2019年全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形.docx

第八单元三角恒等变换与解三角形考点一三角恒等变换1.(2017年江苏卷)若tan-4=16,则tan=. 【解析】tan=tan-4+4=tan-4+tan41-tan-4tan4=16+11-16×1=75.【答案】752.(2016年全国卷)若cos4-=35,则sin2=().A.725B.15C.-15D.-725【解析】因为cos4-=35,所以sin2=cos2-2=cos24-=2cos24-1=2×925-1=-725.【答案】D3.(2015年全国卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=().A.-32B.32C.-12D.12【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.【答案】D4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin=13,则cos(-)=. 【解析】由题意知+=+2k(kZ),=+2k-(kZ),sin=sin,cos=-cos.又sin=13,cos(-)=coscos+sinsin=-cos2+sin2=2sin2-1=2×19-1=-79.【答案】-79考点二解三角形5.(2016年全国卷)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cosA=().A.31010B.1010C.-1010D.-31010【解析】设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由题意得SABC=12×a×13a=12acsinB,c=23a.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+29a2-2×a×23a×22=59a2,b=53a.cosA=b2+c2-a22bc=59a2+29a2-a22×53a×23a=-1010.【答案】C6.(2016年全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=. 【解析】因为A,C为ABC的内角,且cosA=45,cosC=513,所以sinA=35,sinC=1213,所以sinB=sin(-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365.又a=1,所以由正弦定理得b=asinBsinA=sinBsinA=6365×53=2113.【答案】21137.(2017年山东卷)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是().A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A【解析】等式右边=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,等式左边=sinB+2sinBcosC,sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.由cosC>0,得sinA=2sinB.由正弦定理得a=2b.故选A.【答案】A8.(2017年浙江卷)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=. 【解析】依题意作出图形,如图所示,sinDBC=sinABC.由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,则sinABC=154,cosABC=14.所以SBDC=12BC·BD·sinDBC=12×2×2×154=152.因为cosDBC=-cosABC=-14=BD2+BC2-CD22BD·BC=8-CD28,所以CD=10.由余弦定理,得cosBDC=4+10-42×2×10=104.【答案】1521049.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是. 【解析】在锐角三角形ABC中,sinA=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.tanA=tan-(B+C)=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanBtanCtanBtanC-1.A,B,C均为锐角,tanBtanC-1>0,tanBtanC>1.由得tanBtanC=tanAtanA-2.又由tanBtanC>1,得tanAtanA-2>1,tanA>2.tanAtanBtanC=tan2AtanA-2=(tanA-2)2+4(tanA-2)+4tanA-2=(tanA-2)+4tanA-2+424+4=8,当且仅当tanA-2=4tanA-2,即tanA=4时取等号.故tanAtanBtanC的最小值为8.【答案】810.(2017年全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=1517.故cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB=817,故SABC=12acsinB=417ac,又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.所以b=2.11.(2017年全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.【解析】(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12AB·AD·sin612AC·AD=1.又ABC的面积为S=12×4×2sinBAC=23,所以ABD的面积为3.12.(2017年全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.【解析】(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA,故sinBsinC=23.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12,所以B+C=23,故A=3.由题意得12bcsinA=a23sinA,a=3,所以bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.由bc=8,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.§8.1三角恒等变换一两角和与差的余弦、正弦、正切公式C-:cos(-)=coscos+sinsin;C+:cos(+)=; S-:sin(-)=; S+:sin(+)=sincos+cossin;T-:tan(-)=tan-tan1+tantan;T+:tan(+)=. 二二倍角公式sin2=2sincos;cos2=cos2-sin2=; tan2=2tan1-tan2.三辅助角公式函数f()=acos+bsin(a,b为常数),可以化为f()=a2+b2sin(+)其中tan=ba或f()=a2+b2cos(-)其中tan=ab.1cos75°cos15°-cos105°sin75°的值为. 2 函数f(x)=2sinx(sinx+3cosx)的最小值为. 