进制的应用.教师版.pdf
专业文档 珍贵文档 1.了解进制； 2.会对进制进行相应的转换； 3.能够运用进制进行解题 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制，特点是“ 逢十进一 ” 。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“ 逢二进一 ” 。因此，二进制中只用两个数字0 和 1。二进制的 计数单位分别是1、21、22、23、 ，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110 在二进制中表示为： (100110)2=1× 2 5+0× 24+0× 23+1× 22 +1× 2 1+0× 20。 二进制的运算法则：“ 满二进一 ” 、“ 借一当二 ” ，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意： 对于任意自然数n,我们有 n0=1。 3. k 进制： 一般地， 对于 k 进位制， 每个数是由0，1，2，1k（） 共 k 个数码组成， 且“ 逢 k 进一 ” 1k k（） 进位制计数单位是 0 k ， 1 k ， 2 k ，如二进位制的计数单位是 0 2 ， 1 2 ， 2 2 ，八进位制的计数单位 是 0 8 ， 1 8 ， 2 8 ， 4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1 110110 nn nnknna aa aakakaka（） 十进制表示形式： 10 10101010 nn nnNaaa； 二进制表示形式： 10 10222 nn nnNaaa； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是 k 进位制的数 如： 8 352（）， 2 1010（）， 12 3145（） ,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数 5. k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上 按从左到右顺序排列即为k进制数反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按 k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果 如右图所示 : 知识点拨 教学目标 5-8-2. 进制的应用 专业文档 珍贵文档 模块一、进制在生活中的运用 【例 1】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工。这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付。可是不付 又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环。对长工说： “ 我不是要拖欠工资，只是想连这 一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付。” 他望向吃惊的长工，心中很是得意，“ 本人说话， 从不食言，可以请大老爷作证。” 大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分 文不取，并会以命相拼也要兑现的。这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的 一环三个月的工钱也不止。老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“ 不过，我请大老爷作证的时候，提 到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！” 当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月， 顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 2 星【题型】解答 【解析】断开第三环，从而得到1，2， 4 环的三段，第一个月拿走一环，第二个月以一换二，第三个月取一 环，第四个月以三换四，第五个月再取一环，第六个月以一换二，第七个月再取一环。 【答案】 1，2，4 【巩固】现有 1 克， 2 克， 4 克， 8 克， 16 克的砝码各1 枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 2 星【题型】解答 【解析】因为砝码的克数恰好是1，2，4，8，16，而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1，2，22=4， 23=8，24=16，在砝码盘上放1 克砝码认为是二进位制数第一位(从右数 )是 1，放 2 克砝码认为是二 进位制数第二位是1， ，放 16 克砝码认为是二进位制数第五位是1，不放砝码就认为相应位数 是零，这样所表示的数中最小的是1，最大的是 (11111)2=24+23222120=(31)10 ，这就是说1 至 31 的每个整数 (克)均能称出。所以共可以称出31 种不同重量的物体。 【答案】 31 【例 2】茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“ 零等待 ” 活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快 满足顾客的需要则为优秀。结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待。原来他把 茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶。别的伙计看在眼 里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包。奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多。 