两角和与差的正弦、余弦和正切公式.pdf

戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 1 页 共 8 页 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课前小练： 1. sin75°cos30° sin15 °sin150 ° _ 答案： 2 2 解析： sin75 °cos30° sin15 ° sin150 ° sin75 °cos30° cos75°· sin30 ° sin(75 ° 30°) sin45 ° 2 2 . 2. 已知 tan 6 3 7，tan 6 2 5，则 tan( )_ 答案： 1 解析： tan( ) tan( 6 ) ( 6 ) tan 6 tan 6 1tan 6 ·tan 6 3 7 2 5 1 3 7× 2 5 1. 3. 若 sin 3 5， 2 ， 2 ，则 cos 5 4 _ 答案： 2 10 解析： 由 2 ， 2 ，sin 3 5，得 cos 4 5，由两角和与差的余弦公式得 cos 5 4 cos cos 5 4 sin sin 5 4 2 2 (cos sin ) 2 10 . 4. 计算： 2cos10° sin20 ° cos20° _ 答案：3 解析： 原式 2cos（30° 20°） sin20 ° cos20° 2（cos30°cos20° sin30 °sin20 °） sin20 ° cos20° 2 3 2 cos20° 1 2sin20 ° sin20 ° cos20° 3. 5. 计算： sin7 ° cos15°· sin8 ° cos7° sin15 °· sin8 ° _ 答案： 23 解析： sin7 ° sin(15 ° 8° ) sin15 °cos8 ° cos15 °sin8 °， cos7 ° cos(15 ° 8° ) cos15°cos8° sin15 °sin8 °，原式 tan15 ° tan(45 ° 30°) 1 tan30 ° 1 tan30 °2 3. 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 2 页 共 8 页 考情分析考点新知 掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两 角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程. 能从两角差的余弦公式推导出两角和的 余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正 切公式，体会化归思想的应用. 1. 两角差的余弦公式推导过程 2. 公式之间的关系及导出过程 3. 公式 cos( )cos( ) cos cos sin sin cos( )cos( ) cos cos sin sin sin( )sin( ) sin cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin tan( )tan( ) tan tan 1tan tan tan( )tan( ) tan tan 1tan tan 4. asinbcos a 2b2sin( ) ，其中 cos a a 2b2，sin b a 2 b2， tan b a. 的终 边所在象限由a、b 的符号来确定 . 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 3 页 共 8 页 典例分析： 题型 1化简求值 例 1化简： tan(18 ° x)tan(12° x) 3tan(18° x) tan(12 ° x) _ 答案： 1 解析： tan(18° x) (12 ° x) tan （18° x） tan （12° x） 1tan （18° x）tan （12° x） tan30 ° 3 3 ， tan(18° x) tan(12 ° x) 3 3 1 tan(18 ° x) · tan(12 ° x) ，于是原式tan(18 ° x)tan(12° x) 3× 3 3 1 tan(18 ° x) · tan(12 ° x) 1. 变式训练 求值： tan20 ° tan40 °3tan20 °tan40 °. 解： tan60° tan(20 ° 40°) tan20 ° tan40 ° 1tan20 °tan40 ° 3， tan20° tan40 °33tan20 °tan40 °， tan20° tan40 °3tan20 °tan40 °3. 题型 2给值求角 例 2 若 sin 5 5 ，sin 10 10 ，且 、 为锐角，则 的值为 _ 答案： 4 解析： ( 解法 1)依题意有cos1 5 5 2 25 5 ，cos1 10 10 2 310 10 ， cos( ) 25 5 × 310 10 5 5 × 10 10 2 2 0. 、 都是锐角， 0 ， 4 . ( 解法 2) 、都是锐角，且sin 5 5 2 2 ，sin 10 10 2 2 ， 0 ， 4 ，0 2 ， cos 1 5 5 2 2 5 5 ，cos1 10 10 2 310 10 ，sin( ) 5 5 × 310 10 10 10 × 25 5 2 2 . 4 . 变式训练 已知 cos 1 7，cos( ) 13 14，且 0 2 ，求 . 解： 0 2 ， 0 2 . 又 cos( ) 13 14， 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 4 页 共 8 页 sin( ) 1 cos 2 （ ） 33 14 ， cos cos ( ) coscos( ) sin sin( ) 1 7× 13 14 43 7 × 33 14 1 2. 又 0 2 ， 3 . 题型 3给值求值 例 3 已知 0 4 3 4，cos 4 3 5， sin( 3 4 ) 5 13，求 sin( ) 的值 解： 4 3 4 ，3 4 4 ， 2 4 0. 又 cos 4 3 5， sin 4 4 5. 0 4 ， 3 4 3 4 . 又 sin 3 4 5 13， cos 3 4 12 13. sin( ) cos 2 （ ） cos( 3 4 ) ( 4 ) cos 3 4 cos 4 sin( 3 4 ) · sin 4 12 13 ×3 5 5 13× 4 5 36 65 20 65 56 65. 变式训练 已知 、 0， 2 ，sin 4 5，tan( ) 1 3，求 cos的值 解： 、 0， 2 ， 2 2 . 又 tan( ) 1 3 0， 2 0. 1 cos 2（ ）1tan 2( ) 10 9 . cos( ) 310 10 ，sin( ) 10 10 . 又 sin 4 5， cos 3 5. cos cos ( ) coscos( ) sin sin( ) 3 5× 310 10 4 5× 10 10 10 10 . 