【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第二章 2.2.DOC

+二一九高考数学学习资料+§2.2函数的单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A：区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数yf(x)在区间I上具有(严格的)单调性，区间I叫做函数yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，).(×)(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)>0，则函数f(x)在D上是增函数.()(3)函数y|x|是R上的增函数.(×)(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).(×)(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，).(×)(6)函数y的最大值为1.()2.若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则a的取值范围为_.答案解析因为函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，所以2a1<0，解得a<，所以a的取值范围是.3.(2013·安徽)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的_条件.答案充分必要解析本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断.当a0时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示.所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充分必要条件.4.函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_.答案，1解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.5.已知函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，则不等式2<f(x)<2的解集为_.答案(3,0)解析画出草图，数形结合，得不等式的解集为(3,0).题型一函数单调性的判断例1讨论函数f(x)(a>0)在x(1,1)上的单调性.思维启迪可根据定义，先设1<x1<x2<1，然后作差、变形、定号、判断.解设1<x1<x2<1，则f(x1)f(x2).1<x1<x2<1，x2x1>0，x1x21>0，(x1)(x1)>0.又a>0，f(x1)f(x2)>0，函数f(x)在(1,1)上为减函数.思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤： 作差f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形作差、变形 已知a>0，函数f(x)x (x>0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数.证明设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a).当0<x1<x2时，0<x1x2<a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1<x2时，x1x2>a，又x1x2<0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数.题型二利用函数的单调性求参数例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_.(2)已知f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是_.思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.答案(1)，0(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a<0，且4，解得0>a.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a<2，a的取值范围是，2).思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(1)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是_.(2)已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_.答案(1)a3(2)4,8)解析(1)y1，由函数在(1，)上单调递增，有，解得a3.(2)因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a<8.题型三函数的单调性和最值例3已知函数f(x)，x1，). (1)当a时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围.思维启迪(1)求函数最值常借助函数单调性； (2)不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题.解(1)当a时，f(x)x2，设1x1<x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)(1)，1x1<x2，x2x1>0,2x1x2>2，0<<，1>0，f(x2)f(x1)>0，f(x1)<f(x2).f(x)在区间1，)上为增函数，f(x)在区间1，)上的最小值为f(1).(2)在区间1，)上f(x)>0恒成立 x22xa>0恒成立.设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数.当x1时，ymin3a，于是当且仅当ymin3a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>3.思维升华要注意函数思想在求函数值域中的运用，(1)中用函数单调性求函数的最小值；(2)中用函数的最值解决恒成立问题.在(2)中，还可以使用分离参数法，要使x22xa>0在1，)上恒成立，只要a>x22x(x1)21恒成立，由二次函数的性质得(x1)213，所以只要a>3即可.已知函数f(x)(a>0，x>0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是单调递增函数；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值.(1)证明设x2>x1>0，则x2x1>0，x1x2>0，f(x2)f(x1)()()>0，f(x2)>f(x1)，f(x)在(0，)上是单调递增函数.(2)解f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上单调递增，f()，f(2)2.易得a.抽象函数单调性的证明及应用典例：(14分)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1，x2R，且x1<x2，x2x1>0，当x>0时，f(x)>1，f(x2x1)>1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)1>0f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为增函数.7分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，9分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24， f(1)2，f(a2a5)<2f(1)，12分f(x)在R上为增函数，a2a5<13<a<2，即a(3,2).14分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”， 转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束条件.方法与技巧1.利用定义判断或证明函数的单调性设任意x1，x2a，b且x1<x2，那么>0f(x)在a，b上是增函数；<0f(x)在a，b上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)>0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)<0f(x)在a，b上是减函数.函数的单调性是对某个区间而言的.2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质.3.复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数.简称：同增异减.失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、填空题1.下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是_.(填序号)f(x)；f(x)(x1)2；f(x)ex;f(x)ln(x1).答案解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数.中，f(x)满足要求；中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；中，f(x)ex是增函数；中，f(x)ln(x1)是增函数.2.函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案6解析易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.3.已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_.答案0，解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由，得0<a，综上a的取值范围是0a.4.已知f(x)为R上的减函数，则满足f()>f(1)的实数x的取值范围是_.答案(，0)(1，)解析依题意得<1，即>0，所以x的取值范围是x>1或x<0.5.定义新运算“”：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_.答案6解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1<x2时，f(x)x32，f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数.f(x)的最大值为f(2)2326.6.已知函数f(x)若f(2a2)>f(a)，则实数a的取值范围是_.答案(2,1)解析由图象知f(x)在R上是增函数，由f(2a2)>f(a)，得2a2>a，解得2<a<1.7.设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_.答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数.a1.8.函数y(x3)|x|的递增区间是_.答案解析y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.二、解答题9.函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值.解(1)f(x)x24x4(x2)28.当t>2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t1<2，即t<1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为8.10.已知函数f(x)，x0,2，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值.解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)().由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数.因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).B组专项能力提升(时间：35分钟)1.(2012·安徽)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.答案6解析利用函数图象确定单调区间.f(x)|2xa|作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为，3，a6.2.已知函数f(x)则“2a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的_条件.答案必要不充分解析f(x)在R上单调递增的充要条件是a0或解得a<0.由此可知“2a0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要而不充分条件.3.对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_.答案1解析依题意，h(x)当0<x2时，h(x)log2x是增函数；当x>2时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.4.已知关于x的函数y(tR)的定义域为D，存在区间a，bD，f(x)的值域也是a，b.当t变化时，ba的最大值等于_.答案解析函数y(1t)，由题意得，函数在区间a，b上单调递增，故即a，b为方程x的两个根.即方程x2(1t)xt20，ab1t，abt2，(ab)2(ab)24ab3t22t13(t)2，当t时，(ab).(ba)max.5.已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_.答案(1，1)解析画出f(x)的图象，由图象可知，若f(1x2)>f(2x)，则即得x(1，1).6.已知f(x) (xa).(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围.(1)证明任取x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增.(2)解任设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,1.7.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值.(1)解令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数.(3)解f(x)在(0，)上是单调递减函数.f(x)在2,9上的最小值为f(9).由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.高考数学复习精品高考数学复习精品