于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1， 2，4，8，16，32，64，128，256。你能 解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】由于 222222 1(1) ,2(10) ,4(100) 8(1000) ,16(10000) ,32(10 0000)观察一下你会发现最佳员 工：所取的数字与二进制中的 222222 (1) ,(10) ,(100) ,(1000) ,(10000) ,(100000)对应，而我们所要的3， 十进制二进制 十六进制 八进制 例题精讲 专业文档 珍贵文档 5，6，7，9，等等数字都可以用这些二进制相加得来，老师可以在黑板上给学生列竖式演示此 道理，说明取1，2，4， 8，16， 32，64，128，256 的道理。 【巩固】如果只考虑100 克以内的重量，至少需要多少包？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】至少需要 1，2， 4，8，16，32， 64（7 包） 【答案】至少需要1，2， 4，8，16，32， 64（7 包） 【巩固】如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g 以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】至少需要： 1，2， 4，8，16，32， 64 这七种重量的砝码即可。 【答案】至少需要：1，2，4，8，16，32，64 这七种重量的砝码即可 【巩固】古代英国的一位商人有一个15 磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是 整磅数，而且可以用这4块来称从1至15 磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）。 那么这4块砝码碎片各重， 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第15 题 【解析】 因为二进制数可以表达所有的自然数，而且表达形式是唯一的，例如： 9=1+8 ，31=1+2+4+8+16 所以只要准备质量为1,2,4,8的二进制数砝码即可。 【答案】 1,2,4,8 【例 3】有 10 箱钢珠，每个钢珠重10 克，每箱600 个.如果这 10 箱钢珠中有1 箱次品，次品钢珠每个重9 克，那么，要找出这箱次品最少要称几次? 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】略 【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为110 号，然后从1 号箱中取 1 个钢珠，从2 号箱中取2 个钢珠 ，这样共取了12345678910=55（个）钢珠，重量是： 5510=550 （克），如果轻了n(1 n 10) 克，那么第几号箱就是次品.在这个方法中，第10 号箱也可 不取，这样共取出45 个钢珠，如果重450 克，那么10 号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品. 总结：不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数， 反之，也是。 【例 4】小马虎将一些零件装箱，每个零件10g，装了 10 箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次 品零件 9 克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？ 【考点】进制在生活中的运用【难度】 4 星【题型】解答 【解析】略 【答案】解决这个问题有一个巧妙的方法.将 10 箱钢珠分别编为110 号，然后从1 号箱中取 1 个钢珠，从2 号箱中取2 个钢珠，从 3 号箱中取4 个钢珠，从 4 号箱中取 8 个钢珠 从 10 号箱中取512 个钢珠， 共取出1+2+4+8+ +512=1023个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重10230 克，如果轻了 n(1 n 10) 克，就看n 是由 1，2，4， 8，16， 512中的那些数字组成，则数字对应的那些号箱就是 次品 .在这个方法中，第10 号箱也可不取，这样共取出511 个钢珠，如果重500 克，那么1， 2，4 号箱是次品。 【例 5】计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB、MB、GB 作为存储容量的单位，它们 专业文档 珍贵文档 之间的关系是1KB= 10 2B，1MB = 10 2KB，1GB= 10 2MB 。小明新买了一个MP 3 播放器，存储容量为 256MB，它相当于 _B。 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 256MB=256× 10 2= 18 2KB= 28 2B 【答案】 28 2B 【例 6】向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677 个五号字。现在页面中有1 个五号字，将它复制后粘 贴到该页面，就得到2 个字；再将这2 个字复制后粘贴到该页面，就得到4 个字。每次复制和粘贴 为 1 次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次。 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第7 题， 4 分 【解析】 2 的 10 次方为 1024，2 的 11 次方为 2048，所以需要操作11 次。 【答案】 11次 【例 7】成语 “ 愚公移山 ” 比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有80 万吨重，愚公有两个儿 子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推。