高考试题中的阿基米德三角形(含答案).pdf

- 1 - （ 2005 江西卷，理22 题）如图，设抛物线 2 :xyC的焦点为F，动点 P 在直线02:yxl上运动， 过 P作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、 B 两点 . （ 1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （2）证明 PFA=PFB. 22解：（1）设切点A、B 坐标分别为)(,(),(01 2 11 2 0xxxxxx和， 切线 AP 的方程为：;02 2 00 xyxx 切线 BP 的方程为：;02 2 11 xyxx 解得 P 点的坐标为： 10 10 , 2 xxy xx x PP 所以 APB 的重心 G 的坐标为 P P G x xxx x 3 10 ， , 3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y 所以 2 43 GGp xyy，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为： ).24( 3 1 ,02)43( 22 xxyxyx即 （2）方法 1：因为). 4 1 ,(), 4 1 , 2 (), 4 1 ,( 2 1110 102 00 xxFBxx xx FPxxFA 由于 P 点在抛物线外，则.0| FP , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 2 2 0 2 0 2 0100 10 FP xx xxFP xxxx xx FAFP FAFP AFP 同理有 , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 2 2 1 2 1 2 1101 10 FP xx xxFP xxxx xx FBFP FBFP BFP AFP=PFB. 方法 2：当,0,0,0 000101 yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为)0, 2 ( 1 x ，则 P 点到直线 AF 的距离为：, 4 1 4 1 :; 2 | 1 2 1 1 1 x x x yBF x d的方程而直线 x y O A B P F l - 2 - 即.0 4 1 ) 4 1 ( 11 2 1 xyxxx 所以 P 点到直线BF 的距离为： 2 | 4 1 2 | ) 4 1 ( )() 4 1 ( | 42 ) 4 1 ( | 1 2 1 12 1 2 1 22 1 112 1 2 x x x x xx xx x d 所以 d1=d2，即得 AFP=PFB. 当0 01x x时，直线AF 的方程：, 0 4 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 00 2 0 0 2 0 xyxxxx x x y即 直线 BF 的方程： , 0 4 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 11 2 1 1 2 1 xyxxxx x x y即 所以 P 点到直线AF 的距离为： 2 | 4 1 ) 4 1 )( 2 | ) 4 1 ( | 4 1 ) 2 )( 4 1 (| 10 2 0 2 0 10 2 0 22 0 01 2 0 102 0 1 xx x x xx xx xxx xx x d， 同理可得到P 点到直线BF 的距离 2 | 01 2 xx d，因此由d1=d2，可得到 AFP= PFB (2006 全国卷， 理 21 题 )已知抛物线x 24y 的焦点为 F， A、 B 是抛物线上的两动点，且 AF FB （ 0） 过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 （）证明 FM · AB 为定值； （）设 ABM 的面积为 S，写出 S f( )的表达式，并求S的最小值 21解： ( )由已知条件，得F(0，1)， 0 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)由 AF FB ， 即得(x1，1y) (x2，y21)， x1 x2 1y1 (y21) 将式两边平方并把y1 1 4x 1 2，y 2 1 4x 2 2 代入得y1 2y 2 解、式得y1 ，y2 1 ，且有 x1x2 x2 2 4 y 2 4， 抛物线方程为y 1 4x 2，求导得 y 1 2x 所以过抛物线上A、B 两点的切线方程分别是 y1 2x1(xx1)y1，y 1 2x 2(xx2)y2， - 3 - 即 y1 2x 1x 1 4x 1 2，y1 2x 2x 1 4x 2 2 解出两条切线的交点M 的坐标为 (x 1x2 2 ， x1x2 4 )( x1x2 2 ， 1) 4 分 所以 FM · AB (x 1x2 2 ， 2)·(x2x1， y2 y1)1 2(x2 2x 1 2)2(1 4x2 21 4x1 2)0 所以 FM · AB 为定值，其值为0 7 分 ()由 ()知在 ABM 中， FM AB，因而 S 1 2|AB|FM | |FM|(x 1x2 2 )2(2)2 1 4x1 2 1 4x2 2 1 2x1x24 y1y2 1 2×(4)4 1 2 1 因为 |AF|、|BF|分别等于A、B 到抛物线准线y 1 的距离，所以 |AB| |AF| |BF| y1 y22 1 2( 1 ) 2 于是S1 2|AB|FM|( 1 ) 3， 由 1 2 知 S4，且当 1 时， S取得最小值4 （2007 江苏卷，理19 题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正 方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx相交于AB两点，一 条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,P Q， （1）若2OA OB，求c的值；（5 分） （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； （5 分） （3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分） 