导数中的构造函数(最全精编).pdf
1 1、利用 f (x) 与 x 构造;常用构造形式有xf (x), f (x) ;这类形式是对 u v, u 型函 xv 数导数计算的推广及应用,我们对u v, u 的导函数观察可得知,u v 型导函数中 v 体现的是“”法, u 型导函数中体现的是“ ”法,由此,我们可以猜测,当 v 导函数形式出现的是“”法形式时,优先考虑构造u v型,当导函数形式出现 的是“”法形式时,优先考虑构造 u ,我们根据得出的“优先”原则,看一看 v 例 1,例 2. 【例 1 】 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,当x 0 时, f (x) xf ' (x) 0 ,且 f ( 4) 0 ,则不等式 xf (x) 0 的解集为 【解析】构造 F (x) xf (x) ,则F ' (x) f (x) xf ' (x) ,当x 0 时,f (x) xf ' (x) 0 , 可以推出 x 0 , F ' (x) 0 , F (x) 在( ,0) 上单调递减. f (x) 为偶函数, x 为奇函 数, 所以 F (x) 为奇函数, F (x) 在 (0,) 上也单调递减 . 根据 f ( 4) 0 可得 F ( 4) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知xf (x) 0 的解 集为(, 4) (0,4) . ?思路点拨:出现“”形式,优先构造 F (x) xf (x) ,然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可 . 导数小题中构造函数的技巧 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想, 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现,尤其是在导数题型中,下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。 (一)利用f (x) 进行抽象函数构造 【例 2 】设 f (x) 是定义在R 上的偶函数,且f (1) 0 , 当 x 0 时, 有 xf ' (x) f (x) 0 恒成立,则不等式f (x) 0 的解集为 2 x n 然 后 利 用 F (x) f (x) ?思路点拨:满足“ xf ' (x) nf (x) ”形式,优先构造 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. 时, 2 f (x) xf ' (x) ,则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是 xf (x), f (x) 是比较简单常见的f (x) 与 x 之间的函数关系式,如果碰见复杂的, x 不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式. 我们根据得出的结论去解决例3 题 【例 3】已知偶函数 f (x)(x 0) 的导函数为 f ' (x) ,且满足 f ( 1) 0 ,当 x 0 xf ' (x) f (x) 0 ,可以推出 x 0 ,F '(x) 0 ,F (x) 在( ,0) 上单调递增. f (x) 为 偶函数, x 为奇函数,所以F (x) 为奇函数,F (x) 在 (0,) 上也单调递减 . 根据f (1) 0 可得 F (1) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为 (, 1) (1,) . f ' (x) x f (x) , 当 x 0 时 , x 2 ' , 则 F (x) f (x) x 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用函数的单调 F (x) f (x) x ?思路点拨:出现“”形式,优先构造 性、奇偶性和数形结合求解即可. x n 出现 xf ' (x) nf (x) 形式,构造函数 F (x) f (x) . 结论: 出现nf (x) xf ' (x) 形式,构造函数 F (x) x n f (x) ; ; xf ' (x) nf (x) x n 1 f ' (x) xn nx n 1 f (x) x 2n ' , F (x) f (x) x n F (x) F (x) x n f (x) , F ' (x) nx n 1 f (x) x n f (x) x n 1nf (x) f ' (x) ; 3 x n ' ?思路点拨:满足“xf ' (x) nf (x) ”形式,优先构造 F (x) xf (2x) ,然后利用 函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可. 注意 f ( 2) 0 和 F (x) 的转化 . xf ' (x) 2 f (x) 0 ,可以推出 x 0 ,F ' (x) 0 ,F (x) 在(0,) 上单调递减 . f (x) 为 偶函数, x 2 为偶函数,所以F (x) 为偶函数,F (x) 在 (,0) 上单调递增 . 根据 f ( 1) 0 可得 F ( 1) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知 f (x) 0 的解集为 ( 1,0)(0,1) . 【变式提升 】设函数 f (x) 满足 x 3 f ' (x) 3x 2 f (x) 1 ln x ,且 f ( 则 x 0 时, f (x) ( ) A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值 C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值 e ) 1 , 2e 【例 4】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 在(,0) 上有 2xf ' (2x) f (2x) 0 , 且 f ( 2) 0 ,则不等式 xf (2x) 0 的解集为. ?