例 4(2013 · 常州期末 ) 已知 、均为锐角，且sin 3 5，tan( ) 1 3. (1) 求 sin( ) 的值； (2) 求 cos 的值 解：(1) 、 0， 2 ， 2 2 . 又 tan( ) 1 30， 2 0. 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 5 页 共 8 页 sin( ) 10 10 . (2) 由(1) 可得， cos( ) 3 10 10 . 为锐角， sin 3 5， cos 4 5. cos cos ( ) coscos( ) sin sin( ) 4 5× 310 10 3 5 × 10 10 910 50 . 变式训练 已知 cos 1 3，cos( ) 1 3，且 、 0， 2 ，求 cos( ) 的值 解： 0， 2 ， 2 (0 ， ) cos 1 3， cos 2 2cos 2 17 9， sin 2 1cos 224 2 9 ，而 、 0， 2 ， (0 ， ) ， sin( ) 1cos 2（ ） 22 3 ， cos( ) cos2 ( ) cos 2 cos( ) sin 2 sin( ) 7 9 × 1 3 42 9 ×2 2 3 23 27. 课堂练习： 1. 已知角 的终边经过点P(1， 2) ，函数 f(x)sin( x )( 0) 图象的相邻两条对称轴之间的 距离为 3 ，则 f 12 _ 答案： 10 10 解析： 由题意知cos 5 5 ，sin 25 5 . 由相邻两条对称轴间距离为 3 ，得 T 2 3 ，即 T2 3 ， 2 2 3 ， 3. f(x)sin(3x ) f 12 sin 4 sin 4 cos cos 4 sin 2 2 × 5 5 2 2 × 25 5 10 10 . 2. 函数 f(x)sin2x ·sin 6 cos2x·cos5 6 在 2 ， 2 上的单调递增区间为_ 答案： 5 12 ， 12 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 6 页 共 8 页 解析： f(x)sin2xsin 6 cos2x·cos 5 6 sin2xsin 6 cos2xcos 6 cos(2x 6 ) 当 2k 2x 6 2k(k Z) ，即 k 5 12 xk 12(k Z) 时，函数 f(x) 单调递增 取 k0 得 5 12 x 12， 函数 f(x) 在 2 ， 2 上的单调增区间为5 12 ， 12 . 3. 已知 sin 3 sin 43 5 ， 2 0，则 cos_ 答案： 334 10 解析： 由 sin 3 sin 43 5 ，得 sin · cos 3 cos· sin 3 sin 43 5 ， 3 2 sin 1 2cos 4 5， sin 6 4 5. 2 0， 3 6 6 ， cos 6 3 5. cos cos 6 6 cos 6 cos 6 sin 6 sin 6 3 5× 3 2 4 5 × 1 2 334 10 . 4. (2013· 贵州 ) 设 为第二象限角，若tan 4 1 2，则 sin cos_ 答案： 10 5 解析： 由 tan 4 1tan 1tan 1 2，得 tan 1 3. 因为 为第二象限角，利用 tan sin cos ，sin 2 cos 2 1 可求得 sin 10 10 ，cos 310 10 ，所以 sin cos 10 5 . 家庭作业： 1. 已知 、均为锐角，且tan cos sin cos sin ，则 tan( ) _ 答案 ：1 解析 ： tan cos sin cos sin ， tan 1tan 1tan tan 4. 又 、 均为锐角， 4 ，即 4， 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 7 页 共 8 页 tan( ) tan 41. 2. 已知 cos 6 sin 4 5 3，则 sin 7 6 的值为 _ 答案 ： 4 5 解析 ： cos 6 sin 3 2 cos 3 2sin 4 5 3， 1 2cos 3 2 sin 4 5， sin 7 6 sin 6 3 2 sin 1 2cos 4 5. 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 Ox轴为始边作两个锐角 、 ，它们的终边分别与单位圆相交 于 A、B两点已知A、B的横坐标分别为 2 10 、2 5 5 . 求： (1) tan( ) 的值； (2) 2 的值 解：(1) 由已知条件及三角函数的定义可知cos 2 10 ，cos 25 5 . 因 为锐角，故sin 0，从而 sin 1cos 27 2 10 ，同理可得sin 5 5 . 因此 tan 7，tan 1 2. 所以 tan( ) tan tan 1 tan tan 7 1 2 17× 1 2 3. (2) tan( 2 ) tan( ) 3 1 2 1（ 3） × 1 2 1. 又 0 2， 0 2，故 0 2 3 2 . 从而由 tan( 2 ) 1，得 2 3 4 . 4. 已知函数f(x) sinx 7 4 cos x3 4 ， xR. (1) 求 f(x)的最小正周期和最小值； 戴氏教育集团内部资料两角和与差的正弦、 余弦和正切公式专用李老师编写 戴氏劝学：细节决定成败，规范铸就辉煌。第 8 页 共 8 页 (2) 已知 cos( ) 4 5，cos( ) 4 5，0 2 ，求证： f( ) 2 20. (1) 解 ： f(x) sinxcos 7 4 cosxsin 7 4 cosxcos 3 4 sinxsin 3 4 2sinx 2 cosx 2sinx 4 ，所以 T2， f(x) min 2. (2) 证明： cos( ) coscos sin sin 4 5， cos( )coscos sin sin 4 5. ，得 coscos 0， 于是由 0 2 cos 0 2 . 故 f( ) 2f( ) 220. 1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征 (2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值 2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差； (2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系 3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切 函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范 围是 (0 ，) ，选余弦较好；若角的范围为 2 ， 2 ，选正弦较好