北师版图形的平移和旋转知识点.pdf

1 / 21 §3.1 生活中的平移 一、新知要点 (1) 平移的概念（2）平移的特点 (3) 平移的基本性质 火车沿笔直的轨道行驶、缆车沿笔直的索道滑行、火箭升空等物体都是沿 着一条直线运动的，那么在运动的过程中这些物体的形状、大小、位置等因素 中, 哪些没有发生改变 ? 哪些发生了变化 ?这种运动就叫做什么？ 1. 图形的平移 例 1: 下图中的图形 A向右平移了 6 格得到图形 A (1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这 样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。 （2）平移的特点： 平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点。经过 平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。 平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。 例 2、观察下图 ABE 沿射线 XY 的方向平移一定距离后成为CDF。找 出图中存在的平行且相等的三条线段和一组全等三角形。 A A 2 / 21 (3) 平移的基本性质： 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角 相等。 二、新知巩固（练习） 1. 平移改变的是图形的（） A 位置 B 大小 C 形状 D 位置、大小和形状 2. 经过平移，对应点所连的线段（） A 平行 B 相等 C 平行且相等 D 既不平行 , 又不相等 3. 经过平移, 图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离, 下面说法正确的是 （） A 不同的点移动的距离不同 B 既可能相同也可能不同 C 不同的点移动的距离相同 D 无法确定 4. 如图，四边形ABCD平移后得到四边形 EFGH ， 填空（ 1）CD=_ ， （2） F _ （ 3）HE= ，（ 4） D=_， （ 5）DH=_ 。 5. 如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的， 则线段 CD 、AB关系是 _. 3 / 21 6.试着做一做： （1）把图形向右平移7格后得到（2）把图形向左平移5 格后到的图形 涂上颜色。的图形涂上颜色。 （3）画出小船向右平移6格后的图形 (4)画出向右平移 6 格后的图形 三、归纳小结 通过本节课的学习，我们明白了什么叫平移。（在平面内，将一个图形 沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。） 总结出了平移的性质。（平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对 应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。） 四、课外作业： 1.将长度为 3cm的线段向上平移20cm ，所得线段的长度是（） A 3cm B 23cm C 20cm D 17cm 2. 关于平移的说法，下列正确的是（） A 经过平移对应线段相等； B 经过平移对应角可能会改变 C 经过平移对应点所连的线段不相等； D 经过平移图形会改变、 3. 把可以平移到黑色位置的涂上颜色。 4. 把图中的三角形ABC （可记为 ABC ）向右平移个格子，画出所得的 ''' CBA。 B C A 4 / 21 §3.2 简单的平移作图 一、知识回顾 1. 平移的概念 2. 平移的性质 二、新知要点 1. 平移图形的规律，作图的顺序； 2. 平行线的作法及对应点的连结； 3. 平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。 例 1：观察理解平移后的图形。 例2：把图中的三角形ABC （可记为ABC ）向右平移8 个格子，画出所得的 ''' CBA。 度量 ABC与 ''' CBA的边，角的大小，你发现什么呢？ 解：（ 1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段，对应 角，图形的形状和大小都。 （2）、平移的对应点所连线段。 （3）、其中BC与 B C的关系是（位置关系和数量关系）。 线段 AB与 AB的关系是（位置关系和数量关系）。 若 AC=5 ，则 AC= ，若 BAC=60 °，则 BAC= 。 若 ABC周长为 30，则 ABC周长为。 B C A 5 / 21 若 ABC面积为 S，则 ABC 面积为。 例 3：画出平移后的图形。 通过操作我们发现： 1在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后 得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了 几格。 2在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置， 先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。 3用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或 竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。 4平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。 例 4：如图，经过平移，ABC 的顶点A 移到了点D，请作出平移后的三角形。 分析：因为A 与 D 是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向射线 AD，平移距离线段AD的长， 作法： 1.分 别 过 点B、 C 沿AD 方 向 作 线 段BE、 CF， 使 它 们 与AD 平 行 且 相 等 2.顺次连结D、E、F 则 DEF即为所求。 参考图 三、新知巩固 1. 分别画出将向下平移4 格，向左平移8 格后得到的图形。 6 / 21 分析：要分别画出将向下平移4 格、向左平移8 格后得到的图形，先要分别描出 四个顶点向下平移4 格、向左平移8 格后的新位置上的四个顶点，再把四个顶点顺次连接 起来，就得到符合题意要求的图形。 