愚公和它的子孙每人一生能搬运100 吨石头。如 果愚公是第1 代，那么到了第代，这座大山可以搬完。（已知 10 个 2 连乘之积等于1024） 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级， 1 试 【解析】 设到了第 n 代，这座大山可以搬完 2 0+21+22+ +2n-1 800000 ÷ 100 2 n-1 8000 2 n 8001 2 12=4096，213=8192 答：到了第13 代，这座大山可以搬完。 【答案】 13 代 【例 8】123456789012345678901234567890 1234567890,共 10000 个数字。第一轮去掉在奇数位置（从 左数起） 上的数字， 剩下 5000 个数字 ;第二轮再去掉这5000 个数字中奇数位置上的数字，剩下 2500 个;第三轮， ;直到只剩下一个数字。最后剩下的数字是_ ,这时已经操作了轮。 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，12 题 【解析】 最后剩下的数是接近10000 的 2 n。已知 213=8192， 8192 108192，第二个数正好就是2。另外， 根据操作规律，每2 n 个数，操作n 次剩下最后一个数，所以，操作13 次。 【答案】2，操作 13 次 【例 9】10 个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为 _克。 【考点】进制在生活中的运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第7 题 【解析】 由于无论怎样放都不能使天平平衡，首先可以知道这10 个砝码的重量各不相同。最轻的那个砝码至 少为 1 克，次轻的至少为2 克，由于 123 ，接下来的至少为4 克，由此想到我们熟悉的2 的次幂，当10 个砝码的重量分别为1 克， 2 克， 4 克， 8 克， 16 克， 512 克时满足题意，所 以这堆砝码的总重量至少为12485121023 克。 【答案】 1023克 【例 10】 将 6 个灯泡排成一行，用 和表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个 数字： 1， 2，3，4，5。那么表示的数是。 专业文档 珍贵文档 5 4 3 2 1 【考点】进制在生活中的运用【难度】 5 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 16题，5分 【解析】 从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示 4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32。因此问题当中的表示16+8+2=26。 【答案】 26 模块二、巧求余数问题 【例 11】 已知正整数N 的八进制表示为 8 (12345654321)N，那么在十进制下，N 除以 7 的余数与N 除以 9 的余数之和是多少？ 【考点】巧求余数问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】 2009 年，清华附中，入学测试题 【解析】与十进制相类似，有： 2 88 (12345654321)(111111) 根据 8 进制的弃7 法， 8 (111111) 被 7 除的余数等于其各位数字之和，为6，而 2 636 除以 7 的余数 为 1，所以 8 (111111) 的平方被7 除余 1，即 8 (12345654321) 除以 7 的余数为1； 另外， 8 9(11) ，显然 8 (111111) 能被 8 (11) 整除，所以其平方也能被 8 (11) 整除，即8(12345654321) 除 以 9 的余数为 0 因此两个余数之和为101 【答案】1 【巩固】在 8 进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7 的余数为多少？ 【考点】巧求余数问题【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】类似于十进制中的“ 弃九法 ” ，8 进制中也有 “ 弃 7 法” ，也就是说8 进制中一个数除以7 的余数等于这 个数的各位数字之和除以7 的余数 本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而 68 除以 7 的余数为5，所以这个数除以7 的余 数也为 5 【答案】 5 【例 12】 试求 2006 10 21 除以 992 的余数是多少 ? 【考点】巧求余数问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2 次幂来表达为2 进制： 102 9921111100000， 2006 10 20061 2 211111 个 我们知道在2 进制中 50 2 111.10000.0 5个 1个或以上 一定能被 (1111100000)2整 除 ， 所 以 2 1 1 11= 2006个 160 2 111.1000.0 111111 2000个1个 ， 因 为 60 2 111.1000.0 2000个1个 能 被 (1111100000)2 整除，所以余数为 543210 2 111111=222222 =63，所以原式的余数为63。 