2018-2019学年高二数学圆锥曲线的综合问题练习及答案详解.pdf

1 2018-2019 学年高二数学圆锥曲线的综合问题练习 A 级 基础小题练熟练快 1过抛物线y 22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等 于 2，则这样的直线() A有且只有一条B有且只有两条 C有且只有三条D有且只有四条 解析： 选 B设该抛物线焦点为F， A(xA，yA)，B(xB，yB)，则 |AB|AF|FB |xA p 2 xBp 2xAxB 132p2.所以符合条件的直线有且只有两条 2斜率为1 的直线 l 与椭圆 x 2 4 y 2 1相交于 A，B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A2 B.4 5 5 C.4 10 5 D. 8 10 5 解析： 选 C设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，代入 x 2 4 y 2 1，消去 y， 得 5x28tx4t240，由题意得 (8t)220(4t24)0，即 t25，因为 x1 x2 8t 5 ， x1x2 4t 2 4 5 ，所以弦长|AB|11· 64t 2 25 16t 2 16 5 42· 5t 2 5 4 10 5 ，当且仅当t 0 时取等号故|AB|的最大值为 4 10 5 . 3(2018 ·泉州质检 )已知双曲线C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)，F 是双曲线 C 的右焦点，过 F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，若 l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点 D，E，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为 () A(2，3) B(2， ) C(2，2) D. 1， 6 2 解析：选 B法一：由题意知， 直线 l：y a b(xc)，由 y a b xc ， b 2x2a2y2a2b2， 得 b 2a 4 b 2 x 22a 4c b 2x a 4c2 b 2a 2b2 0，由 x1x2 a 4c2 b 2 a2b 2 b 2a 4 b 2 0 得 b 4a4，所以 b 2 c2a2a2， 所以 e 22，得 e 2. 2 法二： 由题意，知直线l 的斜率为 a b，若 l 与双曲线左、右两支分别交于 D， E 两点， 则 a b b a，即 a 22，得 e 2. 4已知椭圆： y 2 9 x21，过点 P1 2， 1 2 的直线与椭圆相交于A，B 两点，且弦AB 被点 P 平分，则直线AB 的方程为 () A9xy40 B9xy50 C2xy20 Dx y50 解析：选 B设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因为 A， B 在椭圆 y 2 9 x2 1上，所以 y 2 1 9 x 2 11， y 2 2 9 x2 21， 两式相减得 y 2 1y 2 2 9 x2 1x 2 20， 即 y1y2y1 y2 9 (x1x2)(x1x2)0， 又弦 AB 被点 P 1 2， 1 2 平分，所以x1x21，y1y21，将其代入上式得 y1 y2 9 x1x20，即 y1y2 x1x2 9，即直 线 AB 的斜率为 9，所以直线AB 的方程为 y 1 2 9 x 1 2 ，即 9xy50. 5已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为 4， 若抛物线y ax2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 yx m 对称，且x1x2 1 2，则 m 的值为 () A.3 2 B.5 2 C2 D3 解析： 选 A由双曲线的定义知2a4，得 a 2， 所以抛物线的方程为y2x2. 因为点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线 y2x 2 上， 所以 y12x 2 1， y22x 2 2， 两式相减得y1y22(x1 x2)(x1x2)， 不妨设 x1x2，又 A， B 关于直线yxm 对称， 所以 y1y2 x1x2 1， 故 x1x2 1 2， 而 x1x2 1 2， 3 解得 x1 1，x2 1 2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为 M(x0，y0)， 则 x0x 1x2 2 1 4， y0 y1y2 2 2x 2 12x 2 2 2 5 4， 因为中点M 在直线 yxm 上， 所以 5 4 1 4m，解得 m 3 2. 6(2018 ·长春调研 )在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 x 2 9 y 2 5 1的左、右顶点分别为A， B，右焦点为F，设过点T(9，m)的直线 TA，TB 与椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 其中 m0，y10，y20，则直线MN 与 x 轴的交点坐标为() A. 1 3， 0 B. 1 2，0 C(1,0) D(2,0) 解析： 选 C直线 TA 的方程为 y0 m0 x3 93，即 y m 12(x3)，直线 TB 的方程为 y0 m0 x3 93 ， 即y m 6 (x 3) ， 将TA ， TB的 方 程 分 别 与 椭 圆 x 2 9 y 2 5 1 联 立 ， 解 得 M 3 80m 2 80m 2， 40m 80m 2， N 3 m 220 20m 2， 20m 20m 2.