全国各地2008年数学高考真题及答案-(湖南.理)含详解.pdf
(1,4) (1,1) (3,3) X y O x=1 1 x+2y-9=0 x-y=0 2008 高考湖南理科数学试题及全解全析 一、选择题 :本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1复数 31 ()i i 等于 ( ) A.8 B.8 C.8i D. 8i 【答案】 D 【解析】由 33 4 12 ()()88 i ii iii ,易知 D正确 . 2 “12x成立”是“(3)0x x成立”的 ( ) A充分不必要条件B.必要不充分条件 C充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】由12x得13x，由(3)0x x得03x，所以易知选B. 3.已知变量x、y 满足条件 1, 0, 290, x xy xy 则xy的最大值是 ( ) A.2 B.5 C.6 D.8 【答案】 C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点 (3,3)时,xy最大值是336. 故选 C. 4.设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则 c= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 2 (2,3 )N 12 (1)1(1)(), 3 c PcPc 12 (1)(), 3 c Pc 31 ()()1, 33 cc 31 1()()1, 33 cc 解得c=2, 所以选 B. 5.设有直线m、n 和平面、,下列四个命题中，正确的是( ) A.若 m,n,则 mn B.若 m,n,m,n,则 C.若，m,则 m D.若，m，m,则 m 【答案】 D 【解析】由立几知识, 易知 D正确 . 6.函数 2 ( )sin3sincosf xxxx在区间, 42 上的最大值是( ) A.1 B. 13 2 C. 3 2 D.1+3 【答案】 C 【解析】由 1cos231 ( )sin 2sin(2) 2226 x fxxx, 5 2, 42366 xx max 13 ( )1. 22 f x故选 C. 7.设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且2,DCBD2,CEEA 2,AFFB 则ADBECF与BC( ) A.反向平行B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直 【答案】 A 【解析】由定比分点的向量式得: 212 , 1233 ACAB ADACAB 12 , 33 BEBCBA 12 , 33 CFCACB 以上三式相加得 1 , 3 ADBECFBC 所以选 A. 8.若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上横坐标为 3 2 a 的点到右焦点的距离 大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) C1D1 B1 A1 O D C B A 【答案】 B 【解析】 2 0 33 , 22 a exaeaaa c 2 3520,ee2e或 1 3 e(舍去 ),(2,e故选 B. 9.长方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2,AD=3,AA1=1, 则顶点 A、B 间的球面距离是( ) A.22B.2C. 2 2 D. 2 4 【答案】 C 【解析】 11 22 2,BDACR2,R设 11 ,BDACO则2,OAOBR , 2 AOB2, 2 lR故选 C. 10.设 x表示不超过x 的最大整数（如2=2, 5 4 =1）,对于给定的nN * , 定义 (1)(1) , (1)(1) x n n nnx C x xxx x1,则当 x 3 ,3 2 时，函数 8 x C的 值域是 ( ) A. 16 ,28 3 B. 16 ,56 3 C. 28 4, 3 28,56D. 1628 4,28 33 【答案】 D 【解析】当x 3 ,2 2 时， 3 2 8 816 , 3 3 2 C当2x时，1,x所以 8 8 4 2 x C; 当2,3时， 2 8 87 28, 21 C 当3x时，2,x 8 8728 , 323 x C 故函数 x C8的值域是 1628 4,28 33 . 选 D. 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11. 2 1 1 lim_ 34 x x xx . 【答案】 1 5 【解析】 2 111 1111 limlimlim. 34(4)(1)(4)5 xxx xx xxxxx 12.已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的右焦点为F,右准线为l,离心率 e= 5 . 5 过顶点 A(0,b)作 AMl,垂足为 M，则直线FM 的斜率等于. 【答案】 1 2 【解析】 2 (, ), a Mb c 5 5 ,2 , 5 eac bc 2 01 . 2 FM bc k ab c c 13.设函数( )yf x存在反函数 1( ) yfx,且函数( )yxf x的图象过点 (1,2), 则函数 1( ) yfxx的图象一定过点. 【答案】 (-1,2) 【解析】由函数( )yxf x的图象过点 (1,2)得:(1)1,f即函数( )yf x过点(1, 1), 则其反函数过点( 1,1),所以函数 1( ) yfxx的图象一定过点( 1,2). 14.已知函数 3 ( )(1). 