3 若sin+cossin-cos=12,则tan-4=().A.-2B.2C.-43D.434 若+=34,求(1-tan)(1-tan)的值.知识清单一、coscos-sinsinsincos-cossintan+tan1-tantan二、2cos2-11-2sin2基础训练1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=12.【答案】122.【解析】f(x)=2sin2x+23sinxcosx=2×1-cos2x2+3sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin2x-6+1-1.【答案】-13.【解析】由sin+cossin-cos=12,等式左边分子、分母同时除以cos得tan+1tan-1=12,解得tan=-3,则tan-4=tan-11+tan=2.【答案】B4.【解析】-1=tan34=tan(+)=tan+tan1-tantan,tantan-1=tan+tan.1-tan-tan+tantan=2,即(1-tan)(1-tan)=2.题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】若tan12cos512=sin512-msin12,则实数m的值为().A.23B.3C.2D.3【解析】由tan12cos512=sin512-msin12,得sin12cos512=cos12sin512-msin12cos12,则12msin6=sin512-12,解得m=23.【答案】A三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.【变式训练1】3tan12°-3(4cos212°-2)sin12°=. 【解析】原式=3sin12°cos12°-32(2cos212°-1)sin12°=2312sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°=23sin(-48°)2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24°=-23sin48°12sin48°=-43.【答案】-43题型二角的变换【例2】已知tan(-)=12,tan=-17,则tan2=. 【解析】tan=tan(-)+=tan(-)+tan1-tan(-)tan=12-171+12×17=13,tan2=2tan1-tan2=2×131-132=34.【答案】34在选取函数时,遵照以下原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,若角的范围是0,2,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为-2,2,选正弦函数较好.【变式训练2】已知,为锐角,cos=17,sin(-)=3314,则的大小为. 【解析】,为锐角,又sin(-)=3314,0<<<2,cos(-)=1314.cos=17,sin=437,cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=17×1314+437×3314=12,则=3.【答案】3题型三三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x)=2sin24+x+3(sin2x-cos2x),x4,2.(1)求f512的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.【解析】因为f(x)=2sin24+x+3(sin2x-cos2x),所以化简得f(x)=1-cos2x+2-3cos2x=2sin2x-3+1,x4,2.(1)f512=2sin56-3+1=2sin2+1=3.(2)当2k-22x-32k+2(kZ)时,即k-12xk+512(kZ).因为x4,2,所以f(x)的单调递增区间为4,512,同理f(x)的单调递减区间为512,2.(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m<f(x)+2恒成立,则m>2sin2x-3-1或m<2sin2x-3+3恒成立.因为x4,2,所以2sin2x-31,2.当m>2sin2x-3-1时,只需满足m大于2sin2x-3-1的最大值1,即m>1;当m<2sin2x-3+3时,只需满足m小于2sin2x-3+3的最小值4,即m<4.综上所述,实数m的取值范围是1<m<4.利用三角恒等变换把函数式变成f(x)=Asin(x+)+B(A>0)是解决该类问题的关键.【变式训练3】已知函数f(x)=2sinx+3+sinxcosx-3sin2x,xR.(1)求f(x)在0,4上的最大值和最小值;(2)将函数f(x)的图象向右平移6个单位长度得到函数g(x)的图象,且g+2=12,g-2=-34,求tantan的值.【解析】f(x)=2sinxcos3+cosxsin3+sinxcosx-3sin2x=2sinxcosx+3cos2x-3sin2x=sin2x+3cos2x=2sin2x+3.(1)0x4,32x+356,12sin2x+31,则1f(x)2,f(x)max=2,f(x)min=1.(2)由(1)得g(x)=2sin2x,g+2=2sin(+)=12,g-2=2sin(-)=-34,即sincos+cossin=14,sincos-cossin=-38,解得sincos=-116,cossin=516,两式相除得tantan=-15.方法利用三角函数的“三变”进行化简求值“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.【突破训练】2sin50°cos10°+12sin20°(1+3tan10°)=().A.1B.2C.3D.2【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·cos10°+3sin10°cos10°=2sin50°cos10°+2sin10°12cos10°+32sin10°=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°=2sin60°=3.【答案】C1.(2017江西师大附中三模)已知cos-sin=24,则sin2的值为().A.18B.-18C.78D.-78【解析】cos-sin=24,1-sin2=18,sin2=78.【答案】C2.(2017衡水中学三模)已知sin32+=13,则cos(-2)的值为().A.79B.-79C.29D.-23【解析】因为sin32+=-cos,所以cos=-13.所以cos(-2)=-cos2=-2cos2+1=79.【答案】A3.(2017泸州四诊)已知sin3-=14,则cos3+2=().A.-58B.58C.-78D.78【解析】sin3-=sin2-6+=cos6+=14,则cos3+2=cos26+=2cos26+-1=-78.【答案】C4.(2017德阳二模)若0,2,且sin2+cos2=47,则tan+3的值为().A.-3B.3C.-23D.-33【解析】0,2,且sin2+cos2=47,sin2+cos2-sin2=47,cos2=47,cos=27,tan=32,tan+3=-33.【答案】D5.(2017湖南考前演练)若tantan=3,且sinsin=35,则cos(-)的值为().A.