高考数学最值问题.pdf

1 高考数学“最值”问题 最值作为高中数学的一个重要内容，一直是高考考查的重点，也是高 考考查的一个难点，下面就一些最值问题作出分析： 最值问题一般可分为两种形式， 一是函数的最值； 二是多项式的最值。 一、函数的最值 函数是高中数学的基础内容，它贯穿于整个高中数学知识，而最值又 是函数最重要的问题，因此在高考中经常考查，考查形式大致有两种：1、 直接求函数的最值； 2、恒成立问题转化为求函数最值。 1、直接求函数最值。 对基本初等函数或由基本初等函数复合而成的简单函数的最值。 如：已知xxf 2 log)(，8 ,2x，求)()( 22 xfxf的最值。 解：由题可得： 82 82 2 x x 222x， 令 2 2 222 log)2(log)()()(xxfxfxg x 令 2 3 , 1,2logtt x 1) 1(2)( 22 ttttg 3min)(tg，此时1t 4 21 max)(tg，此时 2 3 t 22x当时，)()( 22 xfxf最大值为 4 21 ； 当2x时，)()( 22 xfxf 最小值为 3。 该题为二次函数与对数函数的复合函数，求其最值，首先注意找出定 义域，这也是我们解决函数问题的基本要求，然后利用换元法将求原函数 的最值转化为求二次函数的最值，结合基本初等函数的性质求解，其常见 2 的求解方法还有配方法、判断式法等等。 又如求函数) 2 1 )(4()( 2 xxxf在2, 2上的最大值，最小值。 解：)1)(43(43)4() 2 1 (2)( 22 xxxxxxxxf x)1,2(1) 3 4 , 1( 3 4 )2, 3 4 ( )(xf+ 0 - 0 + )(xf 极大值极小值 又0)2(f， 2 9 )1(f， 27 50 ) 3 4 (f，0)2(f 函数)(xf最大值为 2 9 )1(f，最小值为 27 50 ) 3 4 (f。 对于解析式较复杂的一类连续函数的最值的求解可以利用导数来求 解。 2、恒成立问题转化为求最值 对涉及一些求参数范围的恒成立问题时通常采用分离参数，转化为求 函数的最值问题。 如函数0),1ln()( 2 bxbxxf，函数)(xf在定义域上单调递增， 求b的取值范围。 解：)(xf在, 1内单调递增 0)(), 1(xfx恒成立 0 1 22 1 2)( 2 ' x bxx x b xxf 022 2 bxx 3 ), 1(22 2 xxxb对恒成立 令xxxg22)( 2 m a x)(xgb 2 1 2 1 ) 2 1 (2)( 2 xxg 2 1 b 与函数相关的一些恒成立问题最终转化为求函数最值问题，常见的单 变量恒成立的几种形式有： 1、)(xfa恒成立 max )(xfa；)(xfa恒成立 min )(xfa。 2、)()(,xgxfbax恒成立0)()( min xgxf。 成立)()(,xgxfbax0)()( max xgxf。 二、多项式的最值问题 多项式的最值问题通常有两种基本方法：1、数形结合（线性规划） ； 2、不等式（基本不等式，柯西不等式） 。 1、数形结合 对于多项式的最值求法可考查其几何意义结合图像求出其最值。 如：已知yx,满足约束条件： 3053 43 1 yx yx x 1、求 5 5 x y z的取值范围； 2、求 22 yxz的取值范围。 4 解： （1）由题作出可行域 5 5 x y z，可看作点),(yx与点)5,5(连线的斜率大小，由图可得 PBPC kzk, 5 4 , 15 26 PBPC kk 15 26 5 4 z （2） 22 yxz，可将z 看作点),(yx与原点)0,0(的距离。 结合不等式区域A 到原点距离最小为 3 34 ， 最大为 5 754 OC 25 754 9 34 z 对于此类问题，首先注意将求多项式最值问题转化为几何意义，再运用数 形结合的思想求解。 2、应用不等式求解多项式的最值 多项式的最值通常也可应用几个重要不等式，柯西不等式来求解。 这种形式在近三年湖北卷中都有出现，几乎属于必考内容。 如：已知632,cbaRcba， 则 222 94cba的最小值为。 解： )3()2()111(36)31211()32( 22222222 cbacbacba 即：1294 222 cba 对于一些含有约束条件的多项式的最值问题，一般可以采用柯西不等 5 式处理，配凑构造两组数使之符合柯西不等式的形式，同时要注意符号成 立的条件。