解： （1）设过 C 点的直线为ykxc，所以 2 0xkxc c，即 2 0xkxc， 设A 1122 ,x yB xy，OA= 11 ,x y， 22 ,OBxy，因为2OA OB，所以 1212 2x xy y，即 1212 2x xkxckxc， 22 121212 2x xk x xkc xxc 所以 22 2ck ckc kc，即 2 20,cc所以21cc舍去 （2）设过 Q 的切线为 111 yykxx， / 2yx，所以 11 2kx，即 22 11111 222yx xxyx xx，它 与y c的交点为 M 1 1 , 22 xc c x ， 又 2 1212 , 2222 xxyyk k Pc ， 所以 Q, 2 k c ， 因为 12 x xc, B A x y O C Q l P - 4 - 所以 2 1 c x x ，所以 M 12 , 222 xxk cc,所以点 M 和点 Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。 （3） （ 2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q, 2 k c ，因为 PQx轴，所以, 2 P k Py 因为 12 22 xxk ，所以 P为 AB 的中点。 （2008 山东卷，理22 题）如图，设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过M引 抛物线的切线，切点分别为AB， （）求证： AMB， 三点的横坐标成等差数列； （）已知当M点的坐标为(22 )p，时，4 10AB求此时抛物线的方程； （）是否存在点 M ，使得点C关于直线 AB的对称点D在抛物线 2 2(0)xpy p上，其中，点C满足 OCOAOB（O为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由 解： （）证明：由题意设 22 12 12120 (2 ) 22 xx A xB xxxM xp pp ， 由 2 2xpy得 2 2 x y p ，得 x y p ， 所以 1 MA x k p ， 2 MB x k p 因此直线MA的方程为 1 0 2() x ypxx p ， 直线MB的方程为 2 0 2() x ypxx p 所以 2 11 10 2() 2 xx pxx pp ， 2 22 20 2() 2 xx pxx pp 由、得 12 120 2 xx xxx， 因此 12 0 2 xx x，即 012 2xxx 所以AMB，三点的横坐标成等差数列 （）解：由（）知，当 0 2x时， y x B A O M 2p - 5 - 将其代入、并整理得： 22 11 440xxp， 22 22 440xxp， 所以 12 xx，是方程 22 440xxp的两根， 因此 12 4xx， 2 12 4x xp， 又 22 21 012 21 22 2 AB xx xxxpp k xxpp ， 所以 2 AB k p 由弦长公式得 222 12122 4 1()411616ABkxxx xp p 又4 10AB， 所以1p或2p， 因此所求抛物线方程为 2 2xy或 2 4xy （）解：设 33 ()D xy，由题意得 1212 ()C xxyy， 则CD的中点坐标为 123123 22 xxxyyy Q ， 设直线AB的方程为 0 11 () x yyxx p ， 由点Q在直线AB上，并注意到点 1212 22 xxyy ，也在直线AB上， 代入得 0 33 x yx p 若 33 ()D xy，在抛物线上，则 2 3303 22xpyx x ， 因此 3 0x或 30 2xx 即(0 0)D，或 2 0 0 2 2 x Dx p ， - 6 - （1）当 0 0x时，则 120 20xxx，此时，点(02 )Mp，适合题意 （2）当 0 0x，对于(0 0)D，此时 22 12 0 2 2 xx Cx p ， 22 12 0 2 2 CD xx p k x 22 12 0 4 xx px ， 又 0 AB x k p ，ABCD， 所以 2222 01212 2 0 1 44 ABCD xxxxx kk ppxp ， 即 222 124xxp ，矛盾 对于 2 0 0 2 2 x Dx p ，因为 22 12 0 2 2 xx Cx p ，此时直线CD平行于y轴， 又 0 0 AB x k p ， 所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以 0 0x时，不存在符合题意的M点 综上所述，仅存在一点(02 )Mp，适合题意 （ 2008江 西 卷 ， 理21题 ） 设 点 00 ,P xy在 直 线 , 01xmymm上，过点P作双曲线 22 1xy的 两条切线PAPB、，切点为AB、，定点M( m 1 ，0) （1） 过点A作直线0xy的垂线， 垂足为N，试求AMN 的重心G所在的曲线方程； （2）求证：AMB、三点共线 证明：（ 1）设 1122 (,),(,)A xyB xy，由已知得到 12 0y y，且 22 111xy， 22 221xy， 设切线PA的方程为： 11 ()yyk xx由 11 22 () 1 yyk xx xyx O A B y P M xm N - 7 - 得 222 1111 (1)2 ()()10kxk ykxxykx 从而 22222 1111 4()4(1)()4(1)0kykxkykxk,解得 1 1 x k y 因此PA的方程为： 11 1y yx x 同理PB的方程为： 22 1y yx x 又 0 (,)P m y在PAPB、上，所以 101 1y ymx， 202 1y ymx 即点 1122 (,),(,)A xyB xy都在直线 0 1y ymx上 又 1 (,0)M m 也在直线 0 1y ymx上,所以三点AMB、共线 （2）垂线AN的方程为： 11 yyxx， 由 11 0 yyxx xy 得垂足 1111 (,) 22 xyxy N ， 设重心( ,)G x y 所以 11 1 11 1 11 () 32 1 (0) 32 xy xx m xy yy 解得 1 1 3 93 4 1 93 4 xy m x yx m y 由 22 11 1xy可得 11 (33)(33)2xyxy mm 即 2212 () 39 xy m 为重心G所在曲线方程 .