2019-2020学年数学北师大版选修4-5课件：1.4.3 几何法、反证法 .pptx

第3课时 几何法、反证法,1.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为 几何法. 【做一做1】 已知x,y,z(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)SBDF+SAEF+SDCE,得1·1·sin 60°x(1-y)sin 60°+y(1-z)sin 60°+z(1-x)sin 60°. 整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1,即得证.,2.反证法 反证法证不等式是先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.,名师点拨 反证法中的数学语言 反证法适宜证明“存在性问题”“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反证法.下面列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此.,【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时,假设正确的是( ) A.三个内角都小于60° B.三个内角都大于60° C.三个内角中至多有一个大于60° D.三个内角中至多有两个大于60° 解析:“至少有一个”的否定是“一个都没有”,则假设为“三个内角都小于60°”. 答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“×”. (1)用反证法证明命题“若p,则q”时,非q为假,则q即为真.( ) (2)要证明“a,b至少有一个为负数”,用反证法应假设为“a,b为正数”.( ) (3)“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”.( ) 答案:(1) (2)× (3)× (4),探究一,探究二,思维辨析,分析从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理来证明.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形,先要研究所证不等式两边的结构特点,再把其中的字母当作图形的边长,最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不等式.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,分析(1)代入即可证明;(2)利用反证法,并结合(1)中的结论推得矛盾,从而证明不等式.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 1.利用反证法证明不等式,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限种,然后证明这种反面的结论都是不可能的,是与已知条件、已知事实或已证明过的定理相矛盾的. 2.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”“至少”等字句时,可考虑使用反证法. 3.利用反证法证明不等式要把握三点: 必须先否定结论,在对原命题进行否定时,应全面、准确,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的,反证法体现了“正难则反”的策略. 反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证;否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. 推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等,但推导出的矛盾必须是明显的.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,4.设a,b,cR,且a+b+c=0,求证:ab+bc+ca0. 证明假设命题不成立,即ab+bc+ca0,则2ab+2bc+2ca0.又a2+b2+c20,所以(a+b+c)20,这与a+b+c=0矛盾,所以原命题成立.,1,2,3,4,5,