数学中考典型题赏析：四边形考点解密（含解析）.doc

四边形考点解密四边形是中考经常考试的内容,备受中考命题人员的青睐,是中考试卷命题的一个亮点.现在把四边形的考点进行简单归纳,带你走进别有洞天的四边形殿堂,尽享赏心悦目的快乐.考点解密考点一 平行四边形的性质例1.如图1,在中,E、F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.求证: AE=CF. 图1【分析】欲证AE=CF,需证ABECDF.所以运用平行四边形的性质即可获解.证明:四边形ABCD是运用平行四边形,AB=CD,B=DBE=DF,ABECDF.AE=CF.【点评】利用平行四边形的对边相等与对角相等是解题的关键.考点二 平行四边形的判定例2.如图2,已知E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,BE=DF,BEDF.求证:四边形ABCD是平行四边形. 图2 【分析】利用SAS易证明AFDCEB.于是得AD=CB,DAFBCE.所以ADCB.于是问题解决.证明:DFBE,DFABEC.AE=CF,AFCE.DFBE ,AFDCEB.ADCB,DAFBCE.ADCB.四边形ABCD是平行四边形.【点评】欲证明一个四边形是平行四边形,可以根据已知条件从平行四边形的5个判定方法中选择一种合适的判定方法证明即可.本题通过证明两个三角形全等得到了四边形的一组对边平行且相等,因此选择了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明.此题证明四边形ABCD是平行四边形还有其它的方法,同学们不妨一试.考点三 矩形的性质例3.如图3,E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点,且AE=DF.求证:BE=CF. 图3 图4【分析】利用SAS证明ABEDCF即可得到BE=CF.证明:四边形ABCD是矩形,AB=CD,OA=OB=OC=OD,.OAD=ODA.BAE=CDF,AE=DF,ABEDCF.BE=CF.【点评】矩形的对角线相等且互相平分与矩形的四个角都是直角是解题的关键.考点四 矩形的判定例4.如图4,四边形ABCD是平行四边形,AC、BD交于点O,1=2.求证:四边形ABCD是矩形.【分析】因为四边形ABCD是平行加边形,所以只要证明AC=BD问题即可解决.证明:四边形ABCD是平行加边形,OA=OC,OB=OD.1=2,OB=OC.OA=OB=OC=OD.AC=BD.四边形ABCD是矩形. 【点评】对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键.考点五 菱形的性质例5.如图5,在菱形ABCD中,ABC= 60°,DEAC交BC的延长线于点E求证:DE=BE.图5【分析】利用菱形的性质与平行四边形的判定及性质证明即可.证明:四边形ABCD是菱形,BC=AC=AD,ADCE.ABC= 60°,BC=AC=AB.AD=AC=BC.DEAC,ACED是平行四边形.CE=AD=BC ,DE=AC.DE=CE=BC.DE=BE.【点评】菱形的四条边相等与两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键.菱形的判定考点六 菱形的性质例6.如图6,在RtABC中,ABC=90°,BAC=60°,D为AC的中点，以BD为折痕,将BCD折叠,使得C点到达C点的位置,连接AC.求证:四边形ABDC是菱形.【分析】证明四边形DBAC为平行四边形及BD=BA即可. 证明:ABC=90°,D为AC的中点,BD=CD=AD . BAC=60°,BDA为等边三角形.BD=BA 根据折叠可知CD=DC,C=BCD=30°.BD=CD,C=CBD=30°.CBD=CBD,CBD =30°.BCD=CBA=30°.DCBA . DC=CD ,CD=BD=BADC=BA. 图6四边形DBAC为平行四边形. BD=BA,平行四边形DBAC为菱形. 【点评】一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键. 考点七 正方形的性质例7.如图7,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.求证：BECDEC 图7【分析】证明BCDC,BCEDCE即可.证明四边形ABCD是正方形,BCDCE为正方形ABCD对角线AC上一点，BCEDCE45°.ECEC,BECDEC.【点评】正方形的四条边相等和对角线平分一组对角是解题的关键. 考点八 正方形的判定例8.如图8,已知在中,为边的中点,过点作,垂足分别为.(1);(2)若,试判断四边形的形状,并说明理由. 图8DCBEAF【分析】(1)利用AAS证明.(2)证明四边形是矩形及DE=DF即可.证明:（1）， .，.是的中点，.（2），.，四边形为矩形. ，.四边形为正方形【点评】有一组邻边相等的矩形是正方形是解题的关键. 考点九 等腰梯形的性质例9.如图9,在等腰梯形ABCD中,ABCD,点M是AB的中点.求证:.MACDB 图9 图10【分析】利用SAS证明ADMBCM.证明:梯形ABCD是等腰梯形,AD=BC,A=B.点M是AB的中点,MA=MB.ADMBCM.【点评】等腰梯形同一底上的两个角相等是解题的关键.考点十 等腰梯形的判定例10.如图10,在梯形ABCD中,ADBC,且AD=DC,对角线BD平分ABC 求证:梯形ABCD是等腰梯形【分析】欲证梯形ABCD是等腰梯形,需证AB=DC即可证明:ADBC,CBD=ADB.BD是ABC的平分线,CBD=ABD.ABD=ADB.AB=AD.AD=DC,AB=DC,梯形ABCD是等腰梯形【点评】两腰相等的梯形是等腰梯形是解题的关键.