2. 画出花瓶向上平移4 格后的图形，再 3.画出三角形向右平移6 格后的图形， 画出它继续向左平移7 格后的图形。再画出梯形向下平移5 格后的图形 四、归纳小结 通过本节课的学习我们学会了平移作图。 确定一个图形平移后的位置所需条件为：图形原来的位置；平移的方向；平移 的距离。 五、课外作业 1. 下列说法正确的是（） A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等 B 我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了一段距离”看作“火车沿着铁轨方 向的平移” C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在 比大楼还高呢，我长高了！” D 在图形平移过程中，图形上可能会有不动点 2. 画画做做想想 （ 1）移 6 格后得到的涂上颜色。 7 / 21 （2）分别画出将向下平移5 格、向右平移10 格后得到的图形。 （3）画出小旗向右平移3 格再向下（4）分别画出将图形向上平移3格、 平移 2 格后的图形向左平移 8格后得到的图形。 3. 如图，已知ABC ，画出 ABC沿 PQ 方向平移 2cm后的 ABC 4. 二年级同学表演节目，11 个男同学排成一排，每两个男生之间安排一个女生，表演节 目的男女生一共有多少人？ 8 / 21 § 3.3 生活中的旋转 一、知识回顾 下列现象哪些是平移? 平移的特点有哪些？ 平移是指整个图形平行移动，包括图形的每一条线段，每一个点. 经过平 移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。 平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。 日常生活中，我们经常见到（钟表、风扇、汽车方向盘，摩天轮，旋转木 马）钟表指针的转动、风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动等情景。（1) 上面情景中的转动现象，有什么共同特征？(2) 钟表的指针、钟摆在转动过程 中，其形状、大小、位置是否发生改变？风扇扇叶的转动、汽车方向盘的转动 呢？ 二、新知要点 1. 旋转 在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图 形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变 图形的大小和形状。 注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上 的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。在物体绕着一个定点转动时， 它的形状和大小不变。因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。 例 1如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB ，它绕 O点按顺时针方向旋 转得到 OEF ，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B分别移动到什么位置？ 9 / 21 解 ： （ 1 ） 旋 转 中 心 是O ， AOE、 BOF 等 都 是 旋 转 角 （2）经过旋转，点 A和点 B分别移动到点 E 和点 F 的置。 2旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等； （4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。 三、新知巩固 1. 如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC, 它绕 O点按顺时针方向旋 转得到四边形 DOEF 。在这个旋转过程中 （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B分别移到什么位置？ （3）AO与 DO 的长有什么关系？ BO与 EO呢？ （4）AOD 与BOE 有什么大小关系？ D F E O A B C 2. 在正方形 ABCD 中， 1230°， 试把ADE绕点 A顺时针旋转 90°， 观察整个图形中角与角之间，线段 与线段之间，存在哪些相等的关系？ 探索 DE ，BF ，AF之间的关系。 2 1 MF D C A B E 四、 归纳小结 认识了旋转的图形； 旋转图形的三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向； 旋转图形的性质。 五、课外作业 1. 平移不改变图形的_，只改变图形的位置。故此若将线段AB 向右平移3cm， 得到线段CD ，如果 AB=5，则 CD=_ 2. 下列关于旋转和平移的说法正确的是（） A旋转使图形的形状发生改变 B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小 D对应点到旋转中心距离相等 3. 如图，正方形ABCD 可以看成由三角形_旋转而成的，其旋转 10 / 21 中心为 _点，旋转角度依次为_，_， _。 4下列现象哪些是平移，哪些是旋转。 5会变的头像 左图中的头像，是一个顽皮的小孩，正在嬉皮笑脸地开玩笑。 倒过头来仔细看看，再说一说这是个什么人？他是什么样的表情？ 11 / 21 §3.4 简单的旋转作图 一、知识回顾 1. 旋转的概念 2. 旋转的三要素 3. 旋转的性质 如图，在方格上作出“小旗子”绕O 点按顺时针方向旋转90 度后的图 案，并简述理由。 二、新知要点 简单图形的旋转作图 两种情况：给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小； 给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。 作图步骤：作出图形的几个关键点旋转后的对应点； 顺次连接各点得到旋转后的图形。 例 1如图， ABC绕 C点旋转后，顶点A的对应点为点 D，试确定顶点 B? 