数列解答题专项训练.pdf

数列专题解答题 1.【A】已知数列中，数列满足 （1） 求证：数列是等差数列； （2） 求数列中的最大值和最小值，并说明理由 解：(1),而, ,；故数列是首项为，公差为 1 的等差 数列； （2）由（ 1）得，则；设函数，函数 在和上均为减函数，当时，； 当时， ；且，当趋向于时，接近 1， 1.【B】已知数列 an满足 a1=4,an=4(n2) ，令 bn=, (1)求证数列 bn 是等差数列； (2)求数列 an 的通项公式 (1)【证明】an+12=2(n 故(n1) 即 bn+1bn=(n1) 数列 bn是等差 数列 (2)【解】 是等差数列an=2+ 数列 an 的通项公式 an=2+ n a 5 3 1 a),2( 1 2 1 Nnn a a n n n b )( 1 1 Nn a b n n n b n a 1 1) 1 2( 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a b 1 1 1 1 n n a b ), 2(1 1 Nnnbb nn 2 5 1 1 1 1 a b n b 2 5 2 7 nbn 72 2 1 1 1 nb a n n 72 2 1)( x xf 72 2 1)( x xf) 2 7 ,(), 2 7 (3x 1)3()(fxf 4x 3)4()(fxf 5 3 ) 1(fn)(xf1)( 3min aan 3)( 4max aan 1 4 n a2 1 n a n n n a a a )2(24 2 1 2 1 )2(22 1 1nn n n aa a a 2 1 2 1 2 1 1nn aa 2 1 2 1 n a22 1 )1( 2 1 2 1 1 n n aann 2 n 2 2.【A】 已知等比数列分别是某等差数列的第5 项、第 3 项、第 2 项，且 （）求； （）设，求数列 解析： （I）依题意 （II） 2.【B】已知数列 an的前 n 项和是 Sn=32nn 2,求数列 a n的前 n 项和 Sn 解： a1=S1=32× 11 2=31, 当 n2 时，an=SnSn1=332n,又由 an0，得 n165,即an前 16项为正， 432 ,aaaan中 1,64 1 qa公比 n a nn ab 2 log.| nn Tnb项和的前 032),( 3 2244342 aaaaaaa即 032 1 3 1 3 1 qaqaqa 2 1 10132 2 qqqq或 2 1 1qq 1 ) 2 1 (64 n n a故 nb nn n 72log) 2 1 (64log 7 2 1 2 77 77 | nn nn bn n nnn Tbn n )13( 2 )76( ,6| ,7 1 时当 2 )7)(6( 21 2 )7)(71( , 1| ,7 78 nnnn TTbn n 时当 )7(21 2 )7)(6( )7( 2 )13( n nn n nn Tn 以后皆负 当 n16 时，Sn= a1+a2+ an=a1+a2+ an=33nn2 当 n16时，Sn= a1+a2+ a16a17a18an=S16(SnS16)2S16Sn512 32nn 2 3.【A】设数列的前项和为已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式 ,及前 n T 解： （I）由及，有 由， 则当时，有 得 又，是首项，公比为的等比数列 （II）由（ I）可得， 数列是首项为，公差为的等比数列 ， 3.【B】在数列中， （1）设证明是等差数列 ;（2）求数列的前项和。 解： （1）由已知得， 又是首项为 1，公差为 1 的等差数列； 2 2 32 (16) ' 51232 (16) n nnn S nnn n a n , n S 1 1,a 1 42 nn Sa 1 2 nnn baa n b n a 1 1,a 1 42 nn Sa 121 42,aaa 21121 325,23aabaa 1 42 nn Sa 2n 1 42 nn Sa 1111 44,22(2) nnnnnnn aaaaaaa 1 2 nnn baa 1 2 nn bb n b 1 3b 1 1 23 2 n nnn baa 1 1 3 224 nn nn aa 2 n n a1 2 3 4 1331 (1) 22444 n n a nn 2 (31) 2 n n an n a n nn aaa22, 1 11 , 2 1n n n a b n b n an n S n nn aa22 1 11 22 22 2 1 1 1n n n n n n n n n b aaa b 1 11 ab n b （2）由（ 1）知 两式相减得 4.【A】已知数列 n a是递增的等比数列，且 1423 9,8.aaa a （）求数列 n a的通项公式； （）设 n S 为数列 n a的前 n 项和， 1 1 n n nn a b S S ，求数列 n b的前 n 项和 n T . 【解析】 （）由题设可知8 3241 aaaa， 又9 41 aa， 可解的 8 1 4 1 a a 或 1 8 4 1 a a （舍去） 由 3 14 qaa得公比2q， 故 11 1 2 nn n qaa. （）12 21 21 1 )1 ( 1n nn n q qa S 又 11 111 11 nnn n nnnnnn aSS b S SS SSS 所以 nn bbbT. 21 11 13221 11 11 . 