【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第九章 9.3.DOC

+二一九高考数学学习资料+§9.3圆的方程1.圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.3.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径.4.圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F>0，其中圆心为，半径r.5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2<r2.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为(，a)，半径为的圆.(×)(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF>0.()2.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_.答案1<a<1解析因为点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)2<4，1<a<1.3.已知圆C：(x2)2(y1)22，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为_.答案2解析依题意，知切线l的斜率存在，设为k，则l的方程为ykx.由，得2k24k10，由根与系数的关系可得k1k22.4.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_.答案(x2)2y210解析设圆心坐标为(a,0)，易知，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆C的方程为(x2)2y210.5.若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_.答案解析方程x2y2ax2ay2a2a10转化为2(ya)2a2a1，所以若方程表示圆，则有a2a1>0，3a24a4<0，2<a<.题型一求圆的方程例1根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2).思维启迪(1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解.(2)求圆心和半径，确定圆的标准方程.解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入得又令y0，得x2DxF0. 设x1，x2是方程的两根，由|x1x2|6有D24F36， 由、解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80，或x2y26x8y0.(2)方法一如图，设圆心(x0，4x0)，依题意得1，x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.方法二设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2，根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.思维升华求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程为_.答案(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29解析设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为，r2()2()2，即2r2(ab)214.所求的圆与x轴相切，r2b2.又所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程为(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.题型二与圆有关的最值问题例2已知实数x、y满足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值.思维启迪显然实数x，y所确定的点在圆x2y24x10上运动，而则可看成是圆上的点与原点连线的斜率，yx可以转化为截距，x2y2可以看成是圆上点与原点距离的平方.解(1)如图，方程x2y24x10表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆.设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由，解得k23，kmax，kmin.(也可由平面几何知识，得OC2，CP，POC60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP的倾斜角为120°)(2)设yxb，则yxb，仅当直线yxb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得，即b2±，故(yx)min2.(3)x2y2是圆上点与原点的距离的平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则(x2y2)maxOC2(2)274，(x2y2)minOB2(2)274.思维升华把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.已知两点A(1,0)，B(0,2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是_.答案2，2解析如图，圆心(1,0)到直线AB：2xy20的距离为d，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是1，最小值是1，又AB，故PAB面积的最大值和最小值分别是2，2.题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.思维启迪结合图形寻求点P和点M坐标的关系，用相关点法(代入法)解决.解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，.从而.又N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上的情况).思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.定义法：根据圆、直线等定义列方程.几何法：利用圆的几何性质列方程.代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.如图所示，已知P(4,0)是圆x2y236内的一点，A，B是圆上两动点，且满足APB90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R，坐标为(x，y)，连结OR，PR，则在RtABP中，ARPR.又R是弦AB的中点，所以在RtOAR中，AR2AO2OR236(x2y2).又ARPR，所以有(x4)2y236(x2y2)，即x2y24x100.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x，y)，R(x1，y1)，因为R是PQ的中点，所以x1，y1，代入方程x2y24x100，得()2()24×100，整理得x2y256，此即为所求顶点Q的轨迹方程.利用方程思想求解圆的问题典例：(14分)已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径.思维启迪(1)求圆心及半径，关键是求m.(2)利用OPOQ，建立关于m的方程求解.(3)利用x1x2y1y20和根与系数的关系或利用圆的几何性质求解.规范解答解方法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.3分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y2.6分OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.8分故0，解得m3，10分此时>0，圆心坐标为，半径r.14分方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，2.3分O1M的方程为y32，即y2x4.6分由方程组.解得M的坐标为(1,2).8分则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1Q2O1M2MQ2.2(32)25.m3.10分半径为，圆心坐标为.14分方法三设过P、Q的圆系方程为x2y2x6ym(x2y3)0.3分由OPOQ知，点O(0,0)在圆上.m30，即m3.6分圆系方程可化为x2y2x6y3x2y30.即x2(1)xy22(3)y0.8分圆心M，又圆心在PQ上.2(3)30，1，m3.10分圆心坐标为，半径为.14分温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算.(2)本题中三种解法都是利用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值.(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算 误.方法与技巧1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.失误与防范1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、填空题1.设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是_.答案原点在圆外解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0<a<1，所以(0a)2(01)22a(a1)2>0，即>，所以原点在圆外.2.若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过第_象限.答案四解析圆x2y22ax3by0的圆心为，则a<0，b>0.直线yx，k>0，>0，直线不经过第四象限.3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为_.答案x2(y2)21解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.4.点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_.答案(x2)2(y1)21解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则，代入xy4中得(x2)2(y1)21.5.若直线ax2by20(a>0，b>0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_.答案32解析由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，()(ab)332 32，当且仅当，即b2，a1时，等号成立.的最小值为32.6.如果直线l将圆C：(x2)2(y3)213平分，那么坐标原点O到直线l的最大距离为_.答案解析由题意，知直线l过圆心C(2，3)，当直线OCl时，坐标原点到直线l的距离最大，OC.7.若方程x2y22x2my2m26m90表示圆，则m的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_.答案2<m<4(x1)2(y3)21解析原方程可化为(x1)2(ym)2m26m8，r2m26m8(m2)(m4)>0，2<m<4.当m3时，r最大为1，圆的方程为(x1)2(y3)21.8.已知圆x2y22x4ya0关于直线y2xb成轴对称，则ab的取值范围是_.答案(，1)解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25a，其圆心为(1,2)，且5a>0，即a<5.又圆关于直线y2xb成轴对称，22b，b4.aba4<1.二、解答题9.一圆经过A(4,2)，B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A、B，所以1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.10.已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程.解因为圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y(x)，即5x7y500上，由解得圆心为(3,5)，所以半径为，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.B组专项能力提升(时间：35分钟)1.(2012·湖北)过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_.答案xy20解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与P点连线的斜率k1，过点P垂直于OP的直线方程为xy20.2.光线从A(1,1)出发，经y轴反射到圆C：x2y210x14y700的最短路程为_.答案62解析圆心坐标为C(5,7)，半径为2，A(1,1)关于y轴的对称点为A1(1,1)，最短路程为A1C262.3.设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_.答案解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2×(PA·AC)PA·ACPA，因此四边形PACB的面积的最小值是.4.若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym>0成立，则m的取值范围是_.答案(1，)解析由题意得m>(xy)恒成立，设z(xy)，求得zmax1.m>1.5.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为_.答案解析作出可行域D及圆x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对的弧长即为所求.易知图中两直线的斜率分别为、，得tan ，tan ，tan tan()1，得，得弧长l·R×2(R为圆的半径).6.(2013·课标全国)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程.解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.则y22r2，x23r2.y22x23，即y2x21.P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x0±1，即y0x0±1.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.当y0x01时，由yx1得(x01)2x1.r23.圆P的方程为x2(y1)23.综上所述，圆P的方程为x2(y±1)23.7.在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知AB2OA，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程.解(1)设(x，y)，由AB2OA，·0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB>0矛盾.所以舍去.即(6,8).(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)，半径r，(4，3)(6,8)(10,5)，直线OB的方程为yx.设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)，则解得所求的圆的方程为(x1)2(y3)210.高考数学复习精品高考数学复习精品