导数中的构造函数(最全精编).pdf

1 1、利用 f (x) 与 x 构造；常用构造形式有xf (x), f (x) ；这类形式是对 u v, u 型函 xv 数导数计算的推广及应用，我们对u v, u 的导函数观察可得知，u v 型导函数中 v 体现的是“”法， u 型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当 v 导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造u v型，当导函数形式出现 的是“”法形式时，优先考虑构造 u ，我们根据得出的“优先”原则，看一看 v 例 1，例 2. 【例 1 】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x 0 时， f (x) xf ' (x) 0 ，且 f ( 4) 0 ，则不等式 xf (x) 0 的解集为 【解析】构造 F (x) xf (x) ，则F ' (x) f (x) xf ' (x) ，当x 0 时，f (x) xf ' (x) 0 ， 可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ， F (x) 在( ,0) 上单调递减. f (x) 为偶函数， x 为奇函 数， 所以 F (x) 为奇函数， F (x) 在 (0,) 上也单调递减 . 根据 f ( 4) 0 可得 F ( 4) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知xf (x) 0 的解 集为(, 4) (0,4) . ?思路点拨：出现“”形式，优先构造 F (x) xf (x) ，然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可 . 导数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 （一）利用f (x) 进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x) 是定义在R 上的偶函数，且f (1) 0 ， 当 x 0 时， 有 xf ' (x) f (x) 0 恒成立，则不等式f (x) 0 的解集为 2 x n 然 后 利 用 F (x) f (x) ?思路点拨：满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. 时， 2 f (x) xf ' (x) ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是 xf (x), f (x) 是比较简单常见的f (x) 与 x 之间的函数关系式，如果碰见复杂的， x 不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例3 题 【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0) 的导函数为 f ' (x) ，且满足 f ( 1) 0 ，当 x 0 xf ' (x) f (x) 0 ，可以推出 x 0 ，F '(x) 0 ，F (x) 在( ,0) 上单调递增. f (x) 为 偶函数， x 为奇函数，所以F (x) 为奇函数，F (x) 在 (0,) 上也单调递减 . 根据f (1) 0 可得 F (1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x) 0 的解集为 (, 1) (1,) . f ' (x) x f (x) ， 当 x 0 时 ， x 2 ' ， 则 F (x) f (x) x 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用函数的单调 F (x) f (x) x ?思路点拨：出现“”形式，优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可. x n 出现 xf ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) f (x) . 结论： 出现nf (x) xf ' (x) 形式，构造函数 F (x) x n f (x) ； ； xf ' (x) nf (x) x n 1 f ' (x) xn nx n 1 f (x) x 2n ' ， F (x) f (x) x n F (x) F (x) x n f (x) ， F ' (x) nx n 1 f (x) x n f (x) x n 1nf (x) f ' (x) ； 3 x n ' ?思路点拨：满足“xf ' (x) nf (x) ”形式，优先构造 F (x) xf (2x) ，然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. 注意 f ( 2) 0 和 F (x) 的转化 . xf ' (x) 2 f (x) 0 ，可以推出 x 0 ，F ' (x) 0 ，F (x) 在(0,) 上单调递减 . f (x) 为 偶函数， x 2 为偶函数，所以F (x) 为偶函数，F (x) 在 (,0) 上单调递增 . 根据 f ( 1) 0 可得 F ( 1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 f (x) 0 的解集为 ( 1,0)(0,1) . 【变式提升 】设函数 f (x) 满足 x 3 f ' (x) 3x 2 f (x) 1 ln x ，且 f ( 则 x 0 时， f (x) （ ） A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值 C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值 e ) 1 ， 2e 【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 在(,0) 上有 2xf ' (2x) f (2x) 0 ， 且 f ( 2) 0 ，则不等式 xf (2x) 0 的解集为. ?思路点拨：满 足“ xf ' (x) nf (x) ”形式，为n 3 时情况，优先构造 F (x) f (x) ， f ' (x) x 2 f (x) ， 当 x 0 时 ， x 3 ， 则 F (x) f (x) x 2 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用积分、函数的性质求解即可. 