对应点的位置，以及旋转后的三角形 分析：绕 C 点旋转， A 点的对应点是D 点，那么旋转角 就是 ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋 转角，即 BCB =ACD ，?又由对应点到旋转中心的距离相 等，即 CB=CB ，就可确定 B的位置，如图所示 解：（ 1）连结 CD （2）以 CB为一边作 BCE ，使得 BCE= ACD （3）在射线 CE上截取 CB =CB O 12 / 21 则 B即为所求的 B的对应点 （4）连结 DB 则DB C就是 ABC绕 C点旋转后的图形。 例 2如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，且 DE= 1 4 ，ABF是ADE的旋转图形 （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结 EF ，那么 AEF是怎样的三角形？ 分析：由 ABF是ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF? 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很 容易得到。 ?ABF与ADE是完全重合的，所以它是直角三角形 解：（ 1）旋转中心是 A点 （2） ABF是由 ADE旋转而成的 B是 D的对应点 DAB=90 °就是旋转角 （3）AD=1 ，DE= 1 4 AE= 22 1 1( ) 4 = 17 4 对应点到旋转中心的距离相等且F 是 E的对应点 AF= 17 4 （4） EAF=90 °（与旋转角相等）且AF=AE EAF是等腰直角三角形 三、新知巩固 1平面图形的旋转一般情况下改变图形的（） A 位置B 大小 C 形状D 性质 29 点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（） A 30 °B 45° C 60°D 90° 3将平行四边形ABCD旋转到平行四边形ABCD的位置，下列结论错误的是 （） AAB=A BBAB AB C A=A D ABC ABC 4做一做 在图 1 中，将大写字母A 绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90 度，请作出旋转后 的图案 13 / 21 图 1 四、归纳小结 图形的旋转 图形旋转的性质 简单图形的旋转作图步骤 五、课外作业 1钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_。 2菱形ABCD绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形DCBA，则四边形DCBA是 _。 3 ABC绕一点旋转到ABC ，则 ABC和 ABC的关系是 _。 4钟表的时针经过20 分钟，旋转了 _度。 5图形的旋转只改变图形的_，而不改变图形的_。 6在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后 的图案。 7将一个等腰直角三角形ABC（如图2A 是直角）绕着它的一个顶点B 逆时针方向 旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。 （1）45°（2）90°（3）135°（4）180° 图 2 8将下面的图案绕点O 顺时针方向旋转90 度，作出旋转后的图形。 14 / 21 图 3 对比平移、轴对称两种图形变换, 旋转变换与它们有哪些共性和区别? §3.5 他们是怎样变过来的 一、知识回顾 1.平移的概念 : 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离， 这样的图形运动称为平移 2.平移的性质： 1.平移不改变图形的大小和形状。 2.对应点所连的线平行且相等。 对应线段平行且相等。 对应角相等。 3.旋转的概念： 4.旋转的性质 5.轴对称的概念 6.轴对称的性质 观察下列图形是怎么变过来的？ 二、新知要点 例 1：下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的 旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？ 15 / 21 解读： (1) 整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形 共同组成； (2) 整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的； (3) 整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左 右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90 度前后的图形共同组成； (4) 整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。 通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的 三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。 例 2：“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？ 三、新知巩固 1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？ 2. 如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平 移、旋转这三种运动，将方格中的ABC 重合到 DEF 如果一个图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够重合， 那么这个图形叫做轴对称图形 16 / 21 例：怎样将下图中的甲图变成乙图案？ 2、下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得 到的？ 看一看： 下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？ 1 2 对称轴 对称轴 17 / 21 3 试一试： 怎样将下图中的甲图变成乙图？ 