九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解.pdf

第 1 页 共 4 页 九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解 知识点，重点，难点 所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与 它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。 平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类 是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变 动条件两部分组成。 一般来说，求解定值问题的方法有： 图形分析法。画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。 特殊位置法。不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位 置）加以探求。 参数计算法。 图形运动中， 选取其中的变量 （如线段长、 角度、 面积等） 作为参数， 将要求的定值用参数表出， 然后消去参数即得定值。 例题精讲 例 1：如图，已知O 及弦 AB，P 为 O 上任一点， PA、PB 分别交 AB 中垂线于E、F，求证： OE·OF 为定值。 分析若在 O 上的点 P 运动到特殊位置点Q，则点 E，点 F 都和 Q 点重合，于是得到OE·OF =OQ 2 ，由此可推 想，该定值可能为O 半径的平方。 证明因为 OE 是弦 AB 的中垂线，所以 AQBQ，所以 AOE= BOE， 所以 1 . 2 m AOEAB又因为 1 , 2 m PABBP 1 , 2 m PBAAPEPB =PAB ABP， 所以 AOE = EPB， 所以 A、 O、F、P 四点共圆， 所以 OFB =OAE.又因为 FOB=AOE， 所以 FOB OAE，所以, OFOB OAOE 即 OE·OF OA·OB.因为 OA=OB，所以 OE·OF=OA 2 （定值）。 例 2：如图，设AB、CD 是圆 O 的两条定直径，P 是圆周上的任一点， 过 P 作 AB 垂线，过P 作 CD 的垂线，其垂足分别为Q、 R，DTAB，垂足为T，求证： QR 是定长。 分析把点 P 沿 O 运动到特殊的点D 的位置，不难发现 QR =DT， 那么当 P是圆周上的任一点时，只要证明 QR =DT. 证明设圆的半径为r ，作 RSAB，连结 OP.因为 PQAB，PRCD，所以 P、O、Q、R 四点共圆，所以RQS = OPR，所以 RtOPR RtRQS，所以, QRRS OPOR RS QRr OR =r·sinDOB =DT（定值）。 第 2 页 共 4 页 例 3：如图，已知 ABC、 ABD 是在 AB 同侧的两个以AB 为斜边的直角三角形，P 是 AB 上的动点，但P 不重合 于 A、B，求证： tan PCA·tanPDB 是定值。 分析因为 P 是 AB 上的动点，要考虑tanPCA·tanPDB 是定值，需要把点P 移动到特殊的位置，即取P 为 AB 的中点时， tanPCA· tanPDB=tanPAC·tan DBP（定值）。 证明过点 P 作 PEAC，垂足为 E，过 P 点作 PFBD，垂足为 F 点。因为tan,tan, EPEP PCACAP CEAE 所 以 tan . tan EP PCAAE CE EP CAPCE AE 又因为 EPAC， ACB=90°，所以 EPBC，得, AEAP ECBP 所以 tan . tan PCAAP CAPBP 同理可得 tan , tan PDBBP DBPAP 故 tantan tantan PCAPDB CAPDBP =1 AP BP BP AP ，即tantantantanPCAPDBCAPDBP（定值）。 例 4：平面上有两个边长相等的正六边形ABCDEF 和 A'B'C'D'E'F' ，且正六边形A'B'C'D'E'F' 的顶点A'在正六边形 ABCDEF 的中心。当正六边形A'B'C'D'E'F' 绕 A'转动时，两个正六边形的重合部分的面积必然是一个定值，这个结 论正确吗？试证明你的判断。 解 两个正六边形的重合部分的面积是一个定值。证明如下： 如图，重合部分的面积 'A GBCH S是一个定值。 连结 A'B、A'D， 由 A'为正六边形ABCDEF 的中心知A'B = A'D=AB， A'BG =A'DH =60°.又当 A'B' 与 A'B 重合时，必有A'F' 与 A'D 重合，故知GA'B = HA'D .在 A'GB 和 A'HD 中， '' ''' '' A BA D A BGA DHA GB GA BHA D '' ', A GBA HD A HDSS故 22 '' 3 sin60() . 2 A GBCHA BCD SSBCBC 因此两个正六边形的重合部分的面积必然是定值。 例 5：由圆外定直线上任意点引圆的两条切线，求证：两切点的连线必过一定点。 第 3 页 共 4 页 分析设直线 AA'为 O 外定直线， A 为此线上任一点由A 引两切线为 AE、AF， E，F 为切点，连结EF，应过某一定点。若A 点运动到C 点(OCAA')的特殊位置，因图形的对称性判 定点一定在OC 上，而 EF 与 OC 的交点 P 可能就是此定点，如能确定OP 的长，问题就解决了。 证明如图，连结AO 与 EF 交于 B，连结 OE.因为 AO EF，又因为 OEA= 90°，所以 OE 2 =OA·OB.又因为四边形ABPC 中，对角 ABF=PCA=90°，所以A、B、P、C 四点共圆，所以 OB·OA = OP·OC，OP· OCOE 2 2 . OE OP OC 因为 OE，OC 均为定值，所以OP 为一定值，且OP 在定直线 OC 上。所以不论点A 在直线 AA'上何处，弦EF 恒过 P 点。 例 6： 如图，A、B 为两定点，O 为一动点在 AB 所在平面上异于O 点的一侧取A'点及 B'点， 使 OAA' = OBB'=90°， 且 BB' =OB，AA' =OA.设 A'B'的中点为O' （1）试问当O 点在线段AB 的一侧移动时，A'B'的中点 O'，的位置将怎样变化？ （2）请证明你的猜想。 分析分别取 O 点的三个特殊位置：（1）在 AB 的垂直平分线上，且与AB 相距 1 2 AB 的位置上； （2）在以 A 为垂足且与AB 垂直的直线上；（3）在以 B 为垂足且与AB 垂直的直线上可看出O'点不随 O 点的移 动而变化。 解 （1）取 O 点的几个特殊位置，可以看出O'点的位置将不随O 点的变化而变化，即无论O 点怎样移动，点O' 位置保持不变。 (2)过 O、A'、O、B'甘点分别作AB 的垂线， 垂足依次为C、D、E、F.因为 OAC = 90° DAA' =AA'D，AA'=OA， 所以 RtOACRtAA'D .同理 Rt OCBRtBFB'，所以 AD=OC=BF ，A'D=AC，B'F=BC.点 E 既是 DF 的中点， 又是 AB 的中点 O'E 是梯形 A'DFB' 的中位线，所以O'E= 111 ('')(). 222 A DB FACCBAB这就是说，无论 O 点在何处， O'点必在线段AB 的垂直平分线上距线段AB 为 1 2 AB 处，即 A'B' 的中点 O'始终保持不变。 第 4 页 共 4 页