衡水独家秘籍之2019高中期末复习 专题十 直线与圆、圆与圆，相互依存故事多.docx

专题十 直线与圆 圆与圆【方法综述】直线与圆、圆与圆的位置关系问题，是考试命题的热点.高考要求，一是能熟练地解决圆的切线问题、弦长问题等，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键二是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.下面围绕圆的切线问题、弦长问题举例说明.1.圆的切线问题例1.已知点M(x0，y0)是圆x2y2r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OMMP.kOM·kMP1，即·1.整理，得x0xy0yxy.xyr2，切线l的方程为x0xy0yr2.当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用结论1过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.例2.求过圆C：(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程解：设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CMMP.kCM·kMP1，即·1.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切线l的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.当点M在直线xa和yb上时，可以验证上述方程同样适用结论2过圆(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.例3.求过圆C：x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程解：把圆C：x2y2DxEyF0化为标准方程，得22(D2E24F)由结论2可知切线l的方程为(x)(y)(D2E24F)整理，得x0xy0yD·E·F0.切线l的方程为x0xy0yD·E·F0.结论3过圆x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0xy0yD·E·F0.2.圆的弦长问题（1）若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|.（2）若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|2.（3）若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x2|.例4.求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2y24y0所截得的弦长解:设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为yx.解方程组得或|AB| 2.点评：解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法例5.求直线x2y0被圆x2y26x2y150所截得的弦长|AB|.解：把圆x2y26x2y150化为标准方程为(x3)2(y1)225，所以其圆心为(3,1)，半径r5.因为圆心(3,1)到直线x2y0的距离d，所以弦长|AB|24.例6.求直线2xy20被圆(x3)2y29所截得的弦长|AB|.解：设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，整理得5x214x40，则x1x2，x1x2.|AB|.点评：通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解3.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系主要有五种，即相离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数例7.已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_分析：求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求解：两圆方程作差，得x3y0.答案x3y0点评：求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可例8.圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是_分析：关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题解：由平面几何知识，知AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，3)与(3,0)两点的直线的方程可求得直线的方程为3xy90.答案3xy90点评：圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程，通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系例9.已知圆A：(x1)2(y1)24，圆B：(x2)2(y2)29，则圆A和圆B的公切线有_条分析：判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数解：因为圆心距|AB|，R3，r2，且Rr325，Rr321，所以有Rr<|AB|<Rr，即两圆相交所以两圆的公切线有两条答案2点评：判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距.【针对训练】1.已知圆x2+y2-6y+9-m2=0与直线y=3x+1有两个交点，则正实数m的值可以为（ ）A. 22 B. 32 C. 1 D. 2【答案】D【解析】圆x2+y2-6y+9-m2=0化为标准方程即x2+y-32=m2，由题意，圆心到直线的距离d=-3+12=1<m，结合选项，可得D正确，故选D.2.已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意可知：圆的标准方程为，所以当时圆的面积最小，此时圆的圆心为，半径为1，又因为直线与圆相切，所以.3.已知圆M:(x-4)2+(y-3)2=4和两点A(-a,0)，B(a,0)，若圆M上存在点P，使得APB=90°，则a的最大值为（ ）A 4 B 5 C 6 D 7【答案】D【解析】若点P满足APB=90°，则点P在以AB为直径的圆上，据此可知，满足题意时，圆x2+y2=a2与圆(x-4)2+(y-3)2=4有公共点，两圆的圆心距：d=0-42+0-32=5，两圆的半径r1=a，r2=2，满足题意时应有：r1-r2dr1+r2，即：a-25a+2，求解关于实数a的不等式可得：3a7，则a的最大值为7.本题选择D选项.4.已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时 _，面积最大时，_【答案】 21或7【解析】圆的方程化为，圆心，半径为1，直线方程化为过定点，当直线过圆心时，弦为直径最大，此时；设，则，当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，解得：或.5.已知圆C的方程为x-12+y-22=4，点P2,3为圆C内的一点，过点P2,3的直线l与圆C相交于A，B两点，当AB最小时，直线l的方程为_【答案】x+y-5=0（方程的其他形式同样得分）【解析】(2-1)2+(3-2)2=2<4，点P(2,3)在圆C的内部；故当直线l与直线CP垂直时，弦长AB最小，又C(1,2)，kCP=3-22-1=1，直线l的斜率k=-1kCP=-1，直线l的方程为y-3=-1(x-2)，整理得x+y-5=0故答案为x+y-5=06.若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则ab的最小值为_由点P(a,b)向圆所作两条切线，切点记为A,B，当AB取最小值时，ABP外接圆的半径为_【答案】 -94322【解析】由x2+y2+2x-4y+3=0可得(x+1)2+(y-2)2=2，因为圆关于直线对称，所以圆心(-1,2)在直线2ax+by+6=0上，即-2a+2b+6=0，化简得a-b=3，则有ab=b(3+b)=b2+3b=(b+32)2-94，所以有ab的最小值为-94；根据图形的特征，可知PC最短时，对应的AB最小，而PC最短时，即为C到直线x-y-3=0的距离，即PCmin=-1-2-31+1=32，此时A,B,P,C四点共圆，此时PC即为外接圆的直径，所以其半径就是322.7.已知圆的圆心在轴正半轴上，且轴和直线均与圆相切.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于两点，点，且为锐角，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设圆的方程为，由题意，得，解得，则圆的标准方程为；（2）将代入圆的方程，得，由，得，设，则，依题意，得，即，即，解得或，故实数的取值范围是.8.已知圆，直线相交于、两点（）若交点为，求及的值（）若直线过点，求的值【答案】（），（）【解析】（）将点代入直线，解出再将代入圆，解得，（）将点代入直线，解出又在中，且，是等边三角形圆，即，圆心，半径其中圆心到直线的距离，代入解出，9.已知直线l:x=-1，F1,0，P是l上的动点，过点P作l的垂线l1，线段PF的中垂线交l1于点M，M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）过F且与坐标轴不垂直的直线交曲线C于A,B两点，若以线段AB为直径的圆与直线3x+4y+3=0相切，求直线AB的方程.【答案】（1）y2=4x；（2）y=x-1【解析】（1）依题意可得MF=MP,即M到定点F的距离等于M到定直线l的距离，所以M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，方程为y2=4x（2）依题意设直线AB的方程为y=kx-1，k0与y2=4x联立，并整理得k2x2-2k2+4x+k2=0x1+x2=2+4k2，x1x2=1由抛物线的定义知AB=x1+1+x2+1=4+4k2， 线段AB的中点x1+x22,y1+y22即1+2k2,2k因为以线段AB为直径的圆与直线3x+4y+3=0相切，所以3×1+2k2+4×2k+35=12AB=2+2k2解得k=1，所以直线AB的方程为y=x-110.已知圆C经过两点P（-1，-3），Q（2，6），且圆心在直线上，直线l的方程为（1）求圆C的方程；（2）证明：直线l与圆C恒相交；（3）求直线l被圆C截得的最短弦长【答案】，4【解析】（1）设圆C的方程为由条件，得,解得圆的方程为（2）由，得，令，得，即直线l过定点M（3，-1），（6分）由，知点M（3，-1）在圆内，直线l与圆C恒相交 （8分）（3）圆心C（2，1），半径为5，由题意知，当点M满足CM垂直于直线l时，弦长最短直线l被圆C截得的最短弦长为2=（12分）