易错剖析易错点1.忽视一般情况致错例1.在ABCD中,把ABCD的面积平分的直线有_. 错解:如图11,作ABCD对角线AC或BD,则对角线AC或BD把ABCD的面积平分.所以把ABCD的面积平分的直线有2条. 图11剖析:错解只考虑了特殊情况而忽视了一般情况.正解:因为ABCD是中心对称图形,所以过ABCD的中心任意作一条直线,都可以把ABCD的面积平分.所以把ABCD的面积平分的直线有无数条.易错点2.忽视高的位置致错例2.在ABCD中,若,AE是ABCD的高,则=_.错解:如图12,因为四边形ABCD是平行四边形,所以.因为AE是ABCD的高,所以.所以应填. 图12 图13剖析:错解只考虑了图12的CD边上的高而忽视了图13的BC边上的高.正解:如图12,因为四边形ABCD是平行四边形,所以.因为AE是ABCD的高,所以;如图13,因为四边形ABCD是平行四边形,所以.因为AE是ABCD的高,所以.所以应填或.易错点3.忽视三角形的全等致错例3.如图14,若点E是菱形ABCD对角线的交点,则与的面积相等的三角形是_. 图14 错解:因为点E是ABCD的对称中心,所以所以.所以应填剖析:错解只考虑了,而忽视了正解:因为点E是ABCD的对称中心,所以所以,因为四边形ABCD是平行四边形,所以EA=EC,EB=ED.所以.所以与的面积相等的三角形有3个.所以应填易错点4.忽视线段的延长线致错例4.过ABCD对角线交点G作直线,分别交直线AB于点E，交直线CD于点F,若AB=6，AE=4,则DF的长是 .错解:如图15,因为点G是ABCD的对称中心,所以所以BE=DF=6-4=2.所以应填2. 图15 图16剖析:错解只考虑了图15的直线与AB的交点E在AB上而忽视了图16的直线与AB的交点E在AB的延长线上.正解:如图15,因为点G是ABCD的对称中心,所以所以BE=DF=6-4=2;如图16,因为点G是ABCD的对称中心,所以所以BE=DF=6+4=10.所以应填2或10.易错点4.忽视点的位置致错例5.在正方形ABCD中,以CD为边作等边CDE,求AED的度数.错解:如图17,在ADE中,因为AD=DE,ADE=90°+60°=150°,所以AED=15°. 图17 图18剖析:错解只考虑了点E在正方形ABCD外的情况,而忽视了点E在正方形ABCD内的情况.正解:如图17,当点E在正方形ABCD外时,在ADE中,因为AD=DE,ADE=90°+60°=150°,所以AED=15°如图18,当点E在正方形ABCD内时,在ADE中,因为AD=DE,ADE=90°60°=30°,所以AED=75°.所以AED的度数为15°或75°.小试牛刀1.如图19,在梯形ABCD中,ABCD,BC=CD,ADBD,E为AB中点.求证:四边形BCDE是菱形. 图192.如图20,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F在AC上,G、H在BD上,AFCE,BHDG求证:GFHE. HA 图20CBDOEGF3.如图21,矩形ABCD的对角线相交于点O,DEAC,CEBD.求证:四边形OCED是菱形.ABCDEO 图214.如图22,点E是正方形ABCD内一点,CDE是等边三角形,连接EB、EA,延长BE交边AD于点F.(1)求证:ADEBCE；(2)求AFB的度数 图22 图235.如图23,在直角梯形ABCD中,B=,ADBC,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点E由点A出发沿AD方向向点D匀速运动,速度为1cm/s,点F由点C出发沿CB方向向点B匀速运动,速度为2cm/s,如果动点E、F同时从A、C两点出发,连结EF,若设运动的时间为ts,解答下列问题:(1)当t何值时,EF平分直角梯形ABCD的面积?(2)当t何值时,四边形AEFB是矩形?(3)当t何值时,四边形EFCD是平行四边形?(4)当t何值时,四边形EFCD是等腰梯形?参考答案1.证明:ADBD,ADB=90°.E为AB中点,DE=AB,BE=AB.DE=BE. DBE =EDB.ABCD, BDC =DBE.BC=CD, DBC =CDB.DBC =EDB.BCDE.四边形BCDE是平行四边形.BC=CD,四边形BCDE是菱形.2.证明: ABCD是平行四边形,OAOC.AFCE,OFOE.同理OGOH. 四边形EGFH是平行四边形.GFHE.3.证明:DEOC ,CEOD,四边形OCED是平行四边形 四边形ABCD是矩形,AOOC,BOOD,AC=BD. OC=OD.四边形OCED是菱形 4.解:(1)四边形ABCD是正方形,ADC=BCD=90°,AD=BCCDE是等边三角形,CDE=DCE=60°,DE=CEADE=BCE=30°.ADEBCE(2)ADEBCE,AE=BE.BAE=ABEBAE+DAE=90°,ABE+AFB=90°,DAE=AFBAD=CD=DE,DAE=DEAADE=30°,DAE=75°.BAE=ABF=15°.AFB=75°5.解: (1)根据题意,得AE=t,CF=2t.,.当时,EF平分直角梯形ABCD的面积.(2)根据题意,得AE=t,CF=2t.ADBC,B=,当AE=BF时,四边形AEFB是矩形.t=21-2t.当时,四边形AEFB是矩形.(3)根据题意,得AE=t,CF=2t.ADBC,当DE=CF时,四边形EFCD是平行四边形. 18-t=2t.当时,四边形EFCD是平行四边形.(4)如图24,根据题意,得AE=t,CF=2t.DE=18-t.ADBC,当DECF时,四边形EFCD是梯形.作EGBC于点G,DHBC于点H,则四边形DHGE是矩形.AD=BH=18,DE=GH=18-t.HC=21-18=3.当EF=DC时,四边形EFCD是等腰梯形,FG=CH=.当时,四边形EFCD是等腰梯形. 图24