做一做： 如图，在正方形ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 BA延长线上的一点，AF= 2 1 AB， （1）求证： ABE ADF （2）阅读下列材料：如图，把ABC 沿直线平移线段BC 的长度，可以变到ECD 的位置；如图，以BC 为轴把 ABC 翻折 180°，可以变到DBC 的位置；如图，以 点 A 为中心，把 ABC 旋转 180°，可以变到AED 的位置，像这样其中一个三角形是由 另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小 的图形变换，叫做三角形的全等变换 图图图图 请回答下列问题： （1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE 变到 ADF 的位置？ （2）指出图中线段BE与 DF 之间的关系 1.旋转的三要素 （1）旋转中心； （2）旋转方向； （ 3）旋转角度。 18 / 21 三、解答题 9下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形 并说明旋转的角度 11如图，菱形ABCD是菱形ABCD绕点 O顺时针旋转90°后得到的，你能作 出旋转前的图形吗？ 12RtABC ，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、 180°和顺时针旋转90°， （1）试作出RtABC旋转后的三角形； （2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？ 13如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图 形： （1）90°；（ 2）180°；（ 3）270° 你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？ 19 / 21 14如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案 §3.6 简单的图案设计 图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到 的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。 2.中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180° ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于 中心的对称点。 3.中心对称图形 如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形 是中心对称图形。 4.中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （ 2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平 分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 5. 在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180 o 后不变的字是 _ 在字母“ X”、“ V”、“ Z”、“ H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不 能与原图形重合的是_ 3. 如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O 作 0 90o 的旋转，那么旋转时露出的ABC的面积（ S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下 面表示 S与 n 的关系的图象大致是图中的（） （图 1）（图 2） 4. 如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平 移、旋转这三种运动，将方格中的ABC 重合到 DEF 5. 如图是跷跷板示意图，模板AB 通过点O，且可以绕点O 上下转动，如果OCA 90 ， CAO= 25 ， （1）画出在空中划过的线； （2）上下最多可以转动多少角度？ 20 / 21 三：【课后训练】 5. 如图， ABC 是直角三角形，BC是斜边，将ABP 绕点 A 逆时 针旋转后，能与ACP 重合，已知AP=3，则 PP 的长度为（） A 3 B32 C 52 D 4 6. ABC 是等腰直角三角形，如图，AB=AC ， BAC 90° ， D 是 BC 上一点， ACD 经过旋转到达ABE 的位置，则 其旋转角的度数为（） A 90° B120° C60° D45° 7. 如图，先将方格纸中“猫头”分别向左平移6 格、 12 格，然后分析所画三个图案的关 系 8. 如图，已知AOB ，要求把其往正东方向平移3cm，要求留画痕，写作法 9. 已知边长为 1 个单位的等边三角形ABC ， （ 1）将这个三角形绕它的顶点C按顺时针方向旋转30 作出这个图形； （ 2）再将已知三角形分别按顺时针方向旋转60 、90 、120，作出这些图形 10. 如图，在ABC中， AB=AC ， BAC=40 ° ， AD是 BAC的平分线，DEAB ， DFAC，垂足分别是E、F，请你用对称和旋转的知识回答下列问题： （l ） ADE 和 DFA 关于直线AD 对称吗 ?为什么？ （2）把 BDE 绕点 D 顺时针旋转160后能否与 CDF 重合？为什么？ （3）把 BDE 绕点 D 旋转多少度后，此时的BDE 和 CDF 关于直线BC对称？ （二）： 【课前练习 】 21 / 21 3.4 简单的旋转作图 四、应用拓展 例 3如图， K 是正方形ABCD内一点，以AK 为一边作正方形AKLM ，使 L、M? 在 AK的同旁，连 接 BK 和 DM ，试用旋转的思想说明线段BK 与 DM 的关系 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、 对应点的知识来说明 解：四边形ABCD 、四边形 AKLM 是正方形 AB=AD ，AK=AM ，且 BAD= KAM 为旋转角且为90° ADM 是以 A为旋转中心， BAD为旋转角由 ABK旋转 而成的 BK=DM