-25B.25C.45D.1【解析】由题意可知sinsin=3coscos,因为sin·sin=35,所以coscos=15,所以cos(-)=coscos+sinsin=45,故选C.【答案】C6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为. 【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=54.【答案】547.(2017广西二模)若4,2,sin2=378,则cos=. 【解析】4,2,22,.cos2=-1-sin22=-18,则2cos2-1=-18,cos=74.【答案】748.(2017山东二模)已知cos4-=73,0,4,则cos2sin+cos=. 【解析】cos4-=73,0,4,sin4-=23,即cos-sin=23,cos2sin+cos=cos2-sin2sin+cos=cos-sin=23.【答案】239.(2017佛山二模)已知,为锐角,且tan=17,cos(+)=255,则cos2=().A.35B.23C.45D.7210【解析】,0,2,+(0,).cos(+)=255,sin(+)=15.tan=17,sin=152,cos=752.cos=cos(+-)=cos(+)cos+sin(+)sin=15510=310.cos2=2cos2-1=2×910-1=45,故选C.【答案】C10.(2017湖南师大附中月考)设ABC的三个内角分别为A,B,C,且tanA,tanB,tanC,2tanB依次成等差数列,则sin2B=().A.1B.-45C.45D.±45【解析】由题意得tanC=32tanB,tanA=12tanB,所以ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=-tanC+tanB1-tanCtanB=-52tanB1-32tan2B=12tanB,得tanB=2,所以sin2B=2sinBcosB=2sinBcosBsin2B+cos2B=2tanBtan2B+1=45.【答案】C11.(2017淮北一中押题)已知,34,cos(+)=45,cos-4=-513,则sin+4=().A.3365B.-3365C.-1665D.1665【解析】因为,34,则+32,2,-42,34,所以sin(+)=-35,sin-4=1213,所以sin+4=sin(+)-4=sin(+)cos-4-cos(+)sin-4=-35×-513-45×1213=-3365.【答案】B12.(2017长沙模拟)在锐角ABC中,B>6,sinA+6=35,cosB-6=45,则sin(A+B)=. 【解析】sinA+6=35,cosA+6=±45,cosA+6=-45<cos120°,A+6>23A>2(舍去),cosA+6=45.由cosB-6=45得sinB-6=35,sin(A+B)=sinA+6+B-6=sinA+6cosB-6+cosA+6sinB-6=35×45+45×35=2425.【答案】242513.(2016株洲三模) 已知tan=12,msincos=45.(1)若cosx-5=m3,求cosx+45的值;(2)设函数f(x)=cosmx+3+3sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.【解析】msincos=msincossin2+cos2=mtantan2+1=45,tan=12,2m5=45,得m=2.(1)cosx-5=23,cosx+45=cos+x-5=-cosx-5=-23.(2)f(x)=cos2x+3+3sin2x=12cos2x+32sin2x=sin2x+6,由2+2k2x+632+2k(kZ),得6+kx23+k(kZ),函数f(x)的单调递减区间为6+k,23+k(kZ).§8.2解三角形一正弦定理和余弦定理1.正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为(1)abc=; (2)a=,b=,c=; (3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.2.余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定理可以变形为cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab. 二面积公式SABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R=12(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.1 在ABC中,A=3,AB=2,且ABC的面积为32,则边AC的长为().A.1B.3C.2D.12 在ABC中,a2+b2-c2=3absinC,则tanC等于().A.13B.12C.23D.323 在ABC中,sinA=23,a=8,b=63,则角B等于().A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°知识清单一、1.(1)sinAsinBsinC(2)2RsinA2RsinB2RsinC2.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC基础训练1.【解析】SABC=12AB·ACsinA,32AC=32,则AC=1.【答案】A2.【解析】a2+b2-c2=3absinCa2+b2-c22ab=cosC=32sinCtanC=23.【答案】C3.【解析】由正弦定理得823=63sinB,则sinB=32.a<b,B=60°或B=120°.【答案】C题型一利用正弦定理求解三角形【例1】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sinA=acosB,b=5,c=2,求sinC.【解析】2sinA=acosB,sinAa=sinBb,b=5,2sinB=5cosB,即tanB=52,sinB=53.c=2,sinC=csinBb=23.已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,且要注意解的个数的判断.【变式训练1】在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC,求sinA.【解析】由(2b-c)cosA=acosC,得2bcosA=ccosA+acosC,即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,则2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosA=12,则sinA=32.题型二利用余弦定理求解三角形【例2】在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a+csinB+sinC=b-csinA.(1)求角B的大小;(2)若b=13,a+c=4,求ac的值.【解析】(1)由a+csinB+sinC=b-csinA及正弦定理,得a+cb+c=b-ca,ac+a2=b2-c2,a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12.又B为ABC的内角,B=23.(2)将b=13,a+c=4,B=23代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,13=16-2ac1-12,ac=3.