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- 1 - 第 16 章分式的主要知识点 1. 分式的概念 （1）如果 A、B表示两个整式，且B中含有，那么式子叫做分式。 （2）分式与整式的区别：分式的分母中含有 ,整式的分母中字母。 2. 分式有无意义 分式的分母时，分式有意义。 分式的分母时，分式无意义。 分式的分子且分式的分母，分式的值为0。 3. 分式（数）的基本性质 分式（数）的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式（数），分式（数）的值。 , AA MAAM BB MBBM （M为0 的整式） 4. 分式通分应注意 （1）通分的依据是。 （2）通分后的各分式的分母相同。 （3）通分后的各分式分别与原来的分式相等。 （4）通分的关键是确定。 （5）分式的通分与分数的通分类似。 5. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 取各分母系数的最小公倍数。 凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 6. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质。（2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 7. 分子的变号规则 分式的整个分子、整个分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为： 8. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 9. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即 n n n aa bb 10. 分式的加减 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 11. 分式的混合运算原则 （1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。 （2）同级运算，按运算顺序进行。 （3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。 （4）结果化为最简分式或整式。 12. 分式方程 定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 - 2 - 3342 12 123 xx xx 整式方程，如 有理方程 分式方程 , 如 13. 解分式方程方法 即方程两边同乘最简公分母 14分式方程必须验根，因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 15. 列分式方程解应用题 步骤：审、设、列、解、验、答。 与列一元一次方程解应用题的不同之处在于：所列的为分式方程，要检验是否为所列方程的根。 八年级数学（下）第三章分式第一课时 1、下列各式： 4 1 , 3 , 3 2 ,4, 5 2 , 2 122 2 x x yxxy ba a 中是分式的是_ 2、当 x_时，分式 8 12 x x 有意义； 当 x_时，分式 8 12 x x 无意义； 当 x_时，分式 8 12 x x 的值为 0。 4、有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度。从中先取出1 米长的电线，称出它的质量为a，再称出其余电线的总 质量为 b，则这捆电线的总长度是米。 5、当 a=1 时，分式 1 1 2 a a 的值是（） A、没有意义B、等于零C、等于 1 D、等于 1 6、要使分式 1 1 x 有意义，则x 应满足的条件是（） A、x1 B、 x 1 C、x0 D. 、x1 7、无论 x 取什么值，下列分式总有意义的是（） A、 2 1 x x B、 2 2 1 1 x x C、 1 1 2 x x D、 1x x 8、在分式 13x ax 中，当ax时，分式（） A、值为 0 B、 3 1 a时，值为0 C、无意义D、不能确定 9、下列说法中，正确的有（） A、分子为0 时，分式的值就一定为零；B、分母不为0 时，分式就一定有意义； C、因为xxx22 2 ，所以 x x 2 2 不是分式； D、因为1x时，分式 21 2 xx x 无意义，所以该分式无意义的条件是1x 10、当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 32 2 x x （2） 23 1 xx x 11、已知分式 2 82 2 x x ，x 取什么值时，分式的值为零？