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2018高考数学热点专题八 高中数学基本知识点回顾 (5.28)让我再看你一眼 一、集合与简易逻辑 1、常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 ；实数集 ；正实数集 。 2、注意区分集合中元素的形式，如： 表示 ； 表示 ； 表示 ； 表示 ； 3、空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。 （1）注意、和的区别： 表示 ；表示 ；表示 。 （2）注意:当条件为时在讨论的时候不要遗忘了的情况 如：,如果,则的取值为 . 4、含个元素的集合的子集个数为 ；真子集个数为 。 5、若且,则的 条件是 6、注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是 ，的否命题是 ；命题“或”的否定是 ；“且”的否定是 ；命题“”的否定是 。二、函数 1、映射:： （1）集合中的元素在中必有象且中不同元素在中可以有 ； （2）集合中的元素在中不一定有 。 （3）若，；问：到的映射有 个，到的映射有 个； 2、复合函数的定义域： （1）若定义域为-1,2,则f(2x+1)的定义域为 ； （2）若f(x2)定义域为-1,2,则f(x)的定义域为 ； 3、复合函数单调性由“同增异减”判定。即：对于复合函数，设，若的单调性与的单调性相同时就是的 ；若的单调性与的单调性相异时就是的 。 提醒：（1）求单调区间时要注意定义域；（2）单调性一般用区间表示，不能用集合表示。如：函数的单调递增区间是.4、函数的奇偶性 （1）函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于 ；（2）若是偶函数,则 ； 如，偶函数在上是增函数，则不等式的解集为 ； （3）定义域内可取零的奇函数必满足 ；（4） 是偶函数 ； （5）若是偶函数,则的对称轴是 ；若是奇函数,则的对称中心是 。 5、函数图象的几种常见变换 （1）平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移-“上加下减”(注意是针对而言). （2）翻折变换：； . （3）伸缩变换（）： ； （4）对称变换： 函数的图像与的图像关于 对称； 函数的图像与函数的图像关于 对称； 函数的图像与函数的图像关于 对称； 函数的图像与它的反函数的图像关于 对称； 若函数满足，则的图像关于 对称； 对于两个函数,，则它们图像关于直线对称（由 求得） 6、反比例函数：定义域值 域单调性对称中心渐近线 7、双钩函数（又叫NiKe函数） 定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。 8、指数函数：定义域值 域函数值单调性 9、对数函数：定义域值 域函数值单调性注意：（1）与的图象关系是 ；（2）对数运算法则： ； ； ； （3） ；换底公式： ；对数恒等式： ； （4）已知函数的定义域为，则的取值范围为 。 （5）已知函数的值域为，则的取值范围为 。 10、恒成立；恒成立三、导数 1、导数的定义：在点处的导数记作. 2、函数在点处的导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率, 即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为. 3、常见函数的导数公式:= (为常数)；= ；= ；= ； = ； = ； = ；= 。 4、导数的四则运算法则： ； ； 5、利用导数判断函数的单调性： 设函数在某个区间内可导,如果,那么为 ；如果,那么为 。 6、利用导数求函数极值： 若方程的根，当时且时，那么函数在处取得 值；当时且时，那么函数在处取得最大值；那么函数在这个根处取得 值；将在内的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。 四、不等式1、均值不等式（又称基本不等式）：若则，在时取等号。 如：若正数满足，则的最小值 已知，则的最大值 。 ，的最大值 。 2、绝对值的三角不等式： ；3、 柯西不等式：设，则 （在时取等号） 4、高次不等式：序轴标根法的步骤：（1）化成标准型，（2）将每个因式的根标在数轴上；（3）从右上方开始画出曲线依次通过每个数轴上的每个根。五、三角函数： 1、在半径为的圆内弧长为的圆心角的弧度数的绝对值 2、诱导公式可用概括为： ， 。 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， 。3、 两角和、差公式 ， ， ； ， ， ； 4、二倍角公式 ， ， = = ； 5、降次公式： ； ； 6、辅助角公式： （其中 ） 7、三角函数的图象和性质：图 象定义域值域周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间最值（指出此时的值）最大值最小值 8、正弦型函数（1）先平移后伸缩： （ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）（2）先伸缩后平移：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ） 9、解斜三角形： （1）正弦定理： = = =（为 ） （2）余弦定理： ； ； ； （3）面积公式： = 其中，、分别为的外接圆和内切圆的半径。 10、常用的利用三角换元 如：在圆中,可设；在椭圆中,可设。六、数列 1、和之间的关系：（如若在时也适合，则统一成一种形式） 2、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列求和公式 = 时 时 性质若， 则 ；当，则 ；若，则_ _；特别当，则 ；3、根据数列递推公式求通项（1）累加法：已知中，则= （2）累乘法：已知中，则= （3）（为常数）型：构造法：设，得到， 则 为等比数列。如：已知，则= （4）（为常数）型：两边同时除去得，令，转化为，再用（3）法解决。4、常用结论（1): 1+2+3+.+n = （2) 1+3+5+.+(2n-1) = （3） （4） （5) 裂项相消法： ；5、数学归纳法步骤：（1）验证当时结论成立（2）假设当n=k时结论成立，运用n=k时的结论证明当n=k+1时结论也成立； 综合（1）（2），得出原命题的结论对给定的所有正整数都成立七、平面向量1、设,. (1) ；（2） ；(3) .（4） = ；（5） 2、向量在方向上的投影为 。3、 设，则 （1）= （2）若为线段的中点，则 （3）若为直线上的一点，且，则 （4）,三点共线存在实数、使得，其中 . 