思路点拨:满 足“ xf ' (x) nf (x) ”形式,为n 3 时情况,优先构造 F (x) f (x) , f ' (x) x 2 f (x) , 当 x 0 时 , x 3 , 则 F (x) f (x) x 2 【 解 析 】 构 造 F (x) 然后利用积分、函数的性质求解即可. 【 解 析 】 构 造 F (x) xf (2x) , 则 F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) , 当 x 0 时 , F ' (x) 2xf ' (x) f (2x) 0 ,可以推出 x 0 , F ' (x) 0 ,F (x) 在 (,0) 上单调递减 . f (x) 为奇函数, x 为奇函数,所以 F (x) 为偶函数, F (x) 在 (0,) 上单调递增 . 根据 f ( 2) 0 可得 F ( 1) 0 ,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像 可知 xf (2x) 0 的解集为 ( 1,0) (0,1) . 4 (2)利用 f (x) 与 e x 构造; f (x) 与 e x 构造, 一方面是对 u v, u v 函数形式的考察,另外一方面是对 (e x ) e x 的考察 .所以对于 f (x) f ' (x) 类型,我们可以等同 xf (x), f (x) 的类型处 x 理,“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x) e x ,“ ”法优先考虑构造 F (x) f (x) e x . 我们根据得出的结论去解决例6 题. 【例 5】已知 f (x) 是定义在 (,) 上的函数,导函数 f ' (x) 满足 f ' (x) f (x) 对于 x R 恒成立,则() A 、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) B 、f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) C 、 f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) D 、f (2) e 2 f (0), f (2014) e 2014 f (0) e x 见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢? 同样e x f (x), f (x) 是比较简单常见的 f (x) 与e x 之间的函数关系式,如果碰 函数 f ' (x) 满足 f ' (x) f (x) ,则 F ' (x) 0 , F (x) 在 R 上单调递减,根据单调性可知 选 D. ,导 f ' (x) f (x) e x e x f ' (x) e x f (x) e 2 x ' 形式,则 F (x) f (x) e x 【解析】构造 F (x) 函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . e x ?思路点拨:满足“f ' (x) f (x) 0 ”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后利用 e nx 2、出现 f ' (x) nf (x) 形式,构造函数 F (x) f (x) . 结论: 1、出现 f ' (x) nf (x) 形式,构造函数 F (x) e nx f (x) ; ; f ' (x)e nx ne nx f (x) f ' (x) nf (x) e 2nx e nx , ' F (x) f (x) e nx F (x) F (x) e nx f (x) ,F ' (x) n e nx f (x) e nx f ' (x) e nx f ' (x) nf (x) ; ' e 2 x e 2 x ?思路点拨:利用通式构造函数时考虑 4 如何转化. 构造函数 F (x) f (x) 2 ' e x 【例 6 】若定义在R 上的函数f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 0, f (0) 1 ,则不等式 f (x) e 2 x 的解集为 【变式提升】 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 4 0, f (0) 1, 则不等式 f (x) e 2 x 2 的解集为 【例 7 】已知函数f x 在 R 上可导,其导函数为f x,若 f x 满足: (x1)fxfx 0 , f (2x)fx e 22x ,则下列判断一定正确的是() (A) f (1) f (0) (B) f (2) e 2 f (0) (C ) f (3) e 3 f (0) (D) f (4) e 4 f (0) 5 ?思路点拨:满足“ f ' (x) 2 f (x) 0 ”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后利用 函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 【解析】构造 F (x) f (x) e 2 x 形式,则 F (x) e 2 x f ' (x) 2e2 x f (x) e 4 x f ' (x) 2 f (x) e 2 x , 导函数f ' (x) 满足 f ' (x) 2 f (x) 0 , 则 F ' (x) 0 , F (x) 在 R 上单调递增 . 又 f (0) 1,则 F (0) 1 , f (x) e 2 x f (x) 1 F (x) F (0) ,根据单调性得 x 0 . e 2 x e 2 x ?思路点拨:满足“ f ' (x) f (x) ”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后利用函数 的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 【解析】构造 F (x) f (x) e x 形式,则 F (x) e x f ' (x) e x f (x) e 2 x f ' (x) f (x) e x ,导 函数 f ' (x) 满足 (x 1) f ' (x) f (x) 0 ,则 x 1时 F ' (x) 0 , F (x) 在1, ) 上单调递 增 . 