【高中教育】最新高三数学一轮复习第19讲数列求和教案.pdf

1 / 13 教学资料参考参考范本 【高中教育】最新高三数学一轮复习第19讲数列求和教案 _年_月_日 _ 部门 2 / 13 教 学 目 标 1探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法； 2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、 等比数列知识解决相应的实际问题。 命 题 走 向 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出 一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通 过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想 方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都 属于中、高档题目。 有关命题趋势： 1数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三 者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理 题是高考的重点； 2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考 察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4有关数列的应用问题也一直备受关注。 预测 2017年高考对本将的考察为： 1可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答 题； 2也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等 联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 教 学 准 备 多媒体课件 3 / 13 教 学 过 程 1等差数列的前n 项和公式 Sn n（a1an） 2 na1 n（n1） 2 d 2等比数列的前n 项和公式 Sn na1，q1， a1anq 1q a1（1qn） 1q ，q1。 3一些常见数列的前n 项和公式 (1)1 234 nn（n1） 2 ； (2)1 357 (2n1)n 2； (3)2 468 2nn 2n 1辨明两个易误点 (1) 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些 项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点 (2) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不 等于 1 两种情况求解 2数列求和的常用方法 (1) 倒序相加法 如果一个数列 an 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一 个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即 是用此法推导的 (2) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导 的 4 / 13 (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得 其和 (4) 分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则 求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减 (5) 并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an( 1) nf ( n) 类型，可采用两项合并求解 1数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1234 (1) n1·n，则 S 17 ( ) A9 B8 C17 D 16 解析：选A。S17123456 1516171( 23) ( 4 5)( 67) (1415)( 1617)111 19。 2( 必修 5 P47 习题 2。3 B 组 T4 改编) 数列an 中，an 1 n（n1） ，若 an 的 前 n 项和为 2 015 2 016 ，则项数 n 为( ) A2 014 B2 015 C2 016 D 2 017 解析：选 B。an 1 n（n1） 1 n 1 n1， Sn1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n11 1 n1 n n1 2 015 2 016 ，所以 n2 015 。 3等差数列 an 的通项公式为 an2n1，其前 n 项的和为 S n，则数列 Sn n 的前 10 项的和为 ( ) 5 / 13 A120 B100 C75 D 70 解析：选 C。因为 Snn（a1an） 2 n( n2)， 所以 Sn n n2。 故 S1 1 S2 2 S10 10 75。 4 若数 列 an 的通项 公 式为 an 2 n 2n1， 则数 列 an 的前n 项和 为 _ 解析： Sn 2（12n） 12 n（12n1） 2 2 n12n2。 答案： 2 n1 n 22 5已知数列 an 的前 n 项和为 Sn且 ann·2 n，则 S n_ 解析： Sn1×22×2 23×23 n×2n， 所以 2Sn1×2 22×233×24 n×2n1， 得 Sn22 2232nn×2n12×（12n） 12 n×2 n1， 所以 Sn(n1)2 n12。 答案： ( n1)2 n12 考点一分组转化法求和 (20xx ·高考福建卷 )等差数列 an 中，a24，a4a715。 (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 bn2an2n，求 b1b2b3 b10的值 (1) 设等差数列 an 的公差为 d。 由已知得 a1d4， （a13d）（ a16d）15， 6 / 13 解得 a13， d1。 所以 ana1( n1)dn2。 (2) 由(1) 可得 bn2 nn， 所以 b1b2b3 b10 (21) (2 22)(233) (21010) (22 223 210) (123 10) 2（1210） 12 （110）×10 2 (2 112)55 2 11532 101。 分组转化法求和的常见类型 (1) 若 anbn±cn，且bn ， cn 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 a n 的 前 n 项和； (2) 通项公式为an bn，n为奇数， cn，n为偶数 的数列，其中数列 bn，cn 是等比数列或 等差数列，可采用分组求和法求和 1。已知等比数列 an中，首项a13，公比q1，且 3( an2an) 10a n10( nN * ) (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 bn1 3an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 bn 的通项公式和前 n 项和 Sn。 解：(1) 因为 3(an2an)10an10， 所以 3( anq 2 a n) 10anq0， 即 3q 210q30。 因为公比 q1，所以 q3。 7 / 13 又首项 a13， 所以数列 an 的通项公式为 an3 n。 (2) 因为 bn1 3an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， 所以 bn 1 3a n12(n1) 即数列 bn 的通项公式为 bn2n13n1， 前 n 项和 Sn(133 2 3n1) 1 2(3 n1) n2。 考点二错位相减法求和 (20xx ·高考湖北卷 )设等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比 数列 bn 的公比为 q。已知 b1a1，b22，qd，S 10100。 (1) 求数列 an ， bn的通项公式； (2) 当 d1时，记 cnan bn，求数列 c n 的前 n 项和 Tn。 (1) 由题意有 10a145d100， a1d2， 即 2a19d20， a1d2， 解得 a11， d2 或 a19， d 2 9。 故 an2n1， bn2n1 或 an1 9（2n79）， bn9· 2 9 n1 。 (2) 由 d1，知 an2n1，bn2 n1，故 c n2n1 2n1， 于是 Tn1 3 2 5 22 7 23 9 24 2n1 2n1， 8 / 13 1 2T n1 2 3 22 5 23 7 24 2n3 2n1 2n1 2n 。 可得 1 2T n21 2 1 22 1 2n2 2n1 2n 3 2n3 2n ， 故 Tn6 2n3 2n1。 用错位相减法求和时应注意的两点 (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ Sn”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一 步准确写出“ SnqSn”的表达式。 2。已知函数 f ( x)x 2bx 为偶函数，数列 a n 满足 an12f (an1) 1，且 a13，an1。令 bnlog 2 (a n1) (1) 证明：数列 bn1为等比数列； (2) 设 cnnbn，求数列 cn 的前 n 项和 S n。 解：(1) 证明：因为函数f ( x)x 2bx 为偶函数，所以 b0，所以 f ( x)x2， 所以 an12(an1) 21， 所以an112(an1) 2， 所以 bn11 bn1 log2 （an11）1 log2 （an1）1 22log2 （an1） log2 （an1）1 2， 所以数列 bn1是公比为 2 的等比数列 (2) 因为 a13，所以 b1log 221， 所以bn12 n，即 bn2 n1， 所以 cnn·2 nn， 设 An1×22×223×2 3n×2n， 所以 2An1×2 22×233×24 n×2n1， 9 / 13 所以 An22 223 2nn×2n12（12n） 12 n×2 n12n 1n×2n1 2，所以 An( n1)2 n12。 设Bn1234nn（n1） 2 ， 所以 SnAnBn( n1)2 n12n（n1） 2 。 考点三裂项相消法求和 ( 高频考点 ) 裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题 高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度： (1) 求前 n 项和； (2) 比较大小或不等式证明 (20xx ·高考安徽卷 ) 已知数列 an是递增的等比数列，且a1a49， a2a38。 (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 Sn为数列 an的前 n 项和， bn an1 SnSn 1，求数列 b n 的前 n 项和 Tn。 (1) 由题设知 a1·a4a2·a38， 又 a1a49，可解得 a11， a48 或 a18， a41 ( 舍去) 由 a4a1q 3得公比 q2，故 a na1q n12n1。 (2) Sn a1（1qn） 1q 2 n1。 又 bn an1 SnSn 1 Sn1Sn SnSn 1 1 Sn 1 Sn1， 所以 Tnb1b2 bn 1 S1 1 S2 1 S2 1 S3 1 Sn 1 Sn1 1 S1 1 Sn1 1 1 2n11。 10 / 13 利用裂项相消法求和的注意事项 (1) 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩 两项；或者前面剩几项，后面也剩几项； (2) 将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与 原通项相等如：若 a n 是等差数列，则 1 anan1 1 d 1 an 1 an1 ， 1 anan2 1 2d 1 an 1 an2 。 3。(20xx ·长春质量监测 ) 等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1 a 79，S9 99 2 。 (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 设 bn 1 2Sn ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求证： Tn3 4。 解：(1) 设数列 an的公差为 d，则由已知条件可得： 2a16d9， 9a136d 99 2 ，解得 a1 3 2， d1， 于是可求得 an 2n1 2 。 (2) 证明：由 (1) 知，Sn n（n2） 2 ， 故 bn 1 n（n2） 1 2 1 n 1 n2 ， 故 Tn 1 2 11 2 1 3 1 n 1 3 1 4 1 5 1 n2 1 2 3 2 1 n1 1 n2 ， 11 / 13 又因为 3 2 1 n1 1 n2 3 4。 规范解答数列求和 (本题满分 12 分)(20xx ·高考山东卷 )设数列 an 的前n项和为 Sn。已知 2S n3 n3。 (1) 求an 的通项公式； (2) 若数列 bn 满足 anbnlog 3an，求bn 的前 n 项和 Tn。 (1) 已知 n1 a1的值 Sn1的表达式 两式相减 an (2) 已知 bnTn3Tn2TnTn (1) 因为 2Sn3 n3，所以 2a 133， 故 a13。(1 分) 当 n2时，2Sn13 n13， 此时 2an2Sn2Sn13 n3n12×3n1，即 a n3 n1， 所以 an 3，n1， 3n1，n2。 (4 分) (2) 因为 anbnlog3an，所以 b11 3。 当 n2时，bn3 1nlog 33 n1( n1)·31n。 所以 T1b1 1 3；(6 分) 当 n2时，Tnb1b2b3bn 1 3， 12 / 13 所以 3Tn1， (8 分) 两式相减，得 2T n2 3(3 03132 32n)(n1)×31n 2 3 131n 131 ( n1)×3 1n 13 6 6n3 2×3n，(10 分) 所以 Tn 13 12 6n3 4×3n。(11 分) 经检验， n1 时也适合 综上可得 Tn13 12 6n3 4×3n。(12 分) 利用 Sn求 an时不要忽视 n1 的情况；根据已知条件合理选择数列 的求和方法，错位相减时不要漏项或算错项数 板 书 设 计 数列求和 1等差数列的前n 项和公式 Sn n（a1an） 2 na1n（n1） 2 d 2等比数列的前n 项和公式 Sn na1，q1， a1anq 1q a1（1qn） 1q ，q1。 3一些常见数列的前n 项和公式 (1)1 234 nn（n1） 2 ； (2)1 357 (2n1)n 2； 13 / 13 (3)2 468 2nn 2n 4数列求和的常用方法 (1) 倒序相加法 (2) 错位相减法 (3) 裂项相消法 (4) 分组转化法 (5) 并项求和法 教 学 反 思 数列求和是数列的重要考查内容，常见的求和有，利用等差、等比数列求和公式 求解，错位相减法，裂项相消法和分组求和法。对错位相减法，裂项相消法和分组求和 法应引导学生分析通项公式的特点，以便在做题时有准确的把握。裂项相消时应设计需 要搭配系数的题目、相消后剩下不是首位两项的题目，以 使学生准确把握这一方法。倒序相加法的题目，计算往往较繁琐，需增加训练量。