浙江省中考数学：第40讲《实验与动态型问题》名师讲练（含答案）.doc

第40讲实验与动态型问题内容特性动态型问题是指以三角形、四边形、圆等几何图形或函数图象为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行实验、观察、猜想和归纳，进行推理的一类问题，这类问题信息量大，灵活多变，出现的结果往往有多种情况涉及到平行线、相似三角形的性质，锐角三角函数，方程、不等式及函数的知识，以及几何变换，数形结合，分类讨论，函数与方程，特殊与一般的思想.解题策略解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住运动中的某一瞬间，抓住变化过程中的特殊情形，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，从而建立方程、不等式、函数、几何模型，找到解决问题的途径.基本思想解题时利用方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，恰当地使用分析综合法，挖掘题目的隐含条件，将复杂问题分解为基本问题，逐个击破，进一步得到新的结论.类型一由点运动产生的问题(2017·丽水)如图1，在ABC中，A30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线ACB运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动设运动时间为x(s)，APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积，求x的取值范围【解后感悟】解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想1 (2016·白银)如图，ABC是等腰直角三角形，A90°，BC4，点P是ABC边上一动点，沿BAC的路径移动，过点P作PDBC于点D，设BDx，BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是()2(1)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx22x2上运动，过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为.(2) (2016·舟山)如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为(1，0)，ABO30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿OBA的边按OBAO运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为.类型二由线运动产生的问题(2015·无锡)如图，C为AOB的边OA上一点，OC6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQOA交OB于点Q，PMOB交OA于点M.(1)若AOB60°，OM4，OQ1，求证：CNOB；(2)当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；设菱形OMPQ的面积为S1，NOC的面积为S2，求的取值范围【解后感悟】解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线或曲线变化的全过程，本题中PQOA，PMOB，涉及相似三角形的判定与性质，抓住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系3 (1)(2016·长春市南关区模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点B在点C的左侧，直线ykx经过点A(3，3)和点P，且OP6.将直线ykx沿y轴向下平移得到直线ykxb，若点P落在矩形ABCD的内部，则b的取值范围是()A0<b<3 B3<b<0 C6<b<3 D3<b<3(2) (2016·合肥模拟)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)如图，若曲线y(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是.(3) (2016·新昌模拟)已知RtABC的顶点坐标为A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若抛物线yax2与该直角三角形无公共点，则a的取值范围是.(4) (2016·海陵模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长AB8，一直线l绕顶点B任意旋转，过A向l作垂线，垂足为H，则线段CH长的取值范围是.类型三由图形运动产生的问题(2016·金华)由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动已知各钢管的长度为ABDE1米，BCCDEFFA2米(铰接点长度忽略不计)(1)转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是米；(2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有ABCD120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是米【解后感悟】由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为常见的一种题型本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形4 (2016·金华)如图，RtABC纸片中，C90°，AC6，BC8，点D在边BC上，以AD为折痕折叠ABD得到ABD，AB与边BC交于点E.若DEB为直角三角形，则BD的长是.5(2016·宁波)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(5，0)，菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tanAOC，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角(0°AOC)得到菱形FADE(点O的对应点为点F)，EF与OC交于点G，连结AG.