中考数学复习必备——相似三角形及其应用.pdf
中考数学复习必备 相似三角形及其应用 知识点回顾： 相似三角形及其应用是中学的一个重要内容，学好相似三角形不仅能使我们对图形相似 有更深刻的认识， 也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高在各种考试中， 相似三角形及其应用都是重点考查的内容它包括：了解比例的基本性质，了解线段的比、 成比例线段， 通过实例了解黄金分割；了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的 条件和性质；能够利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度） 知识点一：比例线段 1在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于，那么这四条线段叫做成比 例线段 2若 b a c b ，则b叫做a、c的 3比例的性质：(1) 若 b a d c (b0，d0) (2) 若 b a d c b ba (3) 若 b a d c = n m （bdm 0）， 那么 ndb mca 4若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC) ，且使是 和的比例中项，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点 例 1：（2009 山西太原） 如图 1 是一种贝壳的俯视图，点C分线 段AB近似于黄金分割已知AB=10cm，则AC的长约为 cm （结果精确到0.1cm） 解析： 本题考查黄金分割的有关知识 由题意知 2 ACBCAB， 2 1010ACAC，解得 x 6.2 ， 故填 6.2. 同步检测一： 图 1 1 （ 2009 年孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时，越给人一种美感如图2，某女士身高165cm ，下半身长x与身高l的比值 是 0.60 ，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A4cm B6cm C 8cm D10cm 2 （ 2009 年衢州）在ABC中，AB=12，AC=10，BC=9， AD是BC边上的高 . 将ABC按如图所示的方式折叠，使 点A与点D重合， 折痕为EF，则DEF的周长为 （） A9.5 B10.5 C11 D15.5 知识点二：相似三角形的概念 1具有的图形称为相似性 2对应角，对应边的三角形叫做相似三角形。 3如果 ABC和 A/B/C/ 相似，且 k AC CA CB BC BA AB / ，那么这个比值k 就叫做这 两个相似三角形的 例 2：（2009 年南宁）三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子 （如图 4 所示） . 现测得20cm50cmOAOA，这个三角尺 的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 解析： 考查平行线分线段成比例定理以及相似三角形的相关概念 由于三角尺和它在灯泡O的照射下在墙上形成影子相似，所 以三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比等于相似比 因为20cm50cmOAOA，所以对应边的比为 2 5 因此应填 2 5 同步检测二： 1 （ 2009 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时， 要使眼睛O、准星A、目标B在同一 条直线上，如图5所示，在射击时， 小明有轻微的抖动，致使准星A偏 图 2 图 3 图 4 图 5 离到A，若OA0.2 米，OB40 米，AA 0.0015 米，则小明射击到的点B偏离目标点 B的长度BB为（） A3 米 B 0.3 米 C0.03 米D 0.2 米 2 (2009年安顺 ) 如图 6，已知等边三角形ABC的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE1， （2）CDECAB， （3）CDE的面积与CAB的面 积之比为14其中正确的有（） A0 个 B 1个C2 个 D3 个 知识点三：相似三角形的条件 1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三 角形 2对应相等，两三角形相似 3两对应边且相等，两三角形相似 4三边，两三角形相似 5如果一个直角三角形的一条斜边和一条直角边与另一个直角三角形的一条斜边和一条直 角边，那么这两个直角三角形相似 例 3： （2008 盐城）如图7，D、E两点分别在ABC的边 AB ，AC 上， DE与 BC不平行，当满足条件（写出一个即可） 时， ADE ACB 解析： 考查相似三角形的判定方法，即满足怎样的条件时两个三 角形相似，此类问题的答案不唯一，也是近年中考常见题型之一 比如：ADEACB，AEDABC，ADACAEAB任选其一均可满足题目要求 同步检测三： 1 （ 2009 年滨州）如图8 所示，给出下列条件： BACD；ADCACB； ACAB CDBC ；ABADAC 2 其中单独能够判定ABCACD的个数为（） A1 B2 C3 D4 2（2009 年新疆）如图 9， 小正方形的边长均为1， 则下列图中的三角形 （阴影部分） 与ABC 图 6 图 7 图 8 相似的是（） 知识点四：相似三角形的性质 1相似三角形的相等，对应边 2相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比相似比 3相似三角形的周长比等于，面积比等于 例 4： (2009 年日照 ) 将三角形纸片（ABC）按如图10 所 示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B，折痕为 EF 已知ABAC3，BC4，若以点B，F，C为顶点的 三角形与ABC相似，那么BF的长度是 解析：问题考查相似三角形的性质以及分类思想 设BF的长为x， 当B / F平行于AB时，我们有 3 x 4 4x ，解得x 7 12 当B / F不平行于AB时，我们有 3 x 3 4x ，解得x2 所以BF的长为 7 12 或 2 同步检测四： 1 （ 2009 年天津）在ABC和DEF中，22ABDEACDFAD，如果 ABC的周长是 16，面积是 12，那么DEF的周长、面积依次为（） A8，3 B8，6 C4，3 D 4，6 2 (2009年牡丹江) 如图，RtABC中，90ACB° ，直线 EFBD，交AB于 点E，交AC于 点G，交AD于 点F，若 1 3 AEGEBCG SS 四边形 ，则 CF AD 知识点五：相似三角形的应用 A. 