第十三章无穷级数习题解答.doc

班级 姓名 学号 第十三章 无穷级数习题 常数项级数的概念及其性质1判断下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）解 (1)原式，该级数收敛；（2）因该级数收敛，且它的和为（3）级数发散。2设级数收敛，且，证明级数收敛证明：有题设知级数收敛，可设，该级数收敛。习题 正项级数及其审敛法1利用比较法判断下列级数的敛散性：（1）； （2）解 （1）因级数收敛，该级数收敛；（2）级数收敛，该级数收敛。2利用比值法或根值法判断下列级数的敛散性：（1），并求极限； （2）解 （1）由比值审敛法可知该级数收敛，再根据级数收敛的必要条件可知（1），由根值审敛法可知，该级数收敛。习题 绝对收敛及条件收敛判别下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：1解 数列是单调递减的，且由莱布尼兹审敛法可知，该级数收敛，又发散，因此该级数条件收敛。2解 因级数收敛，因此该级数绝对收敛。3解 ，因此级数收敛，级数绝对收敛。4 解是条件收敛的。习题 幂级数1求下列幂级数的收敛域：（1）； （2）解 （1），收敛区间为，时级数为是收敛的，时级数为是发散的，因此该级数的收敛域为；（2）时该级数绝对收敛，当时该级数发散，收敛区间为，当时级数为是发散的，因此该级数的收敛区间是。2求下列幂级数在其收敛域内的和函数：（1）；解 级数的收敛域是，记（2），并求级数的和解 级数的收敛域为，记习题 函数的幂级数展开式1将函数展开成的幂级数解 2将函数展开成的幂级数解 习题 傅立叶级数1设是周期为的周期函数，且将展开成傅立叶级数，并画出与和函数的图形，指出其异同点解 所以有2将函数在上展开成傅立叶级数解 将周期延拓，3将函数展开成以为周期的余弦级数解 将先偶延拓再周期延拓参考答案习题1（1）收敛； （2）收敛； （3）发散习题1（1）收敛； （2）收敛 2（1）收敛，； （2）收敛习题1条件收敛 2绝对收敛 3绝对收敛 4条件收敛习题1（1）； （2）2（1）, ； （2）, ，习题1 2习题123 7