【 解 析 】 构 造 F (x) xf (2x) ， 则 F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) ， 当 x 0 时 ， F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) 0 ，可以推出 x 0 ， F ' (x) 0 ，F (x) 在 (,0) 上单调递减 . f (x) 为奇函数， x 为奇函数，所以 F (x) 为偶函数， F (x) 在 (0,) 上单调递增 . 根据 f ( 2) 0 可得 F ( 1) 0 ，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像 可知 xf (2x) 0 的解集为 ( 1,0) (0,1) . 4 （2）利用 f (x) 与 e x 构造； f (x) 与 e x 构造， 一方面是对 u v, u v 函数形式的考察，另外一方面是对 (e x ) e x 的考察 .所以对于 f (x) f ' (x) 类型，我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x 理，“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x) e x ，“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x) e x . 我们根据得出的结论去解决例6 题. 【例 5】已知 f (x) 是定义在 (,) 上的函数，导函数 f ' (x) 满足 f ' (x) f (x) 对于 x R 恒成立，则（） A 、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) B 、f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) C 、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) D 、f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) e x 见复杂的，我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？ 同样e x f (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与e x 之间的函数关系式，如果碰 函数 f ' (x) 满足 f ' (x) f (x) ，则 F ' (x) 0 ， F (x) 在 R 上单调递减，根据单调性可知 选 D. ，导 f ' (x) f (x) e x e x f ' (x) e x f (x) e 2 x ' 形式，则 F (x) f (x) e x 【解析】构造 F (x) 函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . e x ?思路点拨：满足“f ' (x) f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后利用 e nx 2、出现 f ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) f (x) . 结论： 1、出现 f ' (x) nf (x) 形式，构造函数 F (x) e nx f (x) ； ； f ' (x)e nx ne nx f (x) f ' (x) nf (x) e 2nx e nx ， ' F (x) f (x) e nx F (x) F (x) e nx f (x) ，F ' (x) n e nx f (x) e nx f ' (x) e nx f ' (x) nf (x) ； ' e 2 x e 2 x ?思路点拨：利用通式构造函数时考虑 4 如何转化. 构造函数 F (x) f (x) 2 ' e x 【例 6 】若定义在R 上的函数f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 0, f (0) 1 ，则不等式 f (x) e 2 x 的解集为 【变式提升】 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1， 则不等式 f (x) e 2 x 2 的解集为 【例 7 】已知函数f x 在 R 上可导，其导函数为f x，若 f x 满足： (x1)fxfx 0 ， f (2x)fx e 22x ，则下列判断一定正确的是（） （A） f (1) f (0) （B） f (2) e 2 f (0) （C ） f (3) e 3 f (0) （D） f (4) e 4 f (0) 5 ?思路点拨：满足“ f ' (x) 2 f (x) 0 ”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后利用 函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 【解析】构造 F (x) f (x) e 2 x 形式，则 F (x) e 2 x f ' (x) 2e2 x f (x) e 4 x f ' (x) 2 f (x) e 2 x ， 导函数f ' (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 0 ， 则 F ' (x) 0 ， F (x) 在 R 上单调递增 . 又 f (0) 1，则 F (0) 1 ， f (x) e 2 x f (x) 1 F (x) F (0) ，根据单调性得 x 0 . e 2 x e 2 x ?思路点拨：满足“ f ' (x) f (x) ”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后利用函数 的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 【解析】构造 F (x) f (x) e x 形式，则 F (x) e x f ' (x) e x f (x) e 2 x f ' (x) f (x) e x ，导 函数 f ' (x) 满足 (x 1) f ' (x) f (x) 0 ，则 x 1时 F ' (x) 0 ， F (x) 在1, ) 上单调递 增 . 