1 ax f xa a （1）若 a0,则( )fx的定义域是; (2) 若( )f x在区间0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是. 【答案】 3 , a , ,01,3 【解析】（1）当 a0 时，由30ax得 3 x a ,所以( )fx的定义域是 3 , a ; (2) 当 a1 时，由题意知13a;当 040=AQ，所以点Q 位于点 A 和点 E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离 . 在 RtQPE中， PE=QE· sinsinsin(45)PQEQEAQCQEABC = 5 153 57. 5 所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分13 分） 若 A、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦 AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点P，则称弦AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x,0） 存在无穷多条“相关弦”.给定 x02. （I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用x0表示） ：若不存在，请说明理由. 解: （I）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、B 的坐标分别是 （x1,y1） 、 （x2,y2） （x1 x2）,则 y 2 1=4x1, y 2 2=4x2, 两式相减得（y1+y2） （y1-y2）=4（ x1-x2）.因为 x1 x2,所以 y1+y20. 设直线 AB 的斜率是k，弦 AB 的中点是M（xm, ym）,则 k= 12 1212 42 m yy xxyyy .从而 AB 的垂直平分线l 的方程为 (). 2 m mm y yyxx 又点 P（x0,0）在直线l上，所以 0 (). 2 m mm y yxx 而0, m y于是 0 2. m xx故点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2. ( ) 由( ) 知，弦AB所在直线的方程是() mm yyk xx，代入 2 4yx中， 整理得 222 2 ()2()0. mmmm k xk ykxxykx（· ） 则 12 xx、是方程（·）的两个实根，且 2 122 () . mm ykx xx k 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则 22222 121212 ()()(1)()lxxyykxx 2222 121212 2 2 2 2 2242 222222 00 (1)()44(1)() 2 () 4 4(1) 4 (4)(4)4(1)16 4(1)2(1)4(1)2(3) . m mm m m m m mmmmmmm mmmm kxxx xkxx x yx y x y y yxyyyxx xyxxyx 因为 03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 2 m y=2(x0-3)时, l 有最大值2(x0-1). 若 23 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为 2（x0-1） ；当 2 x 03 时，点 P（ x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 21.（本小题满分13 分） 已知函数 2 2 ( )ln (1). 1 x f xx x (I) 求函数( )f x的单调区间 ; （）若不等式 1 (1) n a e n 对任意的N*n都成立（其中e 是自然对数的底数）. 求 a 的最大值 . 解: （）函数( )fx的定义域是( 1,)， 22 22 2ln(1)22(1)ln(1)2 ( ). 1(1)(1) xxxxxxx fx xxx 设 2 ( )2(1)ln(1)2 ,g xxxxx则( )2ln(1)2 .g xxx 令( )2ln(1)2 ,h xxx则 22 ( )2. 11 x h x xx 当10x时，( )0,h x( )h x在（ -1，0）上为增函数， 当 x0 时，( )0,h x( )h x在(0,)上为减函数 . 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而h(0)=0,所以( )0(0)g xx， 函数 g(x)在( 1,)上为减函数 . 于是当10x时，( )(0)0,g xg 当 x0 时，( )(0)0.g xg 所以，当10x时，( )0,fx( )f x在（ -1，0）上为增函数. 当 x0 时，( )0,fx( )f x在(0,)上为减函数 . 故函数( )f x的单调递增区间为（-1，0） ，单调递减区间为(0,). （）不等式 1 (1) n a e n 等价于不等式 1 ()ln(1)1.na n 由 1 11 n 知， 1 . 1 ln(1) an n 设 11 ( ),0,1 , ln(1) G xx xx 则 22 2222 11(1)ln (1) ( ). (1)ln (1)(1)ln (1) xxx G x xxxxxx 由（）知， 2 2 ln (1)0, 1 x x x 即 22 (1)ln (1)0.xxx 所以( )0,Gx 0,1 ,x 于是 G(x)在 0,1上为减函数 . 故函数 G（x）在0,1上的最小值为 1 (1)1. ln 2 G 所以 a 的最大值为 1 1. ln 2
