ， AD CC1 又AD DE， DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 AD平面 BCC1B1 ， AD ? 平面 ADE 平面 ADE平面BCC1B1 ； （2）A1B1C1中， A1B1=A1C1，F 为 B1C1 的中点 A1F B1C1 ， CC1平面A1B1C1 ，A1F ? 平面 A1B1C1 ， A1F CC1 又B1C1 、 CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 A1F 平面BCC1B1 又AD平面BCC1B1 ， A1F AD A1F ?平面 ADE ，AD ? 平面 ADE， 直线 A1F 平面 ADE 【例 8】 （2012 浙江）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面是边长为23的菱形，且 BAD 120 °，且PA平面 F D C A B E 6 6 ABCD ，PA26，M ，N 分别为 PB，PD 的中点 ()证明： MN 平面 ABCD ； () 过点 A 作 AQ PC，垂足为点Q，求二面角A MN Q 的平面角的余弦值 【解析】（）如图连接BD M ，N 分别为 PB， PD 的中点， 在PBD 中， MN BD 又 MN平面 ABCD ， MN 平面 ABCD ； () 10 5 【例 9】 （ 2012北京）如图1，在Rt ABC中，90C，,D E分别为 ,AC AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到 1 A DE的位置，使 1 AFCD，如图 2。 （）求证：/DE平面 1 ACB； （）求证： 1 A FBE； （）线段 1 A B上是否存在点Q，使 1 AC平面DEQ？说明理由。 【解析】解： （1）D， E 分别为 AC，AB 的中点， DE BC，又 DE?平面 A1CB， DE平面 A1CB， （2）由已知得AC BC 且 DE BC， DE AC， DEA1D，又 DE CD， DE平面A1DC，而 A1F? 平面 A1DC， 图 2图 1 F E B E D C BC D A1 A F 7 7 DEA1F，又 A1F CD， A1F平面 BCDE， A1F BE （3）线段 A1B 上存在点Q，使 A1C平面 DEQ 理由如下：如图，分别取A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQ BC DE BC， DE PQ 平面 DEQ 即为平面 DEP由（）知DE平面 A1DC ， DEA1C， 又P 是等腰三角形DA1C 底边 A1C 的中点， A1C DP， A1C平面 DEP，从而 A1C平面DEQ ， 故线段 A1B 上存在点Q，使 A1C平面 DEQ 【例 10 】(2013 四川 )如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABAC2AA1，BAC 120 °， D，D1分别是线段BC，B1C1的中点， P 是线段 AD 的中点 （1）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面 A1BC 平行的直线l，说明理由，并证明直线l 平面 ADD1A1； （2）设（ 1）中的直线l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角AA1M N 的余弦值 【解析】 （1）过点 P 作直线 l BC，因为 l 在平面 A1BC 外， BC 在平面 A1BC 内， 由直线与平面平行的判定定理可知，l 平面A1BC. （2）二面角AA1M N 的余弦值为 15 5 . 【例 11 】 （2012 河南）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90 °，AB=AC=AA1=1 ，延长 A1C1至点 P， 使 C1PA1C1， 8 8 连接 AP 交棱 CC1于 D （）求证：PB1平面 BDA1； （）求二面角AA1DB 的平面角的余弦值. 【解析】二面角AA1DB 的平面角的余弦值为 2 3 【例 12 】 （2012 辽宁） 如图， 直三棱柱 / ABCA B C，90BAC， / ,ABACAA点 M ，N 分别为 / A B 和 / B C的中点 . ()证明：MN平面 / A ACC; ()若二面角 / AMNC为直二面角，求的值 . 【解析】 (1) 连结 AB ,AC , 由已知BAC=90 ° , AB=AC, 三棱柱 ABC- A B C为直三棱柱，所以M 为 AB中点 . 又因为 N 为 B C的中点，所以 MN AC . 又 MN ?平面 A ACC，AC? 平面 A ACC , 因此 MN平面A ACC. (2)以 A 为坐标原点 ,分别以直线AB,AC,AA为x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系O-xyz, 设 AA =1, 则AB=AC= , 于是 A(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),A (0,0,1),B( ,0,1),C (0, ,1). 所以 M 2 ，0， 1 2 ,N 2， 2 ，1 . 设=(x1,y1,z1)是平面 A MN 的法向量，可取=(1,-1, ). 设=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量，可取=(-3,-1, ). 因为 A -MN-C为直二面角，所以-3+(- 1) ×(-1)+ 2=0 ，解得 = 2. 【课堂练习】 1、 （2006 陕西）已知平面 外不共线的三点A,B,C 到 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 B.平面 ABC 必与 相交