当x 1 时F ' (x) 0 ， F (x) 在(,1 上单 调递减 . 又由 f (2 x) f (x)e 2 2 x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称，根据单调性和图像， 可知选 C. 6 根据得出的关系式，我们来看一下例8 【 例 8 】 已 知 函 数 y f x 对 于 任 意 的 x ( 2 2 , ) 满 足 f x cos x f x sin x 0 （其中 f x 是函数 f x 的导函数），则下列不等式 不成立的是（） A 、 2 f f ( ) ( ) 34 B、 2 f (f ( 3 ) 4 ) C 、 f (0) 2 f ( ) 4 D 、 f (0) 2 f ( 3) 化后可知选 B. 2 2 ' 满足 f x cos x f x sin x 0 ，则 F (x) 0 ，F (x) 在 (, ) 上单调递增 . 把选项转 ' ，导函数f (x) f ' (x) cos x f (x) sin x cos 2 x ' 形式，则 F (x) f (x) cos x 【解析】构造 F (x) 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . cos x ?思路点拨：满足“ f x cos x f x sin x 0 ”形式，优先构造 F (x) f (x) . f ' (x) cos x f (x) sin x cos 2 x ' , F (x) f (x) cos x F (x) F (x) f (x) cos x, F ' (x) f ' (x) cos x f (x) sin x ； ； f ' (x) sin x f (x) cos x sin 2 x ' , F (x) f (x) sin x F (x) F (x) f (x) sin x, F ' (x) f ' (x) sin x f (x) cos x ； （3）利用 f (x) 与 sin x, cos x 构造. sin x, cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一 起看看常考的几种形式 . 【变式提升】 定义在 (0, ) 上的函数，函数f 2 ' (x) 是它的导函数，且恒有 7 3 23 f (x) f ' (x) tan x 成立，则（ ） A、f ( ) 4 f ( ) 3 B、 f (1) 2 f ( ) sin1 6 C、f ( ) 6 f ( ) 4 D 、f ( ) 6 f ( ) 3 则 f ' (0) （） A、2 6 B、2 9 C、2 12 D、2 15 （二） 构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题 . 【例 9 】 ,，且sinsin 0 ，则下列结论正确的是（ 2 2 ） A、B、 2 2 C、D、 0 【变式提升】 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (1) 1 且对x R, f ' (x) 1 则 ， 2 不等式 f (log x) log2 x 1 的解集为 . 2 2 【例 10】等比数列an 中，a12， a84，函数 f (x)x(xa1)(xa2).(xa8) ， 2 f ' (x) 0 ， f (x) 单调递增； x ,0) 时导函数 f ' (x) 0 ， f (x) 单调递减. 有 f (x) 2 为偶函数，根据单调性和图像可知选 B. ' 【解析】构造f (x) x sin x 形式，则 f (x) sin x x cos x ， x 0, 时导函数 ?思路点拨：构造函数 f (x) x sin x ，然后利用函数的单调性和数形结合求解即 可. ，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可. 2 2 t 1 2 f (t) ?思路点拨：构造函数F (x) f (x) 1 x2 ，令t log x ，然后原不等式等价于 ?思路点拨：满足“ f ' (x) sin x f (x) cos x ”形式，优先构造 F (x) f (x) ，然后 sin x 利用函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 2 8 ) f ' (x) sin 2x ，且 x R ，有f ( x) f (x) 2 sin 2 x ，则以下大小关系一定 正确的是（） f (5 4 A、) f ( ) 6 3 B、f ( ) 4 f ( ) C、 f ( 5 6 f ( 4 3 D、 f ( 4 f () 81 2 f ' (x) g(x) xg ' (x) ， f ' (0) g(0) a a . a (2 4) 4 2 12 ，故选 C. 【 解 析 】 令g(x) (x a1 )(x a2 ).(x a8 ) 形 式 ， 则f (x) xg(x) ， ?思路点拨：构造函数f (x) xg(x) ，然后利用整体代换思想和数列的性质求解 即可. 【例 11】已知实数 a, b, c 满足 a 2e a b 1c d 1 1 ，其中 e 是自然对数的底数， 那么 (a c) 2 (b d ) 2 的最小值为 ( ) A、8 B、10 C 、12 D、18 【变式提升】已知实数 a, b 满足 2a 2 5 ln a b 0 ，c R ，则 (a c) 2 (b c) 2 的最小值为 【课后作业】 设函数f (x) 在R 上的导函数f ' (x) ， 在 (0,) 上 8 1 1 | 0 2 2 2 为(0, 2) ，所以 (a c) 2 (b d ) 2 的最小值为 d 1 1 c 1 d 2 c g(x) 2 x ；由 f ' (x) 1 2ex 1，得 x 0 ，所以切点坐标 xa 1 b a 2e 进 而f (x) x 2e ； 又 由 b a 2e a 【 解 析 】 由 ?思路点拨：把 (a c) 2 (b d ) 2 看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及 点到直线的距离即可 . ?思路点拨：构造函数f (x) 2x 2 5 ln x ， g(x) x ，然后利用两点之间的距 离公式和数形结合思想求解即可. ) 9 构造函数，作为一种做题技巧的体现，考察了学生的思考能力和动手能力， 是一种非常实用的做题技巧，希望我的总结分享能够给大家带来帮助。