当x1x2时 ， 直 线MN的 方 程 为 y 20m 20m 2 40m 80m 2 20m 20m 2 x 3 m 220 20m 2 3 80m 2 80m 2 3 m 220 20 m 2 ，令 y0，解得 x1，此时直线MN 必过点 (1,0)； 当 x1 x2时，得 m240，直线 MN 的方程为x 1，与 x 轴的交点为 (1,0)所以直线MN 与 x 轴的交点是 (1,0) 7已知点A 在椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上，点 P 满足 AP ( 1)· OA ( R)(O 是坐标原点 )， 且 OA · OP 72，则线段OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为_ 解析： 因为 AP ( 1) OA ，所以 OP OA ，即 O，A，P 三点共线，因为OA · OP 72，所以 OA · OP |OA|272，设 A(x，y)，OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP |cos | |x|72|x| |OA| 2 72|x| x 2y2 72 16 25|x| 9 |x| 72 2 16× 9 25 15，当且 仅当 |x| 15 4 时取等号 4 答案： 15 8已知抛物线C：y 28x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点若 MA · MB 0，则 k_. 解析： 如图所示，设F 为焦点，易知F(2，0)，取 AB 的中点 P，过 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接 MF ，MP ，由 MA · MB 0，知 MAMB ，则 |MP| 1 2|AB| 1 2(|AF| |BF|) 1 2(|AG|BH|)，所以 MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP AGBH，由 |MP |AP|， 得 GAM AMP MAP ，又 |AG|AF |，AM为公共边，所以AMG AMF ，所以 AFM AGM 90°，则 MF AB，所以 k 1 kMF 2. 答案： 2 9设抛物线C：y 22px(p0)，A 为抛物线上一点 (A 不同于原点O)，过焦点F 作直线 平行于 OA，交抛物线于P， Q 两点若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于 B，则 |FP| ·|FQ| |OA| ·|OB|_. 解析： 设 OA 所在的直线的斜率为k，则由 ykx， y 22px 得到 A 2p k 2，2p k ，易知 B p 2， kp 2 ， P，Q 的坐标由方程组 yk x p 2 ， y 2 2px 得到，消去x，得 ky 2 2p y kp 2 0，设 P(x1，y1)，Q(x2， y2)， 由根与系数的关系得，y1y2 p 2， 根据弦长公式， |FP| · |FQ |1 1 k 2· |y1| · 1 1 k 2· |y2| 1 1 k 2|y1y2| 1 1 k 2p 2，而 |OA| · |OB| 2p k 2 22p k 2 · p 2 2kp 2 2 11 k 2p 2，所以 |FP| ·|FQ| |OA| ·|OB|0. 答案： 0 10已知抛物线y 24x 的焦点为 F，过焦点的直线与抛物线交于A，B 两点，则当 |AF | 4|BF |取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为_ 解析： 由题意知F(1,0)，当直线的斜率存在时， 设直线方程为yk(x1)(k0)， 由 y k x1 ， y 24x， 消去 y，得 k2x2(2k24)x k 2 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x10，x20， 则 x1x2 2k 24 k 2， x1x21, 5 1 |AF| 1 |BF| 1 x11 1 x21 x1x22 x1x2x1 x2 1 2k 24 k 2 2 1 2k 24 k 2 1 1. 当直线的斜率不存在时，易知|AF|BF|2， 故 1 |AF| 1 |BF|1. 设|AF| a，|BF| b，则 1 a 1 b1， 所以 |AF|4|BF| a4b 1 a 1 b (a4b)5 4b a a b 9，当且仅当a2b 时取等号， 故 a4b 的最小值为9， 此时直线的斜率存在，且x112(x21), 联立得，x12，x2 1 2，k± 2 2， 故直线 AB 的倾斜角的正弦值为 22 3 . 答案： 2 2 3 B 级 中档题目练通抓牢 1已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ，短轴端点到焦点的距离为2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 A，B 为椭圆 C 上任意两点， O 为坐标原点，且OAOB.