当x 1 时F ' (x) 0 , F (x) 在(,1 上单 调递减 . 又由 f (2 x) f (x)e 2 2 x F (2 x) F (x) F (x) 关于 x 1 对称,根据单调性和图像, 可知选 C. 6 根据得出的关系式,我们来看一下例8 【 例 8 】 已 知 函 数 y f x 对 于 任 意 的 x ( 2 2 , ) 满 足 f x cos x f x sin x 0 (其中 f x 是函数 f x 的导函数),则下列不等式 不成立的是() A 、 2 f f ( ) ( ) 34 B、 2 f (f ( 3 ) 4 ) C 、 f (0) 2 f ( ) 4 D 、 f (0) 2 f ( 3) 化后可知选 B. 2 2 ' 满足 f x cos x f x sin x 0 ,则 F (x) 0 ,F (x) 在 (, ) 上单调递增 . 把选项转 ' ,导函数f (x) f ' (x) cos x f (x) sin x cos 2 x ' 形式,则 F (x) f (x) cos x 【解析】构造 F (x) 然后利用函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . cos x ?思路点拨:满足“ f x cos x f x sin x 0 ”形式,优先构造 F (x) f (x) . f ' (x) cos x f (x) sin x cos 2 x ' , F (x) f (x) cos x F (x) F (x) f (x) cos x, F ' (x) f ' (x) cos x f (x) sin x ; ; f ' (x) sin x f (x) cos x sin 2 x ' , F (x) f (x) sin x F (x) F (x) f (x) sin x, F ' (x) f ' (x) sin x f (x) cos x ; (3)利用 f (x) 与 sin x, cos x 构造. sin x, cos x 因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一 起看看常考的几种形式 . 【变式提升】 定义在 (0, ) 上的函数,函数f 2 ' (x) 是它的导函数,且恒有 7 3 23 f (x) f ' (x) tan x 成立,则( ) A、f ( ) 4 f ( ) 3 B、 f (1) 2 f ( ) sin1 6 C、f ( ) 6 f ( ) 4 D 、f ( ) 6 f ( ) 3 则 f ' (0) () A、2 6 B、2 9 C、2 12 D、2 15 (二) 构造具体函数关系式构造 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题 . 【例 9 】 ,,且sinsin 0 ,则下列结论正确的是( 2 2 ) A、B、 2 2 C、D、 0 【变式提升】 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (1) 1 且对x R, f ' (x) 1 则 , 2 不等式 f (log x) log2 x 1 的解集为 . 2 2 【例 10】等比数列an 中,a12, a84,函数 f (x)x(xa1)(xa2).(xa8) , 2 f ' (x) 0 , f (x) 单调递增; x ,0) 时导函数 f ' (x) 0 , f (x) 单调递减. 有 f (x) 2 为偶函数,根据单调性和图像可知选 B. ' 【解析】构造f (x) x sin x 形式,则 f (x) sin x x cos x , x 0, 时导函数 ?思路点拨:构造函数 f (x) x sin x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即 可. ,利用单调性求解集,然后解对数不等式即可. 2 2 t 1 2 f (t) ?思路点拨:构造函数F (x) f (x) 1 x2 ,令t log x ,然后原不等式等价于 ?思路点拨:满足“ f ' (x) sin x f (x) cos x ”形式,优先构造 F (x) f (x) ,然后 sin x 利用函数的单调性和数形结合求解即可. 注意选项的转化 . 2 8 ) f ' (x) sin 2x ,且 x R ,有f ( x) f (x) 2 sin 2 x ,则以下大小关系一定 正确的是() f (5 4 A、) f ( ) 6 3 B、f ( ) 4 f ( ) C、 f ( 5 6 f ( 4 3 D、 f ( 4 f () 81 2 f ' (x) g(x) xg ' (x) , f ' (0) g(0) a a . a (2 4) 4 2 12 ,故选 C. 【 解 析 】 令g(x) (x a1 )(x a2 ).(x a8 ) 形 式 , 则f (x) xg(x) , ?思路点拨:构造函数f (x) xg(x) ,然后利用整体代换思想和数列的性质求解 即可. 【例 11】已知实数 a, b, c 满足 a 2e a b 1c d 1 1 ,其中 e 是自然对数的底数, 那么 (a c) 2 (b d ) 2 的最小值为 ( ) A、8 B、10 C 、12 D、18 【变式提升】已知实数 a, b 满足 2a 2 5 ln a b 0 ,c R ,则 (a c) 2 (b c) 2 的最小值为 【课后作业】 设函数f (x) 在R 上的导函数f ' (x) , 在 (0,) 上 8 1 1 | 0 2 2 2 为(0, 2) ,所以 (a c) 2 (b d ) 2 的最小值为 d 1 1 c 1 d 2 c g(x) 2 x ;由 f ' (x) 1 2ex 1,得 x 0 ,所以切点坐标 xa 1 b a 2e 进 而f (x) x 2e ; 又 由 b a 2e a 【 解 析 】 由 ?思路点拨:把 (a c) 2 (b d ) 2 看成两点距离的平方,然后利用数形结合以及 点到直线的距离即可 . ?思路点拨:构造函数f (x) 2x 2 5 ln x , g(x) x ,然后利用两点之间的距 离公式和数形结合思想求解即可. ) 9 构造函数,作为一种做题技巧的体现,考察了学生的思考能力和动手能力, 是一种非常实用的做题技巧,希望我的总结分享能够给大家带来帮助。