【答案】 63 【例 13】 计算 2003 (21)除以 7 的余数 【考点】巧求余数问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】由于 3 28除以 7 余 1，而 200336672 ，所以 2003 21除以 7 的余数为 2 21 3 专业文档 珍贵文档 本题也可以转化为2 进制进行计算： 2003 2 20031 21(1111) 个 ， 2 7(111) ， 所以 2003 22 20031 (21)7(1111)(111) 个 而 200336672，所以 22 20031 (1111)(111) 个 余 2 (11) 3 所以 2003 (21)除以 7 的余数为3 【答案】 3 【例 14】 计算 2003 (31)除以 26 的余数 【考点】巧求余数问题【难度】 4 星【题型】解答 【解析】题中有 3 的次幂，令人联想到将题中的数转化成3 进制下的数再进行计算 2003 333 20032003 31(1000.0)(1)(2222) 个 2个 0 ，而 3 26(222) ， 所以， 2003 33 2003 (31)26(2222)(222) 个2 由于 3 (222) 整除 3 (222) ， 200336672 ，所以 33 2003 (2222)(222) 个 2 余 3 (22) 8 所以 2003 (31)除以 26 的余数为8 【答案】 8 模块三、进制与位值的综合运用 【例 15】 在美洲的一个小镇中，对于200 以下的数字读法都是采取20 进制的。如果十进制中的147 在 20 进制中的读音是“ seythha seythugens ” ， 而十进制中的49在 20进制中的读音是“ naw ha dewugens ” ， 那么 20 进制中读音是“ dewha naw ugens” 的数指的是十进制中的数 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级， 1 试，第 12 题 【解析】 1020 14777（）（） ， 1020 4929（）（） ，所以ha 代表十位， ugens 代表个位， dew 代表 9，naw 代表 2。 2010 92（） =（182） ，所以答案是182. 【答案】 182 【例 16】 一个自然数， 在 3 进制中的数字和是2007， 它在 9 进制中的数字和最小是，最大是。 【考点】进制与位值的综合运用【难度】 5 星【题型】解答 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第9 题 【解析】最大为 2007×3=6021，最小为2007. 【答案】最小2007，最大 6021 【例 17】 在 6 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba，求这个三位数在十进制中为多少? 【考点】进制与位值的综合运用【难度】 5 星【题型】解答 【解析】 210 6 abc666366abcab c ； 210 9 cba999819cbacb a ； 所以 366819abccba ；于是 35803acb ； 因为 35a是 5 的倍数， 80c 也是 5 的倍数所以3b 也必须是5 的倍数， 又(3，5)=1所以， b=0 或 5 当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c0 ，所以 a=16，c=7。但是在6,9 进制， 不可以有一个数字为16 当 b=5，则 35a=3× 5+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后， 3+2c0 。所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数 )因 为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数， 于是 c=2；35a=15+80×2，a=5。所以 (abc)6 =(552)6 =5× 62+5× 6+2=212。这个三位数在十进制中为212。 【答案】212 专业文档 珍贵文档 【例 18】 在 7 进制中有三位数abc ，化为 9 进制为 cba，求这个三位数在十进制中为多少？ 【考点】进制与位值的综合运用【难度】 5 星【题型】解答 【解析】首先还原为十进制： 2 7()77497abcabcabc ； 2 9()99819cbacbacba 于是 497819abccba ；得到 48802acb ，即 2440acb 因为 24a 是 8 的倍数， 40c 也是 8 的倍数，所以b 也应该是8 的倍数，于是0b或 8 但是在 7 进制下，不可能有8 这个数字于是0b， 2440ac ，则 35ac 所以 a为 5 的倍数，c为 3 的倍数 所以，0a或 5，但是，首位不可以是0，于是5a，3c； 所以 77 ()(503)5493248abc 于是，这个三位数在十进制中为248 【答案】 248 【例 19】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人的年 龄 【考点】进制与位值的综合运用【难度】 5 星【题型】解答 【解析】设这个人为a岁，得 (10)(3) 0aa，又 10 (3)(10) 03033aaa，解得0a，不合题意，所以这 个人的年龄不可能是一位数 设这个人是ab 岁，由题意得： (10)(3) 0abab 因为 210 (10)(3) 10,0330393abab ababab，所以 1093abab ，即2ab又因为 0ab是三进制数，a， b都小于 3，所以2a，1b所以，这个人为21 岁 设 这 个 人 为abc 岁 ， 由 题 意 有 ， (10)(3) 0abcabc， 因 为 (10) 10010abcabc， 32 (3) 03332793abcabcabc，所以 100102793abcabc即 732abc 又 a、 b、c都小于 3，所以上述等式不成立所以这个人的年龄不可能是三位数 综上可知这个人的年龄是21 岁 【答案】 21 【例 20】 N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b，使得 N 是十进制整数的四次方 【考点】进制与位值的综合运用【难度】 5 星【题型】解答 【解析】设 b 是所求的最小正整数， 24 777bbxxN，因为质数7 能整除 2 777bb，所以也能整 除 x，不妨设7xm ，m 是大于 0 的自然数。则： 4 2 7777bbm，化简得： 234 17bbm ， 易知， b 的值随 m 的增大而增大，当m=1 时， b=18。 【答案】 18