求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求出该定值 解： (1)由题意知， e c a 3 2 ，b 2c22， 又 a2b 2c2， 所以 a 2，c3， b1， 所以椭圆C 的方程为 x 2 4 y21. (2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x± 2 5 5 ，此时，原点O 到 直线 AB 的距离为 2 5 5 . 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2) 6 由 x 2 4 y21， ykxm 得(14k2)x28kmx4m240. 则 (8km)2 4(1 4k2)(4m24) 16(1 4k2 m 2) 0， x 1 x2 8km 14k 2， x1x2 4m 24 14k 2， 则 y1y2(kx1m)(kx2m) m 24k2 1 4k 2， 由 OA OB，得 kOA· kOB 1，即 y1 x1· y2 x2 1， 所以 x1x2y1y2 5m 244k2 14k 20， 即 m 24 5(1k 2)， 所以原点O 到直线 AB 的距离为 |m| 1k 2 25 5 . 综上，原点O 到直线 AB 的距离为定值 2 5 5 . 2(2018 ·兰州诊断 )已知椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)经过点 (2，1)，且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 M，N 是椭圆上的点，直线OM 与 ON(O 为坐标原点 )的斜率之积为 1 2.若动点 P 满足 OP OM 2ON ，试探究是否存在两个定点F1，F2，使得 |PF1|PF2|为定值？若存在， 求 F1，F2的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)e 2 2 ， b 2 a 2 1 2， 又椭圆 C 经过点 (2，1)， 2 a 2 1 b 21， 解得 a24，b 22， 椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)设 P(x，y)，M(x1， y1)，N(x2，y2)， 则由 OP OM 2ON ，得 xx12x2，yy12y2， 点 M，N 在椭圆 x 2 4 y 2 2 1 上， x 2 12y 2 14，x 2 22y 2 24， 故 x 22y2(x2 14x1x24x 2 2)2(y 2 14y1y24y 2 2) (x 2 12y 2 1)4(x 2 22y 2 2)4(x1x22y1y2) 7 204(x1x2 2y1y2) 由题意知， kOM· kON y1y2 x1x2 1 2，因此 x1x22y1y20， x22y220， 故点 P 是椭圆 x 2 20 y 2 101 上的点， 由椭圆的定义知存在点F1， F2， 满足 |PF1|PF2|2 204 5，为定值， 又|F1F2|2 2010 2 10， F1，F2的坐标分别为(10，0)，(10，0) 3(2018 ·贵阳检测 )已知椭圆C1的焦点在 x 轴上， 中心在坐标原点；抛物线 C2的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中： x 324 2 y 9 2 08 2 2 (1)求 C1，C2的标准方程； (2)已知定点C 0， 1 8 ，P 为抛物线C2上一动点，过点P 作抛物线C2的切线交椭圆C1 于 A，B 两点，求 ABC 面积的最大值 解： (1)设 C1： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)， 由题意知，点(2,0)一定在椭圆上， 则点 2， 2 2 也在椭圆上，分别将其代入， 得 4 a 2 1， 2 a 2 1 2b 21， 解得 a 24， b 21， C1的标准方程为 x 2 4 y 21. 设 C2：x22py(p0)，依题意知，点(4,8)在抛物线上， 代入抛物线C2的方程，得p 1， C2的标准方程为x22y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P t，1 2t 2 ， 由 y 1 2x 2 知 yx， 故直线 AB 的方程为y 1 2t 2t(xt)， 8 即 ytx1 2t 2，代入方程 x 2 4 y 21， 整理得 (14t2)x24t3xt4 40， 则 16t6 4(14t2)(t44)4(t416t24)0， x1x2 4t 3 14t 2，x1x2 t 44 14t 2， |AB|1t2· 16t 6 14t 2 24 t 44 14t2 14t 2 2 2 1t 2· t4 16t24 1 4t 2， 设点 C 0， 1 8 到直线 AB 的距离为d， 则 d 1 8 1 2t 2 1t 2 14t 2 81t 2， SABC 1 2· |AB| · d 1 2· 21t 2· t416t24 1 4t 2· 14t 2 81t 2 1 8 t416t24 1 8 t28 2681 8 68 17 4 ， 当且仅当t± 22时，取等号，此时满足 0. 综上， ABC 面积的最大值为 17 4 .