4、三角形中向量性质： （1）已知、，则重心（ ， ， ） （2）为 ； （3）为 ； （4）为 ；八、直线和圆的方程 1、直线的倾斜角的范围是 ；2、点到直线的距离公式 ； 3、两条平行线与的距离是 .4、圆的方程 （1）以点为圆心，为半径的标准方程 . （2）圆的一般方程中圆心为 ,半径为 （3）以、为直径的圆的方程 ；5、圆的切线方程：（1）过圆上的点的切线方程为 ；（2）过圆上的点的切线方程为 ； 6、圆的弦的直线方程：（1） 过圆外一点作圆的两切线，为切点，则直线的方程为： （2） 过圆外一点作圆的两切线，为切点，则直线的方 程为： （3）相交两圆和的公共弦的直线方程： 九、圆锥曲线方程 1、椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为, 则(“左加右减”)；2、抛物线焦半径公式： 设为抛物线上任意一点,为焦点,则 ； 若为上任意一点,为焦点，则 . 3、共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,). 4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 = 5、抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论： （1）； （2）,； （3） . 6、对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算. 7、圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中, 以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率. 8、过椭圆上的点的切线方程为 9、过椭圆外一点作两切线，为切点，则直线的方 程为：方程为十、直线、平面、简单几何体 1、线线平行的判断： （1）平行于同一 的两直线平行。 （2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和 平行。 （3）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的 平行。 （4） 于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： 若一直线 于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 3、线面平行的判断： （1）如果平面外的一条直线和 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）两个平面平行， 的直线必平行于另一个平面。 4、线面垂直的判断： （1）如果一直线和平面内的两 垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于 。 （3）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于 的直线必垂直于另个平面。 5、面面平行的判断： （1）一个平面内的 直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 （2） 同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断： 一个平面经过另一个平面的 ，这两个平面互相垂直。 7、空间角的求法： （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。 异面直线所成角的范围： ； 设、分别为异面直线、的方向向量，则两异面直线所成的角的余弦为 . （2）线面所成的角：即斜线与它在平面内的射影所成的角。 斜线与平面所成角的范围： ； 设是斜线的方向向量,是平面的法向量,则斜线与平面所成的角的正弦的绝对值为 . （3）二面角： 二面角大小的范围： ； 设,是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦的绝对值为 射影法：若棱锥的某侧面与底面所成的角为, 则 8、点到平面的距离：设是平面的法向量,在内取一点,则到的距离 9、多面体： （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱侧棱不垂直于底面斜棱柱侧棱垂直于底面直棱柱底面是正多边形正棱柱；四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面是矩形 长方体底面是正方形正四棱柱棱长都相等正方体。性质：、侧面都是平行四边形； 、两底面是全等多边形；、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形；、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。体积：（为底面积，为高，为已知侧面与它对棱的距离） （2）棱锥：定义：有一个面是多边形其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥叫做正棱锥； 侧棱长等于底面边长的正三棱锥又叫正四面体。 体积：（为底面积，为高） （3）圆台、棱台体积：10、球 （1）性质： 任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）两点的球面距离，是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为截面半径，为球心的到截面的距离。 （2）面积公式：（为球半径）； （3）体积公式：（为球半径）十一、算法和复数（略）十二、排列组合和二项式定理 1、排列数公式: ,当时为全排列. 2、组合数公式：,. 3、排列组合综合问题： 练习1、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中，恰有两个空盒的放法有 种； 解：分三步：第一步先选两个空盒；第二步把四个球分成两组：2个和2个，或1个和3个；第三步把分成的两组放入余下的两个空盒中。 ABCD 练习2、四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中，甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有 种； 解：甲球有种放法，乙球有种放法，另2个球各有 种放法，共 练习3：用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 种不同涂法； 4、二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+ Cab+Cb （nN）（1）展开式共有 项，其中C（r=0,1,2n）叫做 系数，Cab叫做二项式的 ，即展开式的第 项； （2）二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等，即；展开式正中间的二项式系数最大；. 特别提醒：二项式的展开式的项的系数与二项式系数是不同的两个概念。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；十三、概率与统计1、离散型随机变量的分布列： 2、期望（又称均值）. 3、方差. 4、标准差；.5、二项分布：在次试验中，每次发生的概率为，满足，则称随机变量服从二项分布，记作,则, .