1111 n nn SS SSSSSS 12 1 1 1n . 4.【B】已知等差数列满足：，的前 n 项和为 （）求及； 1 1 2, 2 n nn n nan a 12 223221 n n nS n n nS2232222 32 nn n nS222221 132 12) 1( n n nS n a 3 7a 57 26aa n a n S n a n S （）令 bn=(nN*)，求数列的前 n 项和 解：设等差数列的公差为 d，因为，所以有 ，解得， 所以；=。 （） 由 （）知， 所以 bn=， 所以=， 即数列的前 n 项和=。 5.【A】已知数列 n a是首项为正数的等差数列，数列 1 1 nn aa 的前 n 项和为 21 n n . （I）求数列 n a的通项公式； （II）设12 n a nn ba，求数列 n b的前 n项和 n T . 【解析】 （I）设数列 n a的公差为 d ， 令1,n得 12 11 3a a ，所以 12 3a a. 令2,n得 1223 112 5a aa a ，所以 23 15a a. 解得 1 1,2ad，所以21. n an （II）由（ I）知 24 224 , nn n bnn所以 12 1 42 44 , n n Tn 所以 231 41 42 4(1) 44, nn n Tnn 2 1 1 n a n b n T n a 3 7a 57 26aa 1 1 27 21026 ad ad 1 3,2ad 321)=2n+1 n an（ n S n(n-1) 3n+2 2 2 n +2n 2n+1 n a 2 1 1 n a 2 1 = 2n+1)1（ 11 4 n(n+1) 111 (-) 4nn+1 n T 111111 (1-+-) 4223n n+1 11 (1-)= 4n+1 n 4(n+1) n b n T n 4(n+1) 两式相减，得 121 34444 nn n Tn 11 4(1 4 )1 34 44, 1 433 n nn n n 所以 1 13144(31) 4 4. 999 n n n nn T 5.【B】已知数列 n a和 n b满足， * 111 2,1,2(nN ), nn abaa * 1231 111 1(nN ) 23 nn bbbbb n . （1）求 n a 与 n b ； （2）记数列 nn a b的前 n 项和为 n T ，求 n T . 【解析】 (1)由 11 2,2 nn aaa ，得2 n n a. 当1n时， 12 1bb，故 2 2b. 当2n时， 1 1 nnn bbb n ， 整理得 1 1 n n bn bn ，所以 n bn. (2)由(1)知，2 n nn a bn 所以 23 22 23 22 n n Tn 2341 222 23 2(1) 22 nn n Tnn所以 231 1 222222 (1)22 nn nnn n TTTn n 6.【A】设数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 233. n n S （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 3 log nnn a ba ，求数列 n b的前 n项和 n T. 解： （）由 233 n n S可得 11 1 (33)3 2 aS， 11 1 11 (33)(33)3(2) 22 nnn nnn aSSn 而 1 1 1 33a，则 1 3,1, 3,1. nn n a n （）由 3 log nnn a ba 及 1 3,1, 3,1. nn n a n 可得 3 1 1 ,1, log 3 1 ,1. 3 n n n n n a b na n 231 11231 33333 nn n T. 22341 1112321 3333333 nnn nn T 6. 【 B 】 已 知 na 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , nb 是 等 差 数 列 , 且 11233 1,2abbba=+=, 52 37ab-=. （I）求 n a和 n b的通项公式； （II）设 nnn bac,求数列 n c的前 n 项和. 【答案】 （I） 1 2, n n anN,21, n bnnN； （II）23 23 n n Sn 试题解析：（I）设 n a的公比为q, n b的公差为d,由题意 0q,由已知 ,有 2 4 232, 310, qd qd 消去 d 得 42 280,qq解得2,2qd,所以 n a的通项公式 为 1 2, n n anN, n b的通项公式为21, n bnnN. （II）由（ I）有 1 21 2 n n cn,设 n c的前 n 项和为 n S,则 0121 1 23252212, n n Sn 123 21 23252212 , n n Sn 两式相减得 23 12222122323, nnn n Snn 所以23 23 n n Sn. 2231 2231 21111111 33333333 1111111 () 3333333 11 212131 33 1 93922 33 1 3 1321 182 3 n nn nn n nnn n n T n nn n 1 1321 124 3 n n n T 7.已知数列 n a， n b满足 1 2a，,1 nn ba，. （）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； （）令求数列的前 n项和 . 