12、 x 为何值时，分式 93 2 2 x x 的值为正数？ - 3 - 13、学完分式的概念后，王老师要求学生编题，以便学生巩固与提高。小刚同学编了如下一道题：对于分式 bx ax 3 2 ， 当 x=1 时，分式无意义；当x=4 时，分式的值为0，求代数式 b a 的值。请你帮小刚同学求出答案。 八年级数学（下）第三章分式第二课时 1、下列等式从左到右变形正确的是（） A. 1 1 x y x y B. ax ay x y C. xa ya x y 2 2 D. xa ya x y 1 1 2 2 2、下列各式错误的有（） dc ba dc ba 1 dc ba dc ba 2 dc ba dc ba 3 dc ba dc ba 4 A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 3、下列个式中，不是最简分式的是（） A、 yx yx 22 B、 44 22 yx yx C、 33 22 yx yx D、 22 22 yx yx 4、将分式 2 2 1 12 a aa 约分的结果是（） A、 a a 1 1 B、 a a 1 1 C、 a a 1 1 D、 a1 5、下列分式中，最简分式的个数是（） y xy 4 3 2 、 yx yx 22 、 xy yx 2 2 、 1 12 2 a aa 、 22 2 yx yxy 、 ab ba 2 3 A、4 个B、3 个C、2 个D、1 个 6、使 xx x x3 5 3 5 2 从左到右形成立的条件是。 7、不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母都不含“”号。 b a 4 3 = y x 3 2 = m n 3 = yx yx 2 = 8、在下列三个不为零的式子4 2 x，xx2 2 ，44 2 xx中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是， 把这个分式化简所得的结果是 9、化简下列各式： - 4 - 2 20 5 1 y xy dba cba 52 43 56 21 2 3 3 xy yx 22 22 44 4 4 yxyx yx 10、王红同学在解答下题时，给出了两种解法：化简 yx yx 22 解法 1： yx yx yxyx yx yx 22 解法 2： yx yx yxyx yxyx yxyx yx yx 22 222222 你认为王红同学的两种解法正确吗？若解法有误，请说明理由。 八年级数学（下）第三章分式的乘除法 请用字母表示分式的乘法法则：， 请用字母表示分式的除法法则：。 1、计算 cd ax cd ab 4 3 2 2 等于（） 、 A. x b 3 2 2 B. 2 3 b 2x C. x b 3 2 2 D. 22 22 8 3 dc xba 2、化简 xxx 2 2 11 的结果是（） A、 1x B、 1x C、 x x1 D、 1x x 3、下列运算正确的是（） A、 3 3 x y y x B、 22 2a b a baC、ba ab ba 122 D、 3 2 22 m m n nm 4、化简 2 abba ba 的结果是（） A、 22 1 ba B、 22 1 ab C、 2 1 ab D、 2 1 ba 5、 计算： cb a a b 2 2 4 2 _， a b b a 2 。 6、计算： ab x 4 15 ÷（ 18ax3） _。 7、计算： c c b ba 11 2 。8、计算： x yz y x 9 4 2 3 3 2 。 计算下列个式： - 5 - 1、 3 23 4 x y y x 2、 cd ba c ab 4 5 2 22 2 3 3、 （xyx 2）÷ xy yx 4、9 3 2 2 x xx x 先化简，再求值 （1） xx xx xx x 3 93 96 9 2 23 2 2 ，（2） 2244 1 yxyx yx ， 其中 x 5 其中 x8，y11 （阅读理解题）课堂上李老师给大家出了这样一道题：当x=3，5-32，37时，求分式 1 22 1 12 2 2 x x x xx 的 值。小明说： “太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请写出具体过程。 八年级数学（下）第三章分式的加减法（1） 同分母分式相加减的法则：。 1、 计算： 33 3 x x x _ _。2、计算： 3 9 3 2 aa a _ _。 3、计算： mn nm mn nm 3 2 3 2 = 。4、计算： 222222 ba c ab b ba a 。 5、计算： x y x y x y 42 。