(1)求点B的坐标；(2)当OG4时，求AG的长；(3)求证：GA平分OGE；(4)连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为(12，0)时，求点G的坐标【动点实验题】用如图1，2所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图3拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.(1)当点P运动到CFB的角平分线上时，连结AP，求线段AP的长；(2)当点P在运动的过程中出现PAFC时，求PAB的度数探究二：如图4，将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，连结MN.在旋转DEF的过程中，AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由【方法与对策】本题是几何综合题，运用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点第(3)问，由发现并证明AMDCND取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值这种题型要注意问题的前后关系，要利用前面方法来指导后面的问题，要利用特殊到一般的思想，这是中考常见题型【没有画图和动态分析，致使问题分析不全】如图，已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，1)，C(1，1)，若双曲线y(x0)与ABC有公共点，则k的取值范围是_第40讲实验与动态型问题【例题精析】例1(1)如图1，作PDAB于D，A30°，PDAPx，yAQ·PDax2，由图象可知，当x1时，y，×a×12，解得a1； (2)如图2，作PDAB于D，由图象可知，PB5×22x102x，PDPB·sinB(102x)·sinB，y×AQ×PDx×(102x)·sinB，当x4时，y，×4×(102×4)·sinB，解得，sinB，yx×(102x)×x2x；(3)x2x2x，解得，x10，x22，由图象可知，当x2时，yx2有最大值，最大值是×222，x2x2，解得，x13，x22，当2x3时，点P运动到线段BC上某一段时APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积例2(1)过P作PEOA于E，PQOA，PMOB，四边形OMPQ为平行四边形PMOQ1，PMEAOB60°，PEPM·sin60°，ME，CEOCOMME，tanPCE，PCE30°，CPM90°，又PMOB，CNOCPM90°，即CNOB. (2)的值不发生变化理由如下：设OMx，ONy.四边形OMPQ为菱形，OQQPOMx，NQyx.PQOA，NQPO.又QNPONC，NQPNOC，即，6y6xxy.两边都除以6xy，得，即. 过P作PEOA于E，过N作NFOA于F，则S1OM·PE，S2OC·NF，.PMOB，PMCO.又PCMNCO，CPMCNO.(x3)2.0x6，由这个二次函数的图象可知，0.例3(1)如图1中，FBDF，FAFE，FAEFEA，BD，FAEB，AEBD，AE，故答案为. (2)如图2中，作BNFA于N，延长AB、DC交于点M，连结BD、AD、BF、CF.在RtBFN中，BNF90°，BN，FNANAF2，BF，同理得到ACDF，ABCBCD120°，MBCMCB60°，M60°，CMBCBM，MMAF180°，AFDM，AFCM，四边形AMCF是平行四边形，CFAM3，BCMCBDCDB60°，CBDCDB，CBDCDB30°，M60°，MBD90°，BD2，BE，<3<2，用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，连结AC、BF、DF即可，所用三根钢条总长度的最小值为3，故答案为3. 【变式拓展】1 B2. (1)1(2)43.(1)C(2)2a3(3)a<0或a>2或0<a<(4)0CH84.2或55(1)如图1，过点B作BHx轴于点H，四边形OABC为菱形，OCAB，BAHCOA.tanAOC，tanBAH.又在直角BAH中，AB5，BHAB4，AHAB3，OHOAAH538，点B的坐标为(8，4)； (2)如图1，过点A作AMOC于点M，在直角AOM中，tanAOC，OA5，AMOA4，OMOA3，OG4，GMOGOM431，AG； (3)如图1，过点A作ANEF于点N，在AOM与AFN中，AOMAFN(AAS)，AMAN，GA平分OGE. (4)如图2，过点G作GQx轴于点Q，由旋转可知：OAFBAD.ABAD，ABP，AOTF，OTAGTF，OGFOAF，OGAEGA，OGAABP，又GOABAP，GOABAP，GQ×4.tanAOC，OQ×，G.【热点题型】【分析与解】探究一：(1)依题意画出图形，如图1所示：由题意，得CFB60°，FP为角平分线，则CFP30°.CFBC·tan30°3×.CPCF·tanCFP×1.过点A作AGBC于点G，则AGBC，PGCGCP1.在RtAPG中，由勾股定理得：AP. (2)由(1)可知，FC，如图2所示，以点A为圆心，以FC长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1AP2.过点A作AGBC于点G，则AGBC，在RtAGP1中，cosP1AG，P1AG30°.P1AB45°30°15°.同理求得，P2AG30°，P2AB45°30°75°.PAB的度数为15°或75°. 探究二：AMN的周长存在最小值如图3所示，连结AD，ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，ADCD，CMAD45°.EDF90°，ADC90°，MDANDC.在AMD与CND中，AMDCND(ASA)AMCN.设AMx，则CNx，ANACCNBCCNx，在RtAMN中，由勾股定理得：MN，AMN的周长为：AMANMN.当x时，有最小值，最小值为.AMN周长的最小值为.【错误警示】如图2，若双曲线与ABC有公共点，则双曲线向下最多到点C，向上最多到与直线AB只有一个交点，当过点C时，解得k1；当双曲线与直线AB只有一个交点时，设直线AB解析式为yaxb，A(1，4)，B(4，1)，解得直线AB的解析式为yx5，x25xk0，则该方程有两个相等的实数根，0，即(5)24k0，解得k，k的取值范围为：1k.