根据所给等式的结构特点,灵活利用余弦定理对角与边进行相互转化是解答问题的关键.【变式训练2】在ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=233.(1)求cosA的值;(2)求BC的长.【解析】(1)在ABC中,AB=AD=1,BD=233,cosA=AB2+AD2-BD22AB·AD=1+1-23322=13.(2)由(1)知,cosA=13,且0<A<,sinA=1-cos2A=223.D是边AC的中点,AC=2AD=2.在ABC中,cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=1+22-BC22×1×2=13,解得BC=333.题型三正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】(2017孝义考前训练)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足23acsinB=a2+b2-c2.(1)求角C的大小;(2)若bsin(-A)=acosB,且b=2,求ABC的面积.【解析】(1)由23acsinB=a2+b2-c2,得23csinB2b=a2+b2-c22ab,23sinCsinB2sinB=cosC,tanC=33,C=6.(2)由bsin(-A)=acosB,sinBsinA=sinAcosB,sinB=cosB,B=4.由正弦定理bsinB=csinC,可得2sin4=csin6,解得c=1,SABC=12bcsinA=12×2×1×sinA=22sin(-B-C)=22sin4+6=3+14.在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理即可求解.【变式训练3】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3,且ABC的面积为3,求a,b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断ABC的形状.【解析】(1)c=2,C=3,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=4.ABC的面积为3,12absinC=3,ab=4.联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,即2sinBcosA=2sinAcosA,cosA·(sinA-sinB)=0,cosA=0或sinA-sinB=0.当cosA=0时,0<A<,A=2,ABC为直角三角形;当sinA-sinB=0时,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,即ABC为等腰三角形.综上所述,ABC为等腰三角形或直角三角形.方法数学建模实际应用能力实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时DBF=45°,过点B作BECD于点E,则AEB=30°.在BCD中,CD=40(米),BCD=30°,DBC=135°,由正弦定理,得CDsinDBC=BDsinBCD,所以BD=40sin30°sin135°=202(米),BDE=180°-135°-30°=15°.在RtBED中,BE=BDsin15°=202×6-24=10(3-1)(米).在RtABE中,AEB=30°,所以AB=BEtan30°=103(3-3)(米).故所求的塔高为103(3-3)米.1.(2017衡水中学押题卷)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则ABC的面积为().A.23B.43C.6D.83【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,cosA=b2+c2-a22bc=12,sinA=1-cos2A=32,则ABC的面积为S=12bcsinA=43.【答案】B2.(2017广丰二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=2bsinB,则sinAcosA+2cos2B等于().A.-1B.-12C.12D.2【解析】acosA=2bsinB,sinAcosA=2sinBsinB,即sinAcosA-2sin2B=0,sinAcosA-2(1-cos2B)=0,sinAcosA+2cos2B=2.【答案】D3.(2016郑州一测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b3cosB=asinA,则cosB=().A.-12B.12C.-32D.32【解析】由正弦定理,得b3cosB=asinA,sinB3cosB=sinAsinA,tanB=3,又0<B<,B=3,cosB=12.【答案】B4.(2017龙泉二模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3cosAcosC=ac,且a2-c2=2b,则b等于().A.1B.2C.3D.4【解析】由3cosAcosC=ac得acosC=3ccosA,则a·a2+b2-c22ab=3c·b2+c2-a22bc,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).【答案】D5.(2017甘肃二诊)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得ABC的形状唯一确定的是().a=1,b=2,cZ;A=150°,asinA+csinC+2asinC=bsinB;a=5,b=2,A=30°C=60°,cosAsinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0.A.B.C.D.【解析】中,由正弦定理可知a2+c2+2ac=b2,cosB=a2+c2-b22ac=-22,此时A=150°,B=135°,三角形无解.中,-cos(B+C)sinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0,cos(B+C)cosC(cosB-sinB)=0,则B=45°或B+C=90°,B=30°,三角形的解不唯一.排除两种说法,只有选项A符合题意.【答案】A6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距m. 【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,AMO=45°,ANO=60°,OM=AOtan45°=30m,ON=AOtan60°=303=103m.MN=900+300-2×30×103×32=103m.【答案】1037.(2017重庆二诊)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为a2+b2-c243,则C=. 【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,又12absinC=a2+b2-c243,联立两式得,12absinC=2abcosC43,tanC=33,即C=30°.【答案】30°8.(2017娄底二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则ADC的面积为