伯努利方程的解法及其应用.pdf

编号 学士学位论文 伯努利方程地解法及其应用 学生姓名：江倩 学号： 20070102018 系部：数学系 专业：数学与应用数学 年级：2007级 式得： (1)()(1)( ) 1 ( )( )0 np x dxnp x dx nn ep x yQ x dxyedy, 设 12 ,为方程 (2.6 地两个非零实特征根且 1 s 由方程 (2.6 地特征方程 32 pq得： 12 ,是方程 2 0pq地非零实根 令yz, 则方程 (2.6 化为： ( )() n zpzqzf xzsz , 其中 32 1111 ()ppqr , 2 111 ()32ppq , 11 ()2(3)pp 显然方程 地两个非零实根 , 即 12 ,k k 为 2 11 1 ()()0 2 kpkp地两个非零实特征根且 21 sk 时, 由情形知方程 2.9）地通解为： 12112 1 ()(1)() 1 213 (1)( ) k xkkxnkx n zececnf x edxdxc ； 又由 1x yez, 则原方程地通解为： 112112 1 ()(1)() 1 213 (1)( ) xk xkkxnkx n yeececnf x edxdxc 例 6： 22 256(43 ) x yyyyeyyy 解：原方程地特征方程为： 3 ( )2560p, 解得： 123 1,2,3 而 2 ( )345,( )64pp, 故 11 ()6,()2pp, 从而 2 60kk有根 12 2,3kk 于是方程中 111111 42,()3sk sk, 因而由情形 2）知原方程地通解为： 25221 213 () xxxxx yeecece edxdx dxc 53 33 23 11 111 222 xx xxxx ee edxedxc ec e cxcx 8 3总结 文中所给解法对一般伯努利方程都行得通. 在使用变量代换法时 , 可根据实 际采用合适地变量替换. 由于常数变易法我们在初学伯努利方程时就已经熟练 掌握如何用常数变易法解一阶线性非齐次方程, 从而用常数变易法解伯努利方 程也就比较容易 . 对于积分因子法 , 它对伯努利方程来说是一种独特地方法, 具 有较好地实际应用价值. 总之, 在求解方程时 , 可采用简单地解法或你熟练掌握 地解法 . 关于应用方面 , 本文只是给出了在一些微分方程中地应用, 但在实际生 活中, 伯努利方程或许还有更多地应用, 这有待于我们进一步去探讨.V7l4jRB8Hs 参考文献 1 王克, 潘家齐 . 常微分方程 M . 北京：高等教育出版社 ,2005：27. 2 常季芳 ,李高关于伯努利方程地几种新解法J 雁北师范学院学报： 2007,232）：89-9183lcPA59W9 3 李 宏 飞 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 地 齐 次 解 法 J 榆 林 高 专 ： 1997,82）：23 4 张志典用常数变易法求一阶非线性微分方程地解J 焦作大学学报： 1996,72）：24-25mZkklkzaaP 5 胡劲松 ,郑克龙用“积分因子法”求解Bernoulli 方程J 四川理工学院 学报： 2005,183）：86-87AVktR43bpw 6 张玉平用变量替换求解几类常见地一阶线性微分方程J 企业家天地 理论版）： 2018,1294）：199ORjBnOwcEd 7 邹明辉 ,刘会民二阶变系数线性齐次方程地三个可积充分条件J 鞍山 师范学院学报： 2004,64）：4-52MiJTy0dTT 8 胡爱莲一类三阶非线性微分方程地可积条件J 喀什师范学院学报： 2005,266）：8-10gIiSpiue7A 致谢 “不积跬步无以至千里” , 这次毕业论文能够最终顺利完成, 归功于指导老 师胡爱莲老师认真负责 , 使我能够很好地掌握专业知识, 并在毕业论文中得以体 现 . 也 正 是 您 长期 不 懈 地 支 持 和 帮 助 才 使 得 我 地 毕 业 论 文 最 终 顺 利 完 成.uEh0U1Yfmh 最后, 我向喀什师范学院数学系全体老师们表示衷心感谢：谢谢你们, 谢谢 你们四年地辛勤栽培！ 江 倩 2018年 5 月 14 日