6、 ba a 2 3 ， ab2 1 的最简公分母是。 7、计算： xy yx xy yx 222 的结果是（） A、 y x2 B、2 C、 xy yx D、-2 8、计算： ba ab ab ba2 的结果是（） A、 b 1 B、 a 1 C、 a 1 D、 b 1 9、计算： ab a ab a 11 2 的结果为（） - 6 - A、 1 3 ab a B、 ab a 1 3 C、 1ab a D、 ab a 1 10、计算下列各题： （1） mn n nm m mn nm2 （2） xy yx yx y xy yx2 （3） 22 ba b ba a （4） 2222 22 ab ba ba ab 11、先将 x x xx x1 1 1 1 2 化简，然后请你选一个自己喜欢的x 的值，求原式的值。 12、计算： b a b a b a 82a b b a 八年级数学（下）第三章分式的加减法（2） 同分母分式相加减的法则：。 异分母分式相加减的法则：。 1、计算 ba ba ab a2 的结果是（） A 、 ab ba3 B、 ba ba3 C、1 D、-1 2、化简 nm n nm n nm nm 22 3 2 2 的结果为（） A 、 nm nm 2 2 B、0 C、1 D、以上都不对 3、下列各题中所求的最简公分母，错误的是（） A、 x3 1 与 2 6x a 最简公分母是 2 6x。 B、 32 3 1 ba 与 cba 32 3 1 最简公分母是cba 32 3。 C、 nm 1 与 nm 1 最简公分母是 22 nm。 D 、 yxa 1 与 xyb 1 最简公分母是xyyxab。 4、 化简 2 1 4 2 2 xx x 的结果是（） A 、 2 1 x B、 2 1 x C、 4 23 2 x x D、 4 23 2 x x 5、计算 m n n m 11 的结果是（） - 7 - A、 m n B、 n m C、 mn nm 22 D、 mn nm1 22 6、计算 ba ab ba b ba a 的结果为。7、计算 yx y yx 2 2 的结果是。 8、一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要小时完成。 9、 （1） 11 1 2 2 a aa a a （2） 2 1 2 1 1 x x x （3） xx x xx 2 5 1 63 （4）1 1 2 m m m 10、先化简，再求值： 4 2 22 3 2 x x x x x x ，其中4x。 11、请先将下式化简，在选择一个喜欢又使原式有意义的数代入求值： 12 1 1 1 2 aaa a 八年级数学（下）第三章分式的四则运算 1.当 x 取何值时 ,分式 1 1 2 x x 的值为零 ? 2.当 x 取何值时，分式 2x x 有意义 ? 3、当x 取何值时，分式 2 1 2 x x 的值为负数？ 4、 22 2 21 10 6 5 3 2 x y x y y x 5、 ba ba ba aab33 22 2 6、 2 2 4 2 2 44 1 x x x xx 7、 222 1 32 1 13 1a a a a a a 8、 x x x x x x 2 1 22 5 2 9、 2 1 4 2 2 aa a 10、 3 1 3 1 xx - 8 - 11、 44 1 2 2 22 xx x xx x 12、 11 1 1 x x x 13、 22 22 442 1 yxyx yx yx yx 14、化简求值： 1） 、 168 4 2 2 xx xx ，其中 x=5。2） 、 1 2 1 2 2 a a a a ，其中2a。3） 、 1 1 11 2 2 xx x x x ，其中 x=5。 八年级数学（下）第三章分式 一、填空题： 1、下列各式： 4 1 , 3 , 3 2 ,4, 5 2 , 2 122 2 x x yxxy ba a 中是分式的是_ 2、当 x_时，分式 8 12 x x 有意义； 当 x_时，分式 8 12 x x 无意义； 当 x_时，分式 8 12 x x 的值为 0。 3、在下列三个不为零的式子4 2 x，xx2 2 ，44 2 xx中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是， 把这个分式化简所得的结果是 4、计算： cb a a b 2 2 4 2 _， ab x 4 15 ÷（ 18ax3） _。 5、 计算： 33 3 x x x _ _。 mn nm mn nm 3 2 3 2 = 。 6、不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母都不含“”号。 