【分析】 （）由，得 1 11 1() nn nN bb ，数列 1 n b 是等差数列 . （）用错位相减法求解. 【解析】1 nn ba，1 nn ab，由 1 21 nnn aa a， 1 2(1)1(1)(1) nnn bbb，化简得：， 1 11 1 nn nnnn bb b bb b ，即 1 11 1() nn nN bb ， 而 11 111 1 121ba ，数列 1 n b 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 . 1 1(1) 1 n nn b ，即 1 () n bnN n ， 11 1() n n anN nn . 1 21 nnn aa a0 n b 1 n b n a n n n b c 2 1 n c n T 1 21 nnn aa a 11nnnn bbb b0 n b 7. 【A】 设各项均为正数的数列 n a的前 n项和为 n S ， 满足 2 1 441, nn SannN ， 且 2514 ,a aa 构成等比数列 （1）证明： 21 45aa； （2）求数列 n a的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有 12231 1111 2 nn a aa aa a 【解答】 （1）当1n时， 22 1221 45,45aaaa， 21 045 n aaa （2）当2n时， 2 1 4411 nn San， 22 11 4444 nnnnn aSSaa 2 22 1 442 nnnn aaaa， 1 02 nnn aaa 当2n时， n a是公差2d的等差数列 2514 ,a a a 构成等比数列， 2 5214 aaa， 2 222 824aaa，解得 2 3a， 由(1)可知， 2 121 45=4,1aaa 21 3 12aa， n a是首项 1 1a，公差2d的等差数列 数列 n a的通项公式为21 n an （3） 12231 1111111 1 33 55 72121 nn a aa aa ann 11111111 (1)()()() 2335572121nn 111 1 2212n 7.【B】等差数列 n a中， 7199 4,2aaa ， （1）求 n a的通项公式； （2）设 1 , nnn n bbnS na 求数列的前 项和 【解答】 （1）设等差数列 n a的公差为d，则 1 (1) n aand 因为 7 199 4 2 a aa ，所以 1 11 64 182(8 ) ad adad 解得， 1 1 1, 2 ad 所以 n a的通项公式为 1 2 n n a （2） 1222 (1)1 n n b nan nnn ， 所以 2222222 ()()() 122311 n n S nnn 8.【AB】正项数列 n a的前项和 n S 满足: 222 (1)()0 nn SnnSnn. （1）求数列 n a的通项公式 n a ； （2）令 22 1 (2) n n n b na ,数列 n b的前 n 项和为 n T .证明 :对于任意的 * nN,都有 5 64 n T. 解析： （1）由 222 (1)()0 nn SnnSnn,得 2 () (1)0 nn SnnS. 由于 n a是正项数列 ,所以 2 0, nn SSnn . 于是 11 2,2aSn时, 22 1 (1)(1)2 nnn aSSnnnnn. 综上,数列 n a的通项2 n an . （2）证明 :由于 22 1 2 , (2) nn n n an b na . 则 2222 1111 4(2)16(2) n n b nnnn . 222222222 1111111111 1 1632435(1)(1)(2) n T nnnn 2222 1111115 1(1) 162(1)(2)16264nn . 9.【AB】已知数列n a 满足 11a，1 21 nn nana ，设 n n a b n （1）求123 bbb， ； （2）判断数列n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求n a 的通项公式 解： （1）由条件可得an+1= 2(1) n n a n 将 n=1 代入得， a2=4a1，而 a1=1，所以， a2=4 将 n=2 代入得， a3=3a2，所以， a3=12从而 b1=1，b2=2，b3=4 （2） bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列 由条件可得 1 2 1 nn aa nn ，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以 bn 是首项为 1，公比为 2 的等比数列 （3）由（2）可得 1 2 n n a n ，所以 an=n· 2 n-1 10.【A】数列an是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七 项为负 . （1）求数列的公差 ； （2）求前 n 项和 Sn的最大值 ； （3）当 Sn0 时，求 n 的最大值 (1)由已知 a6=a15d=235d0， a7=a16d=236d0， 解得: 5 23 d 6 23 ， 又 dZ，d=4 (2)d0，an 是递减数列，又 a60，a70当 n=6 时，Sn取得最大值， S6=6× 23 2 56 (4)=78