图 9 图 10 图 11 例 5：（2008 年聊城）如图12，路灯（P点）距 地面 8 米， 身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点 ）20 米的A点，沿OA所在的直线行走14 米 到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变 长或变短了多少米？ 解析： 考查相似三角形在解决生产、生活问题中的运用，解决问题的关键是寻找相关的相似 三角形，建立起恰当的数学模型 MACMOP90°，AMCOMP， MACMOP OP AC MO MA 即 8 6 .1 20MA MA 解得MA5 同样由NBDNOP可求得NB1.5 所以，小明的身影变短了3.5 米 同步检测五： 1 （ 2009 年甘肃白银）如图13，小东用长为3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度， 移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同 一点此时，竹竿与这一点相距8m 、与旗杆相距22m ， 则旗杆的高为（） A12m B10m C8m D7m 2（2008 年金华）如图14 是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图, 点P处放一水 平的平面镜 , 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城 墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB1.2 米，BP 1.8 米，PD12 米， 那么该古城墙的高度是（） A6 米 B8 米 C18 米 D24 米 随堂检测： 1（ 2009 年重庆綦江）若ABCDEF, ABC与DEF的相似比为12，则ABC与 DEF的周长比为（） A14 B 1 2 C21 D12 P OBNAM 图 12 图 13 A B P D 图 14 C 2(2009 年牡丹江 ) 如图 15，ABC中，CDAB于D，一定能确定ABC为直角三 角形的条件的个数是（） 1A， CDDB ADCD ， 290B° ， 3 4 5BCACAB ， CDACBDAC A1 B 2 C3 D4 3 （ 2009 年重庆） 已知ABC与DEF相似且面积比为4 25，则ABC与DEF的 相似比为 4 （ 2008 年咸宁）如图16， DAB CAE ，请补充一个条 件：，使 ABC ADE 5（2009 年烟台）如图17，ABC与AEF中，ABAE，BCEF， BE，AB交EF于D给出下列结论： AFCC；DFCF；ADEFDB；BFDCAF 其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号） 6 （ 2009 年孝感）如图18，点 M是 ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边， 所形成的三个小三角形1、 2、 3（图中阴影部分）的面积分别是4，9 和 49则 ABC 的面积是 7（ 2009 年荆州）如图19，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和 BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB若OCOA=12，量得CD 10mm ，则零件的厚度x mm 8（ 2009 年郴州）如图20，在ABC中，已知DEBC， AD=4，DB=8，DE=3， （1）求 AD AB 的值； （2）求BC的长 E 图 16 D A C B 图 15 图 17 图 18 图 19 图 20 9（ 2009 年甘肃庆阳）如图21，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶 点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F （1）求证：ACBDCE； （2）求证：EFAB 10 (2009 年陕西 ) 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上 有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图（图21） ，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与 这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同 此 时，测得小明落在墙上的影子高度CD1.2m，CE 0.8m，CA30m （点A、E、C在同一直线上） 已知小明的身高EF是 1.7m， 请你帮小明求出楼高 AB（结果精确到0.1m） 参考答案 同步检测： 知识点一： 1C 2D 知识点二： 1B 2D 知识点三： 1C 2A 知识点四： 1A 2 1 2 知识点五： 1A 2B 随堂检测： 1B 2 C 325 4 B D或 AED C或 AC AE AB AD 图 21 图 21 5， 6， 72.5 8解：（1）因为 AD 4，DB 8，所以 AB AD DB4812，所以 41 123 AD AB = （2）因为 DE BC ，所以 ADE ABC ，所以 AB AD BC DE 因为 DE 3，所以 3 13 BC 所以 BC 9 9证明：（1） 2 3 DC AC ， 2 3 4 6 CE BC CF BC DC AC 又 ACB=DCE=90°，ACBDCE （2）ACBDCE，ABCDEC 又 ABCA =90 °，DECA=90° EFA=90° EFAB 10解：过点D作DGAB，分别交AB、EF于点G、 H， （如答图1） 则EHAGCD1.2 ， DHCE0.8 ，DGCA30 EFAB， DG DH BG FH 由题意，知： FHEFEH1.7 1.2 0.5 30 8.05 .0 BG ，解之，得BG18.75 ABBGAG 18.75 1.2 19.95 20.0 楼高AB约为 20.0 米 答图 1