b a 4 3 = y x 3 2 = m n 3 = yx yx 2 = 二、选择题： 1、无论 x 取什么值，下列分式总有意义的是（） A、 2 1 x x B、 2 2 1 1 x x C、 1 1 2 x x D、 1x x 2、下列等式从左到右变形正确的是（） - 9 - A. 1 1 x y x y B. ax ay x y C. xa ya x y 2 2 D. xa ya x y 1 1 2 2 3、下列分式中，最简分式的个数是（） y xy 4 3 2 、 yx yx 22 、 xy yx 2 2 、 1 12 2 a aa 、 22 2 yx yxy 、 ab ba 2 3 A、4 个B、3 个C、 2 个D、1 个 4、计算 cd ax cd ab 4 3 2 2 等于（） 、 A. x b 3 2 2 B. 2 3 b 2x C. x b 3 2 2 D. 22 22 8 3 dc xba 5、下列运算正确的是（） A、 3 3 x y y x B、 22 2a b a baC、ba ab ba 122 D、 3 2 22 m m n nm 6、计算： xy yx xy yx 222 的结果是（） A、 y x2 B、2 C、 xy yx D、-2 7、计算： ab a ab a 11 2 的结果为（） A、 1 3 ab a B、 ab a 1 3 C、 1ab a D、 ab a 1 三、解答题： 1、已知分式 2 82 2 x x ，x 取什么值时，分式的值为零？ 2、化简下列各式： dba cba 52 43 56 21 1 22 22 44 4 2 yxyx yx 、 （xy x 2）÷ xy yx 、 9 3 2 2 x xx x 、 xy yx yx y xy yx2 、 22 ba b ba a 、 11 1 2 2 a aa a a - 10 - 3、先化简，再求值 xx xx xx x 3 93 96 9 2 23 2 2 ，其中x 5 （7 分） 11、先将 x x xx x1 1 1 1 2 化简，然后请你选一个自己喜欢的x 的值，求原式的值。 （8 分） 附加题： 1、已知： 22 222 3 x B x A x x ，求 A、B 的值。2、已知 01346 22 yyaa，求 a y a y 2 7 2 4 22 的值。 八年级数学（下）第三章分式方程（1） 1、下列关于x 的方程中，是分式方程的是（） A. xy5 B. 3 2 5 2zyx C. x 1 D. 5 3 x 0 2、分式方程 xx x xx1 1 1 1 22 的最简公分母是（） A、xxxx11 22 B、1 22 xxx C、xxx1 2 D、xx11 2 3、下列各方程的变形中，正确的是（） A、将1 2 1 2 1 x x x 变形，得111xB、将 1 617 222 xxxxx 变形，得xxx6117 - 11 - C、将0 25 5 52xx x 变形，得525xxD、将1 1 3 1 2 xx 变形，得1312xx 4、方程 1 1 )1( 2 x x 0 有增根，则增根是（） A. 1 B. 1 C. ±1 D. 0 5、 关于 x 的方程 4 332 xa ax 的根为 x 1，则 a 应取值（） A. 1 B. 3 C. 1 D. 3 6、 方程 4 57 xx 的根是 _。7、 若方程2 3x ax 的解为 x=2，则 a= 。 8、已知：关于x 的分式方程 xx x 3 3 2 3 有增根，则增根一定为。 9、如果关于x 的方程 x x x a 4 21 1 4 有增根，则a 的值为 _。 10、赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完。当他读了一半时，发现平均每天要多读21 页才能恰好在 借期内读完。他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则可列方程为 11、解下列方程： （1） xx 4 1 3 （ 2） x x x3 4 2 3 1 （3） 13 2 2 3 31 1 xx （4）1 1 4 1 1 2 xx x 12、 （阅读理解题）在解分式方程2 3 1 3 2 xx x 时，小明的解法如下： 解：方程两边都乘以3x，得212x移项得221x 解得5x 1)你认为小明在哪一步出现了错误(只写序号 ),错误的原因是 2)小明的解题步骤完善吗？如果不完善，说明他还缺少哪一步？ 答：。 3）请你解这个方程。 13、若 x 的方程 33 2 x m x x 有增根，则m 的值及增根的值分别是多少？ 八年级数学（下）第三章分式方程（2） 1、一项工程原计划a天可以完成，采用新的施工方法后，每天可以多完成工程的 b 1 ，则天可以完工。 2、某车间要制造a 个零件， 原计划每天造x 个，需要天才能完成， 若每天多造b 个，则可提前天完成。